Изменения

Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру , <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex>.

|definition = Для любого <tex>\forall x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{|\|x-y|\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=|\|x-y^*|\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>чx</tex>'''.

Заметим, что нет : гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.  <tex>E_y(x) \ge 0</tex>, если <tex>x \in Y</tex>, то <tex>E_y(x)=0</tex>, таким образом , положительной определенности у этого функционала нет. 

<b>'''Однородность''':</b> <tex>\forall \varepsilon > 0</tex>, по определению нижней грани <tex>|\|x-y_{\varepsilon}|\|<E_y(x)+\varepsilon</tex>, где <tex>y_{\varepsilon}\in Y</tex>.<tex>|\lambda||\|x-y_{\varepsilon}|\|<|\lambda|E_y(x)+|\lambda|\varepsilon </tex>, по  По аксиомам нормы: <tex>|\lambda||\|x-y_{\varepsilon}|\|=|\|\lambda x-\lambda y|\|</tex>.  Так как <tex>Y</tex> {{---}} линейное пространство, то <tex>\lambda y_{\varepsilon} \in Y</tex> и <tex>\| \lambda Y_x - \lambda y_{\varepsilon}\| \ge E_y(\lambda x)</tex>, тогда . Тогда <tex>E_y(\lambda x) < |\lambda|E_y(x) - |\lambda|\varepsilon</tex>, устремляя при <tex>\varepsilon \to 0</tex> получаем <tex>E_y(\lambda x) \le |\lambda|E_y(x)</tex>. В обратную сторону: <tex>E_y(x)=E_y(\lambda \frac{x}{\lambda}) \le |\lambda|E_y(\frac{x}{\lambda})</tex>, получаем то есть, <tex>\frac{1}{|\lambda|}E_y(x) \le E_y(\frac{x}{\lambda})</tex>.  Пусть <tex>\mu = \frac{1}{\lambda }</tex>, тогда <tex>|\mu|E_y(x) \le E_y(\mu x)</tex>. Таким образом, получаем два противоположных неравенства, следовательно, <tex>E_y(\lambda x)=|\lambda|E_y(x)</tex>. '''Неравенство треугольника''': <tex>\forall \varepsilon > 0</tex>: <tex>\|x_1-y_{\varepsilon}\|< E_y(x_1)+\varepsilon</tex> и <tex>\|x_2-z_{\varepsilon}\|< E_y(x_2)+\varepsilon</tex>. Складывая два неравенства, получим <tex>\|x_1+y_{\varepsilon}\|+\|x_2+z_{\varepsilon}\|<E_y(x_1)+E_y(x_2)+2\varepsilon</tex>.

По свойствам нижней грани, <tex>E_y(xx_1+x_2)=E_y(\lambda le \frac|(x_1+x_2)-(y_{x\varepsilon}+z_{\lambdavarepsilon}) \| \le |\lambda|E_y(x_1 - y_{\frac{xvarepsilon}{\lambda})</tex>, то есть <tex>| + \frac| x_2 - z_{1\varepsilon}{|\lambda|}< E_y(xx_1) \le + E_y(\frac{x}{\lambda}x_2)</tex>. Пусть , так как <tex>y_{\mu = \frac{1varepsilon}+z_{\lambdavarepsilon}</tex>, тогда <tex>|\mu|E_y(x) \le E_y(\mu x)in Y</tex>.

Таким образом получаем два противоположных неравенства, а следовательно <tex>E_y(\lambda x)=|\lambda|E_y(x)</tex><b>Неравенство треугольника:</b> <tex>\forall \varepsilon > 0</tex>: <tex>||x_1-y_{\varepsilon}||< E_y(x_1)+\varepsilon</tex> и <tex>||x_2-z_{\varepsilon}||< E_y(x_2)+\varepsilon</tex>, складывая эти два неравенства, получим <tex>||x_1+y_{\varepsilon}||+||x_2+z_{\varepsilon}||<E_y(x_1)+E_y(x_2)+2\varepsilon</tex>. По свойствам нижней грани <tex>E_y(x_1+x_2)\le ||(x_1+x_2)-(y_{\varepsilon}+z_{\varepsilon})||</tex>, так как <tex>y_{\varepsilon}+z_{\varepsilon} \in Y</tex>. Устремляя в предыдущем неравенстве При <tex>\varepsilon \to 0</tex>, приходим к неравенству треугольника: <tex>E_y(x_1+x_2)\le E_y(x_1)+E_y(y_1)</tex>.

