Мультипликативность функции, свёртка Дирихле — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
Строка 1: Строка 1:
{| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
 
|+
 
|-align="center"
 
|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|
 
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
 
 
Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
 
 
Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
 
 
Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
 
 
''Антивоенный комитет России''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
 
|}
 
 
 
== Мультипликативность функции ==
 
== Мультипликативность функции ==
 
{{Определение
 
{{Определение

Текущая версия на 19:22, 4 сентября 2022

Мультипликативность функции

Определение:
Функция [math] \theta (a) [/math] называется мультипликативной, если выполнены следующие условия:
  • 1. Функция [math] \theta (a) [/math] определена для всех целых положительных a и не обращается в 0 хотя бы при одном таком a
  • 2. Для любых положительных взаимно простых [math] a_1 [/math] и [math] a_2 [/math] имеем [math] \theta(a_1 a_2) = \theta(a_1)\theta(a_2) [/math]

Пример

Простейшим примером такой функции является [math] \theta(a)=a^s[/math]

  • [math] \theta(1) = 1^s = 1 [/math]
  • [math]\theta(ab) = (ab)^s = a^sb^s = \theta(a)\theta(b) [/math]

Свойства мультипликативных функций

  • 1. Из определения следует, что [math] \theta(1)=1[/math].
    • Доказательство: Действительно, пусть [math] \theta(a_0) \ne 0[/math], тогда [math] \theta(1\cdot a_0) = \theta(1)\theta(a_0)[/math].
  • 2. Если [math] \theta_1(a),\theta_2(a)[/math] — мультпликативные функции, то [math] \theta(a) = \theta_1(a)\theta_2(a) [/math] — тоже мультипликативная.
    • Доказательство: [math] \theta(1) = \theta_1(1)\theta_2(1) = 1[/math] и условия определения выполнены.
  • 3. Пусть [math] \theta(a) [/math] — мультипликативная функция и [math] a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}[/math] — каноническое разложение числа a, тогда обозначая символом [math] \sum_{d|a}[/math] — сумму, распространенную на все делители d числа a, имеем
    [math]\sum_{d|a} \theta(d) = (1 + \theta(p_1) + \theta(p_1^2) + \ldots + \theta(p_1^{\alpha_1}))\ldots(1 + \theta(p_k) + \theta(p_k^2) + \ldots + \theta(p_k^{\alpha_k}))[/math] (в случае [math] a=1 [/math] считаем правую часть равной единице)
    • Доказательство: Для доказательства этого свойства рассмотрим правую часть тождества. В ней будет сумма слагаемых вида : [math] \theta(p_1^{\beta_1})\theta(p_2^{\beta_2})\ldots\theta(p_k^{\beta_k}) = \theta(p_1^{\beta_1} p_2^{\beta_2} \ldots p_k^{\beta_k})[/math], причем ни одно такое слагаемое не будет пропущено, и ни одно не повторится более одного раза, а это, как раз, и есть то, что стоит в левой части.

Свертка Дирихле

Определение:
Сверткой Дирихле двух мультипликативных функций f и g, называется функция вида:
[math] (f*g)(n) = \sum_{d|n} f(d)g(\frac{n}{d})[/math]


Свойство. [math] (f*g) [/math]мультпликативна.
Доказательство свойства: [math] (m;n)=1 \text{ ,} (f*g)(mn) = \sum_{d|n} f(d)g(\frac{nm}{d}) = \sum_{d_1|n,d_2|m} f(d_1 d_2)g(\frac{nm}{d_1 d_2}) = [/math]
[math] = \sum_{d_1|n,d_2|m} f(d_1) f(d_2)g(\frac{n}{d_1}) g(\frac{m}{d_2}) = (\sum_{d_1|n} f(d_1)g(\frac{n}{d_1}))*(\sum_{d_2|m} f(d_2)g(\frac{m}{d_2})) [/math] ч.т.д.