Изменения

{{В разработке}}[[Интеграл Фейера|<<]][[Теорема Фейера|>>]] Пусть <tex>X</tex> {{---}} [[Нормированные_пространства#определение и примеры|нормированное пространство]], к примеру , <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex>(тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).

|definition = Для любого <tex>\forall x \in X</tex> величина <tex>E_yE_Y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{|\|x-y|\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_yE_Y(x)=|\|x-y^*|\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>чx</tex>'''.

Заметим, что нет : гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.  <tex>E_yE_Y(x) \ge 0</tex>, если <tex>x \in Y</tex>, то <tex>E_yE_Y(x)=0</tex>, таким образом , положительной определенности у этого функционала нет. 

<b>'''Однородность''':</b> <tex>\forall \varepsilon > 0</tex>, по определению нижней грани <tex>|\|x-y_{\varepsilon}|\|<E_yE_Y(x)+\varepsilon</tex>, где <tex>y_{\varepsilon}\in Y</tex>.<tex>|\lambda||\|x-y_{\varepsilon}|\|<|\lambda|E_yE_Y(x)+|\lambda|\varepsilon </tex>, по  По аксиомам нормы: <tex>|\lambda||\|x-y_{\varepsilon}|\|=|\|\lambda x-\lambda y|y_\varepsilon\|</tex>.  Так как <tex>Y</tex> {{---}} линейное пространство, то <tex>\lambda y_{\varepsilon} \in Y</tex> и <tex>\| \lambda x - \lambda Y_y_{\varepsilon}\| \ge E_yE_Y(\lambda x)</tex>, тогда . Тогда <tex>E_yE_Y(\lambda x) < |\lambda|E_yE_Y(x) - + |\lambda|\varepsilon</tex>, устремляя при <tex>\varepsilon \to 0</tex> получаем <tex>E_Y(\lambda x) \le |\lambda|E_Y(x)</tex>. В обратную сторону: <tex>E_Y(x)=E_Y(\lambda \frac{x}{\lambda}) \le |\lambda|E_Y(\frac{x}{\lambda})</tex>, получаем то есть, <tex>E_y\frac{1}{|\lambda|}E_Y(x) \le E_Y(\frac{x}{\lambda })</tex>.  Пусть <tex>\mu = \frac{1}{\lambda}</tex>, тогда <tex>|\mu|E_Y(x) \le E_Y(\mu x)</tex>. Таким образом, получаем два противоположных неравенства, следовательно, <tex>E_Y(\lambda x)=|\lambda|E_yE_Y(x)</tex>. '''Неравенство треугольника''': <tex>\forall \varepsilon > 0</tex>: <tex>\|x_1-y_{\varepsilon}\|< E_Y(x_1)+\varepsilon</tex> и <tex>\|x_2-z_{\varepsilon}\|< E_Y(x_2)+\varepsilon</tex>. Складывая два неравенства, получим <tex>\|x_1-y_{\varepsilon}\|+\|x_2-z_{\varepsilon}\|<E_Y(x_1)+E_Y(x_2)+2\varepsilon</tex>. По свойствам нижней грани, <tex>E_Y(x_1+x_2)\le \|(x_1+x_2)-(y_{\varepsilon}+z_{\varepsilon})\| \le \| x_1 - y_{\varepsilon} \| + \| x_2 - z_{\varepsilon} \| < </tex>

<tex>E_y< E_Y(xx_1)=E_y+ E_Y(\lambda \frac{x}{\lambda}x_2) + 2\le |\lambda|E_y(\frac{x}{\lambda})varepsilon</tex>, то есть так как <tex>\frac{1}{|\lambda|}E_y(x) \le E_y(\frac{x}y_{\lambda})</tex>. Пусть <tex>\mu = \frac{1varepsilon}+z_{\lambdavarepsilon}</tex>, тогда <tex>|\mu|E_y(x) \le E_y(\mu x)in Y</tex>.

Таким образом получаем два противоположных неравенства, а следовательно <tex>E_y(\lambda x)=|\lambda|E_y(x)</tex><b>Неравенство треугольника:</b> <tex>\forall \varepsilon > 0</tex>: <tex>||x_1-y_{\varepsilon}||< E_y(x_1)+\varepsilon</tex> и <tex>||x_2-z_{\varepsilon}||< E_y(x_2)+\varepsilon</tex>, складывая эти два неравенства, получим <tex>||x_1+y_{\varepsilon}||+||x_2+z_{\varepsilon}||<E_y(x_1)+E_y(x_2)+2\varepsilon</tex>. По свойствам нижней грани <tex>E_y(x_1+x_2)\le ||(x_1+x_2)-(y_{\varepsilon}+z_{\varepsilon})||</tex>, так как <tex>y_{\varepsilon}+z_{\varepsilon} \in Y</tex>. Устремляя в предыдущем неравенстве При <tex>\varepsilon \to 0</tex>, приходим к неравенству треугольника: <tex>E_yE_Y(x_1+x_2)\le E_yE_Y(x_1)+E_yE_Y(y_1x_2)</tex>.

