Изменения

'''Недетерминированный конечный автомат(НКА)''' (НКАангл. ''Nondeterministic finite automaton, NFA'') {{---}} пятерка пятёрка <tex>\langle \Sigma , Q, s \in Q, T \subset Q, \delta : Q \times \Sigma \to 2^Q \rangle</tex>, где <tex>\Sigma</tex> {{---}} алфавит, <tex>Q</tex> {{---}} множество состояний автомата, <tex>s</tex> {{---}} начальное состояние автомата, <tex>T</tex> {{---}} множество допускающих состояний автомата, <tex>\delta</tex> {{---}} функция переходов.Таким образом, единственное отличие НКА от [[Детерминированные_конечные_автоматы | ДКА ]] {{---}} существование нескольких переходов по одному символу из одного состояния.

'''Мгновенная кофигурацияМгновенное описание''' (англ. ''snapshot'') {{---}} пара <tex> \langle p, q \rangle </tex>, <tex> p \in Q </tex>, <tex> q \in \Sigma^*</tex>.

 Определим некоторые операции для мгновенных конфигурацийописаний.

Говорят, что <tex> \langle p, \beta \rangle</tex> '''выводится за один шаг''' (англ. ''directly yields'') из <tex>\langle q, \alpha \rangle </tex>, если:

[[Транзитивное замыкание#Рефлексивно-транзитивное замыкание | Рефлексивно-транзитивное замыкание]] отношения <tex> \vdash </tex> обозначается как <tex> \vdash^*</tex>. <br>И говорят, что <tex> \langle p, \beta \rangle</tex> '''выводится за ноль и более шагов''' (англ. ''yields'') из <tex>\langle q, \alpha \rangle </tex>, если <tex>\langle q, \alpha \rangle \vdash^* \langle p, \beta \rangle</tex>.<!--Говорят, что <tex> \langle p, \beta \rangle</tex> '''выводится за ноль и более шагов''' (англ. ''yields'') из <tex>\langle q, \alpha \rangle </tex>, если <tex>\exists c_1, c_2 \ldots c_n</tex>:* <tex>\langle q, c_1 c_2 \ldots c_n \beta\rangle \vdash \langle u_1, c_2 c_3 \ldots c_n \beta\rangle \vdash \langle u_2, c_3 \ldots c_n \beta\rangle \ldots \vdash \langle u_{n-1}, c_n \beta\rangle \vdash \langle p, \beta \rangle</tex>. --><!--Это также записывают так: <tex>\langle q, \alpha \rangle \vdash^* \langle p, \beta \rangle</tex>.-->

НКА '''допускает''' (англ. ''accepts'') слово <tex>\alpha</tex>, если <tex>\exists t \in T: \langle s, \alpha \rangle \vdash^* \langle t, \varepsilon \rangle</tex>.

* <tex> \mathcal{L}(\mathcal{A}) = \lbrace w \ | \ \exists t \in T : \langle s, w \rangle \vdash^* \langle t, \varepsilon \rangle \rbrace </tex>.В этом случае также говорят, что автомат <tex> \mathcal{A} </tex> '''распознаёт''' (англ. ''recognize'') язык <tex> L </tex>.

Язык НКА тоже является автоматным языком, так как для любого НКА можно [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона|построить из НКА эквивалентный ему ДКА]], поэтому а значит, вычислительная мощность этих двух автоматов совпадает.

[[Файл:NFAFinite state machine 4.png|600px]]

Этот алгоритм решает следующую задачу: ===Постановка задачи===Пусть заданы НКА и слово<tex>w</tex>. Требуется определить, допускает ли НКА данное слово. ===Алгоритм===Определим множество всех достижимых состояний из стартового по слову <tex> \alpha </tex> : <tex> R(\alpha) = \lbrace p \ | \ \langle s, \alpha \rangle \vdash^* \langle p, \varepsilon \rangle \rbrace </tex>.