Отметим некоторый технический момент: <tex>\forall x \in X</tex>, <tex>\forall y \in Y</tex> выполняется: <tex>E_y(x)=E_y((x+y)-y)\le E_y(x+y)+E(-y)</tex>, <tex>E_y(-y) = 0</tex>, так как <tex>y \in Y</tex>, следовательно, <tex>E_y(x) \le E_y(x+y) \le E_y(x) + E_y(y) = E_y(x)</tex>.  Значит, <tex>\forall y \in Y E_y(x)=E_y(x+y)</tex>. Также, так как <tex>0 \in Y</tex>, то <tex>E_y(x) \le \|x-0\|=\|x\|</tex>, следовательно, <tex>E_y(x) \le \|x\|</tex>. Отсюда, если <tex>x_n \to x</tex>, то <tex>E_y(x_n) \to E_y(x)</tex>, то есть, <tex> E </tex> непрерывно как функционал в норме <tex> X </tex>. Основной интерес представляют конечномерные подпространствапокрытия <tex> X </tex> элементами конечномерных подпространств. Пусть <tex>\dim Y < +\infty</tex>, <tex>Y=\Lambda(e_1,..,e_p)</tex>(<tex> \Lambda </tex> - линейная оболочка множества), тогда <tex>\dim Y = p</tex>.  К примеру, <tex>\dim H_n = 2n+1</tex>, <tex>H_n = \Lambda(1, \cos{x}, \sin{x},..,\cos{nx}, \sin{nx})</tex>.

|statement= Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, <tex>\forall x \in X</tex> <tex>\exists y^* \in Y</tex> т акой, такой, что <tex>E_y(x)=|\|x-y^*|\|</tex>.|proof= Пусть <tex>e_1,..\ldots,e_n</tex> {{---}} базис <tex>Y</tex>, то есть , <tex>Y = \Lambda(e_1,..,e_n)</tex>.  Рассмотрим функцию <tex>f(\alpha_1,..,\alpha_n)=|\|x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|\|</tex>, тогда ясно, что  <tex>E_y(x)=\inf\limits_{\overline{\alpha}\in \mathbb{R}^n}f(\alpha_1,..,\alpha_n)</tex>.  Надо доказать, что существует <tex>\overline{\alpha^*}=(\alpha^*_1,..,\alpha^*_n)</tex>, на котором достигается эта нижняя грань, тогда в качестве <tex>y^*</tex> можно взять <tex>y^*=\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^*_k e_k</tex>. Доказательство существования будем вести с помощью теоремы Вейерштрасса, утверждающей, что если функция <tex>n</tex> переменных непрерывна на компакте, то она принимает на нем свое минимальное значение.

