Натуральные числа

Эта статья находится в разработке!

Деление чисел с остатком

Если натуральное число [math]n\,[/math] не делится на натуральное число [math]m\,[/math], т.е. не существует такого натурального числа [math]k\,[/math] , что [math]n = m\,k,[/math] то деление называется делением с остатком.

Формула деления с остатком: [math]n = m\,k + r,[/math] где [math]n\,[/math] - делимое, [math]m\,[/math] - делитель, [math]k\,[/math] - частное, [math]r\,[/math] - остаток, причем [math]0\leqslant r \lt b [/math]

Любое число можно представить в виде: [math]n = 2\,k + r,[/math] , где остаток [math]r\,[/math] = [math]0\,[/math] или [math]r\,[/math] = [math]1\,[/math]

Любое число можно представить в виде: [math]n = 4\,k + r,[/math] , где остаток [math]r\,[/math] = [math]0\,[/math] или [math]r\,[/math] = [math]1\,[/math] или [math]r\,[/math] = [math]2\,[/math] или [math]r\,[/math] = [math]3\,[/math]

Любое число можно представить в виде: [math]n = m\,k + r,[/math] , где остаток [math]r\,[/math] принимает значения от [math]0\,[/math] до [math](m-1)\,[/math]

Принцип индукции, существование наименьшего числа в любом множестве натуральных чисел

Индукция

Формулировка принципа математической индукции:

Пусть имеется последовательность утверждений [math]A_1, A_2, A_3, \ldots[/math] И пусть первое утверждение [math]A_1[/math] верно и мы умеем доказать, что из верности утверждения [math]A_k[/math] следует верность [math]A_{k + 1}[/math]. Тогда все утверждения в этой последовательности верны.

Верность этого метода доказательства вытекает из так называемой аксиомы индукции, пятой из аксиом Пеано, которые определяют натуральные числа. Рассмотрение аксиом Пеано выходит за рамки этой статьи.

Заметим, что аксиому индукции можно заменить на аксиому существования минимума, и доказать аксиому индукции как теорему.

Также в скобках заметим, что существует принцип полной математической индукции. Вот его строгая формулировка:

Пусть имеется последовательность утверждений [math]Y_1, Y_2, Y_3, \ldots[/math]. И пусть мы умеем доказать, что из верности утверждения [math]Y_1, Y_2, Y_3, \ldots, Y_k[/math] следует верность [math]Y_{k + 1}[/math]. Тогда все утверждения в этой последовательности верны.