По сравнению с ДКАЗаметим, определить, допускает ли НКА слово, сложнее, так как из состояния теперь есть несколько переходов по букве и выбрать случайный переход нельзя. Поступим по-другому: определим множество всех достижимых состояний из стартового по слову что если <tex> \alpha exists t \in T : t \in R(w) </tex>. * , то слово допускается, так как <tex> R(\alpha) = \lbrace p | \langle s, \alpha w \rangle \vdash^* \langle pt, \varepsilon \rangle \rbrace </tex>по определению <tex> R(w) </tex>. Таким образом, алгоритм состоит в том, чтобы построить <tex> R(w) </tex>.

Пусть нам нужно определить допускает ли НКА слово Очевидно, что <tex> w R(\varepsilon) = \lbrace s \rbrace </tex>. Заметим, что если Пусть мы построили <tex> \exists t \in T : t \in R(w\alpha) </tex>, то слово допускается, так как построим <tex> R(\langle s, w \rangle \vdash^* \langle t, \varepsilon \rangle alpha c)</tex> по определению , где <tex> R(w) c \in \Sigma </tex>. Алгоритм состоит в томЗаметим, чтобы построить что <tex> R(w\alpha c) = \lbrace q \ | \ q \in \delta(p, c), p \in R(\alpha) \rbrace </tex>., так как

Очевидно, что <tex> R(\varepsilon) = \lbrace s \rbrace </tex>. Пусть мы построили <tex> R(\alpha) </tex>, как же получить <tex> R(\alpha c)</tex>, где <tex> c \in \Sigma </tex>. Заметим, что * <tex> R(\alpha c) = \lbrace q | q \in \delta(p, c), p \in R(\alpha) \rbrace </tex>, так как * <tex> \langle s, \alpha \rangle \vdash^* \langle p, \varepsilon \rangle \Rightarrow \langle s, \alpha c \rangle \vdash^* \langle p, c \rangle \vdash \langle q, \varepsilon \rangle \Rightarrow \langle s, \alpha c \rangle \vdash^* \langle q, \varepsilon \rangle </tex>, <tex> \forall q \in \delta(p, c) </tex>.

Теперь, когда мы научились добавлять символ к строкепо <tex> R(\alpha) </tex> строить <tex> R(\alpha c)</tex>, возьмем <tex> R(\varepsilon) </tex>, и будем добавлять последовательно вычислять <tex> R(w[1], w[2] \ldots w[|w|k] )</tex> и находить для каждого <tex> R(w[k=1]\ldots |w[k]) | </tex>.

Когда Таким образом, мы получим <tex> R(w) </tex>, проверими всё, что осталось — проверить, есть ли в нем нём терминальное состояние.

'''bool''' accepts(<tex>\langle \Sigma, Q, s, T, \delta \rangle</tex>: '''Automaton''', <tex>\mathtt{w}</tex>: '''String'''): <tex> R_0 = \lbrace s \rbrace </tex> '''for ''' i = 1 '''to ''' <tex>\mathtt{w}</tex>.length(w) do <tex> R_i = \varnothing </tex> '''for ''' (<tex> p \q </tex> '''in ''' <tex> R_{i - 1} </tex> do) <tex> R_i = R_i \cup \delta(pq, \mathtt{w}[i]) </tex> accepts = False for <tex> t \in T </tex> do if '''return''' <tex> t \in R_{|\mathtt{w}|} \cap T \neq \varnothing </tex> accepts = True

== Литература Источники информации ==* ''Ю. Громкович'' — '''Теоретическая информатика. Введение в теорию автоматов, теорию вычислимости, теорию сложности, теорию алгоритмов, рандомизацию, теорию связи и криптографию''' : Пер. с нем. — издательство СПб.:БХВ-Петербург, 2010. — 336 сС. 87. : — ISBN 978-5-9775-0406-5* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. Second edition. P. 71. ISBN 0-201-02988-X* [[wikipedia:en:Nondeterministic finite automaton | Wikipedia {{---}} Nondeterministic finite automaton]]