<tex>|f(\overline{\alpha}+\Delta \overline{\alpha})-f(\overline{\alpha})|=||\|x-\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha_k+\Delta\alpha_k)e_k|\|-|\|x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|||\le </tex> <tex>\le |\|(x-\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha_k e_k\| + \|\sum\limits_{k=1}^{n} \Delta \alpha_k)e_k)\| -(\|x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_ke_k)alpha_k e_k\||=|</tex> <tex> = \|\sum\limits_{k=1}^{n}\Delta \alpha_k e_k|\| \le\sum\limits_{k=1}^{n}|\Delta\alpha_k|\||e_k|\|\le\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\|e_k\|^2}\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\Delta\alpha^2_k}</tex>.  Заметим, что <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\|e_k|\|^2}</tex> {{---}} число, а <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\Delta\alpha^2_k}</tex> {{---}} норма для <tex>\Delta\overline{\alpha}</tex> в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, тогда из полученного неравенства очевидно, что <tex>f</tex> {{---}} непрерывна. Пусть <tex>M=2E_y(x)</tex>. Считаем, что <tex>x \not\in Y</tex>, тогда <tex>E_y(x) > 0</tex> (иначе, если <tex>E_y(x)=0</tex>, то <tex>\forall n</tex> <tex>\exists y_n \in Y</tex> такой, что <tex>\|x-y_n\| < \frac{1}{n}</tex>. Устремляя <tex>n \to \infty</tex>, получаем, что <tex>\|x-y_n\| \to 0</tex>. Так как <tex>y_n \to x</tex> в <tex>X</tex>, а <tex>dim Y < \infty</tex>, то <tex>Y</tex> замкнуто в <tex>X</tex>, <tex>y_n \in Y</tex>, значит и <tex>x \in Y</tex>, что противоречит нашему предположению). Выясним, на каком множестве гарантированно <tex>f(\overline{\alpha}) > M</tex>, то есть, <tex>\|x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| > M</tex>.  <tex>\|x - \sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| \ge \|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| - \|x\|</tex>, то есть, надо смотреть такие <tex>\overline{\alpha}</tex>, для которых выполнено условие: <tex>\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| > M + \|x\|</tex>. Если выполнено это неравенство, то в силу предыдущих выкладок, необходимое нам неравенство тоже выполнено. Тогда на совокупности точек <tex>\overline{\alpha} \in \mathbb{R}^n</tex> таких, что <tex>\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| > M + \|x\|</tex> функция минимума достигать не может, так как <tex>M</tex> само в два раза больше этого минимума. Значит, минимум может достигаться только на <tex>T = \{\overline{\alpha} \in \mathbb{R}^n : \|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| \le M + \|x\|\}</tex>. Если убедиться, что это множество {{---}} компакт в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, то, по теореме Вейерштрасса, <tex>f</tex> примет на нем свое минимальное значение, которое является наилучшим приближением. Компактом в <tex>\mathbb{R}^n</tex> называют множество, которое содержит в себе пределы всех своих сходящихся подпоследовательностей, что равносильно ограниченности и замкнутости множества. Пусть <tex>\overline{\alpha}^{(m)} \to \overline{\alpha}</tex>, <tex>\overline{\alpha}^{(m)} \in T</tex>, так как сходимость покоординатная, то <tex>\alpha^{(m)}_k \to \alpha_k</tex> для <tex>k = \overline{1,n}</tex>.  Если <tex>\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(m)}_ke_k\| \to \|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|</tex>, то, так как <tex>\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|\le M\|x\|</tex>, предел нормы ограничен этим же значением, тогда <tex>\overline{\alpha}\in T</tex>, и <tex>T</tex> замкнуто. <tex>|\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(n)}_ke_k\|-\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|| \le \|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(n)}_ke_k-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_ke_k\|=\|\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(n)}_k-\alpha_k)e_k\| \le </tex>

Заметим, что <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}||e_k||^2}</tex> число, а <tex>le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\Delta\alpha^2_k}</tex> {{---}} норма для <tex>\Delta\overline{\alpha}</tex> в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, тогда из полученного неравенства очевидно, что <tex>f</tex> {{---}} непрерывна.Обозначим буквой <tex>M=2E_y(x)</tex>. Считаем, что <tex>x \not\in Y</tex>, тогда <tex>E_y(x) > 0</tex>, так как <tex>E_y(x)=0</tex>, <tex>\forall n</tex> <tex>\exists y_n \in Y</tex> такой, что <tex>||x-y_n|| < \frac{1}{n}</tex>. Устремляя <tex>n \to \infty</tex>, получаем, что <tex>||x-y_n|| \to 0</tex>. Так как <tex>y_n \to x</tex> в <tex>X</tex>, а <tex>dim Y < \infty</tex>, то <tex>Y</tex> замкнуто в <tex>X</tex>, <tex>y_n \in Y</tex>, значит и <tex>x \in Y</tex>, что противоречит нашему предположению. Теперь выясним на каком множестве гарантированно <tex>f(\overline{\alpha}) > 2M</tex>, то есть <tex>||x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|| > 2M</tex>. <tex>||x - \sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|| \ge ||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|| - ||x||</tex>, то есть надо смотреть такие <tex>\overline{\alpha}</tex>, для которых выполнено условие: <tex>||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|| > M + ||x||</tex>. Если выполнено это неравенство, то в силу предыдущих выкладок, необходимое нам неравенство тоже выполнено. Тогда на совокупности точек <tex>\overline{\alpha} \in \mathbb{R}^n</tex> таких, что <tex>||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|| < M + ||x||</tex> функция минимума достигать не может, так как <tex>M</tex> само в два раза больше этого минимума, поэтому минимум может достигаться только на <tex>T = \{\overline{\alpha} \in \mathbb{R}^n : ||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|| \le M + ||x||\}</tex>. Если убедиться, что это множество компакт в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, то по теореме Вейерштрасса, <tex>f</tex> примет на нем свое минимальное значение, которое является наилучшим приближением.Компактом в <tex>\mathbb{R}^n</tex> называют множество, которое содержит в себе пределы всех своих сходящихся подпоследовательностей, что равносильно ограниченности и замкнутости множества. <tex>\overline{\alpha}^{(n)} \to \overline{\alpha}</tex>, <tex>\overline{\alpha}^{(n)} \in T</tex>, так как сходимость покоординатная, то <tex>\alpha^{(n)}_k \to \alpha_k</tex> для <tex>k = \overline{1..n}</tex>. Проверим, что <tex>||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_ke_k||\to||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k||</tex>, но <tex>||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k||\le M||x||</tex>, тогда их предел ограничен этим же, а тогда <tex>\overline{\alpha}\in T</tex>, а значит <tex>T</tex> {{---}} замкнуто. <tex>|||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(n)}_ke_k||-||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|||\le||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(n)}_ke_k-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_ke_k||=||\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(n)}_k-\alpha_k)e_k||\le\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}||e_k||^2}\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(n)}_k-\alpha_k)}</tex>.