Отметим некоторый технический момент: <tex>\forall x \in X</tex>, <tex>\forall y \in Y</tex> выполняется: <tex>E_Y(x)=E_Y((x+y)-y)\le E_Y(x+y)+E(-y)</tex>, <tex>E_Y(-y) = 0</tex>, так как <tex>-y \in Y</tex>, следовательно, <tex>E_Y(x) \le E_Y(x+y) \le E_Y(x) + E_Y(y) = E_Y(x)</tex>.  Значит, <tex>\forall y \in Y E_Y(x)=E_Y(x+y)</tex>. Также, так как <tex>0 \in Y</tex>, то <tex>E_Y(x) \le \|x-0\|=\|x\|</tex>, следовательно, <tex>E_Y(x) \le \|x\|</tex>. [[%D0%9D%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0#.D0.90.D1.80.D0.B8.D1.84.D0.BC.D0.B5.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B0_.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.BE.D0.B2|Отсюда]], если <tex>x_n \to x</tex>, то <tex>E_Y(x_n) \to E_Y(x)</tex>, то есть, <tex> E </tex> непрерывно как функционал в норме <tex> X </tex>. Основной интерес представляют конечномерные подпространствапокрытия <tex> X </tex> элементами конечномерных подпространств.  Пусть <tex>\dim Y < +\infty</tex>, <tex>Y=\Lambdamathcal L(e_1,..,e_p)</tex>(<tex> \mathcal L </tex> - линейная оболочка множества), тогда <tex>\dim Y = p</tex>.  К примеру, <tex>\dim H_n = 2n+1</tex>, <tex>H_n = \Lambdamathcal L(1, \cos{x}, \sin{x},..,\cos{nx}, \sin{nx})</tex>. {{Теорема|statement=Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.|proof=Пусть <tex>e_1, \ldots, e_n</tex> {{---}} базис <tex>Y</tex>, то есть, <tex>Y = \mathcal L(e_1,..,e_n)</tex>. Рассмотрим функцию <tex>f(\alpha_1,..,\alpha_n)=\|x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|</tex>, тогда ясно, что <tex>E_Y(x)=\inf\limits_{\overline{\alpha}\in \mathbb{R}^n}f(\alpha_1,..,\alpha_n)</tex>. Надо доказать, что существует <tex>\overline{\alpha^*}=(\alpha^*_1,..,\alpha^*_n)</tex>, на котором достигается эта нижняя грань, тогда в качестве <tex>y^*</tex> можно взять <tex>y^*=\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^*_k e_k</tex>. Доказательство существования будем вести с помощью [[Предел_отображения_в_метрическом_пространстве#weirstrass|теоремы Вейерштрасса]], утверждающей, что если функция <tex>n</tex> переменных непрерывна на компакте, то она принимает на нем свое минимальное значение. Проверим непрерывность: <tex>|f(\overline{\alpha}+\Delta \overline{\alpha})-f(\overline{\alpha})| = |\|x-\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha_k+\Delta\alpha_k)e_k\|-\|x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|| \le </tex> <tex>\le |\|x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| + \|\sum\limits_{k=1}^{n} \Delta\alpha_k e_k\| - \|x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|| = </tex> <tex> = \|\sum\limits_{k=1}^{n} \Delta \alpha_k e_k\| \le \sum\limits_{k=1}^{n}|\Delta\alpha_k\||e_k\| \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\|e_k\|^2}\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\Delta\alpha^2_k}</tex> (по неравенству Коши).  Заметим, что <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\|e_k\|^2}</tex> {{---}} константа для данного базиса, а <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\Delta\alpha^2_k}</tex> {{---}} норма для <tex>\Delta\overline{\alpha}</tex> в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, тогда из полученного неравенства очевидно, что <tex>f</tex> {{---}} непрерывна. Пусть <tex>M=2E_Y(x)</tex>. Считаем, что <tex>x \not\in Y</tex>, тогда <tex>E_Y(x) > 0</tex> (иначе, если <tex>E_Y(x)=0</tex>, то <tex>\forall n</tex> <tex>\exists y_n \in Y</tex> такой, что <tex>\|x-y_n\| < \frac{1}{n}</tex>. Устремляя <tex>n \to \infty</tex>, получаем, что <tex>\|x-y_n\| \to 0</tex>. Так как <tex>y_n \to x</tex> в <tex>X</tex>, а <tex>\dim Y < \infty</tex>, то <tex>Y</tex> замкнуто в <tex>X</tex>, <tex>y_n \in Y</tex>, значит и <tex>x \in Y</tex>, что противоречит нашему предположению). Выясним, на каком множестве гарантированно <tex>f(\overline{\alpha}) > M</tex>, то есть, <tex>\|x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| > M</tex>.  <tex>\|x - \sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| \ge \|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| - \|x\|</tex>, то есть, надо смотреть такие <tex>\overline{\alpha}</tex>, для которых выполнено условие: <tex>\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| > M + \|x\|</tex>. Если выполнено это неравенство, то в силу предыдущих выкладок, необходимое нам неравенство тоже выполнено. Тогда на совокупности точек <tex>\overline{\alpha} \in \mathbb{R}^n</tex> таких, что <tex>\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| > M + \|x\|</tex> функция минимума достигать не может, так как <tex>M</tex> само в два раза больше этого минимума. Значит, минимум может достигаться только на <tex>T = \{\overline{\alpha} \in \mathbb{R}^n : \|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| \le M + \|x\|\}</tex>. Если убедиться, что это множество {{---}} компакт в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, то, по теореме Вейерштрасса, <tex>f</tex> примет на нем свое минимальное значение, которое является наилучшим приближением. Компактом в <tex>\mathbb{R}^n</tex> называют множество, которое содержит в себе пределы всех своих сходящихся подпоследовательностей, что равносильно ограниченности и замкнутости множества. 1) ''Замкнутость'' Пусть <tex>\overline{\alpha}^{(m)} \to \overline{\alpha}</tex>, <tex>\overline{\alpha}^{(m)} \in T</tex>, так как сходимость покоординатная, то <tex>\alpha^{(m)}_k \to \alpha_k</tex> для <tex>k = \overline{1,n}</tex>.  Если <tex>\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(m)}_ke_k\| \to \|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|</tex>, то, так как <tex>\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(m)}_k e_k\|\le M + \|x\|</tex>, предел нормы ограничен этим же значением, тогда <tex>\overline{\alpha}\in T</tex>, и <tex>T</tex> замкнуто. <tex>|\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(m)}_ke_k\|-\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|| \le \|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(m)}_ke_k-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_ke_k\|=\|\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(m)}_k-\alpha_k)e_k\| \le </tex> <tex> \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\|e_k\|^2}\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(m)}_k-\alpha_k)^2}</tex>.  Так как <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(m)}_k-\alpha_k)^2} \to 0</tex>, то <tex>T</tex> {{---}} замкнуто. 2) ''Ограниченность'' Рассмотрим евклидову норму в <tex> \mathbb{R}^n </tex>: <tex>\|\overline{\alpha}\| = \sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k^2}</tex>.  <tex>\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|=\|\overline{\alpha}\|\|\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\alpha_k}{\|\overline{\alpha}\|}e_k\| \le M + \|x\|</tex>. Обозначим за <tex>\beta_k = \frac{\alpha_k}{\|\overline{\alpha}\|}</tex> и заметим, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_k^2=1</tex>. Будем рассматривать суммы <tex>\|\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_k e_k\|</tex>, нам необходимо доказать их ограниченность.  Обозначим <tex>m = \inf\limits_{\|\beta\|=1}\|\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_k e_k\|</tex>. Нижняя грань(инфимум) берется по единичной сфере в <tex>\mathbb{R}^n</tex> (компакт в <tex>\mathbb{R}^n</tex>), по непрерывной функции, значит, по теореме Вейерштрасса, найдется <tex>\beta^*</tex> такая, что <tex>\|\beta^*\|=1</tex> и <tex>m = \|\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_k^* e_k\|</tex>. Если предположить, что <tex>m = 0</tex>, то <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}\beta^*_k e_k = 0</tex>, но так как <tex>e_k</tex> {{---}} линейно независимы, то <tex>\beta^*=0</tex> и <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}(\beta^*_k)^2=0</tex>. Но этого быть не может, ведь <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}(\beta^*_k)^2 = \|\beta^*\|^2 = 1</tex>, откуда противоречие. Значит, <tex>m>0</tex>. Тогда <tex>\|\overline{\alpha}\| \le \frac{M+\|x\|}{m}</tex>, <tex>T</tex> ограниченно, <tex>T</tex> {{---}} компакт, теорема доказана.}} Можно рассмотреть <tex>C[0,1]</tex>, <tex>\|f\|=\max\limits_{x \in [0,1]}|f(x)|</tex>. Если в качестве <tex>A_n = \{\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k t^k, \alpha_k \in \mathbb{R}\}</tex> взять конечномерное подмножество <tex>C[0,1]</tex>, далее начинать рассматривать <tex>E_n(f)</tex>, то, по доказанной теореме, существует <tex> T_n(f) \in A_n</tex>, такое, что <tex>E_n(f)=|f-T_n(f)|</tex>. Так как <tex>A_n \subset A_{n+1}</tex>, то <tex>E_n(f) \ge E_{n+1}(f)</tex>, то есть, <tex>E_n(f)</tex> {{---}} не возрастает и по [[Приближение_непрерывной_функции_полиномами_на_отрезке#weirstrasscont|теореме Вейерштрасса]], любая непрерывная функция сколь угодно точно приближается полиномом, а значит, <tex>E_n(f) \to 0</tex>. [[Интеграл Фейера|<<]][[Теорема Фейера|>>]] [[Категория:Математический анализ 2 курс]]