 Рассмотрим евклидову норму в <tex> \mathbb{R}^n </tex>: <tex>|\|\overline{\alpha}|\| = \sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k^2}</tex> {{---}} евклидова норма в .  <tex>\mathbb{R}^n</tex>. <tex>||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|\|=|\|\overline{\alpha}_k\|||\|\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\alpha_k}{|\|\alpha_k|\|}e_k|\| \le M + |\|x|\|</tex>. Обозначим за <tex>\beta_k = \frac{\alpha_k}{|\|\alpha_k|\|}</tex> и заметим, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_k=1</tex>. Будем рассматривать суммы <tex>|\|\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_k e_k|\|</tex>, нам необходимо доказать их ограниченность.  Обозначим <tex>m = \inf\limits_{|\|\beta|\|=1}|\|\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_k e_k||</tex>, если эта величина больше нуля, то <tex>||\overline{\alpha}|| \le \frac{M+||x||}{m}</tex>.  Нижняя грань берется по единичной сфере в <tex>\mathbb{R}^n</tex> (компакт в <tex>\mathbb{R}^n</tex>), по непрерывной функции <tex>\beta_k</tex>, тогда значит, по теореме Вейерштрасса, найдется <tex>\exists \beta*</tex> такая, что <tex>|\|\beta*|\|=1</tex>, если . Если предположить, что <tex>m = 0</tex>, то <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}\beta^*_k e_k = 0</tex>, так как <tex>e_k</tex> {{---}} независимы, то <tex>\beta^*_k=0</tex>, следовательно , <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}\beta^*_k=0</tex>, но этого быть не может, так как <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}\beta*_k=1</tex> по сказанному выше. Значит , <tex>m>0</tex>. Тогда <tex>\|\overline{\alpha}\| \le \frac{M+\|x\|}{m}</tex>, а значит <tex>T</tex> ограниченно, то есть <tex>T</tex> {{---}} компакт. В силу вышесказанного выше, теорема доказана.

Если Можно рассмотреть <tex>C[0,1]</tex>, <tex>|\|f|\|=\max\limits_{x \in [0,1]}|f(x)|</tex>. Если в качестве <tex>A_n = \{\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k t^k, \alpha_k \in \mathbb{R}\}</tex> взять конечномерное подмножество <tex>C[0,1]</tex>, далее начинать рассматривать <tex>E_n(f)</tex> , то, по доказанной теореме , существует <tex>\exists T_n(f) \in A_n</tex> , такое, что <tex>E_n(f)=|f-T_n(f)|</tex>, так . Так как <tex>A_n \subset A_{n+1}</tex>, то <tex>E_n(f) /\ge E_{n+1}(f)</tex>, то есть , <tex>E_n(f)</tex> {{---}} убывает. Тогда , по теореме Вейерштрасса , любая непрерывная функция сколь угодно точно приближается полиномом, а значит , <tex>E_n(f) \to 0</tex>.