Независимые случайные величины — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Дискретные случайные величины)
м
 
(не показано 29 промежуточных версий 7 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
== Определения ==
== Определение ==
 
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id=def1
 
|id=def1
|definition='''Независимые случайные величины''' - <tex> \xi</tex> и <tex>\eta</tex> называются независимыми, если <tex>\forall \alpha ,\beta \in \mathbb R</tex> события <tex>[ \xi \leqslant \alpha ]</tex> и <tex>[ \eta \leqslant \beta ]</tex> независимы.<br> <tex>P((\xi \leqslant \alpha) \bigcap (\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha)·P(\eta \leqslant \beta)</tex>
+
|definition=Cлучайные величины <tex> \xi</tex> и <tex>\eta</tex> называются '''независимыми''' (англ. ''independent''), если <tex>\forall \alpha ,\beta \in \mathbb R</tex> события <tex>[ \xi \leqslant \alpha ]</tex> и <tex>[ \eta \leqslant \beta ]</tex> [[Независимые события|независимы]].<br> <tex>P((\xi \leqslant \alpha) \cap (\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)</tex>
 
}}
 
}}
Иначе говоря, две случайные величины называются независимыми, если значение одной из них не влияет на значение другой.
+
Иначе говоря, две случайные величины называются независимыми, если по значению одной нельзя сделать выводы о значении другой.
  
== Дискретные случайные величины ==
+
=== Независимость в совокупности ===
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id=def2
 
|id=def2
|definition=Случайные величины <tex>\xi_1,...,\xi_n</tex> с дискретным распределением<ref>Вероятность того, что случайная величина <tex>X</tex> принимает значение меньшее <tex>x</tex>, называется функцией распределения случайной величины <tex>X</tex> и обозначается<br><tex>F(x): F(x) = P</tex><tex>(X \leqslant x)</tex>.</ref> независимы (в совокупности), если для <tex>\forall a_1,...,a_n</tex> имеет место равенство:<br><tex>P(\xi_1=a_1,...,\xi_n=a_n)=P(\xi_1=a_1)·...·P(\xi_n=a_n)</tex>
+
|definition=Случайные величины <tex>\xi_1, \ldots ,\xi_n</tex> называются '''независимы в совокупности''' (англ. ''mutually independent''), если события <tex>\xi_1 \leqslant \alpha_1, \ldots ,\xi_n \leqslant \alpha_n</tex> независимы в совокупности.
 
}}
 
}}
Стоит отметить, что если <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> - дискретные случайные величины, то достаточно рассматривать случай <tex>\xi = \alpha</tex>, <tex>\eta = \beta</tex>.
 
  
 
== Примеры ==
 
== Примеры ==
 +
 +
==== Карты ====
 +
 +
Пусть есть колода из <tex>36</tex> карт (<tex>4</tex> масти и <tex>9</tex> номиналов). Мы вытягиваем одну карту из случайным образом перемешанной колоды (вероятности вытягивания каждой отдельной карты равны). Определим следующие случайные величины:
 +
 +
<tex>\xi</tex> {{---}} масть вытянутой карты : <tex>0</tex> {{---}} червы, <tex>1</tex> {{---}} пики, <tex>2</tex> {{---}} крести, <tex>3</tex> {{---}} бубны
 +
 +
<tex>\eta</tex>: принимает значение <tex>0</tex> при вытягивании карт с номиналами <tex>6, 7, 8, 9, 10</tex>  или <tex>1</tex>  при вытягивании валета, дамы, короля или туза
 +
 +
Для доказательства того, что <tex>\xi, \eta</tex> независимы, требуется рассмотреть все <tex>\alpha,\beta</tex> и проверить выполнение равенства:
 +
<tex>P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)</tex>
 +
 +
Для примера рассмотрим <tex>\alpha = 0, \beta = 0</tex>, остальные рассматриваются аналогично:
 +
 +
<tex>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 0)) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{5}{36} </tex>
 +
 +
<tex>P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{4} </tex> <tex> \cdot </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{5}{9} </tex> <tex> = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{5}{36} </tex>
 +
 +
==== Тетраэдр ====
 +
Рассмотрим вероятностное пространство «тетраэдр». Каждое число соответствует грани тетраэдра (по аналогии с игральной костью): <tex>\Omega = \{0, 1, 2, 3\}</tex>. <tex>\xi (i) = i \bmod 2</tex>, <tex>\eta(i) = \left \lfloor \dfrac{i}{2} \right \rfloor</tex>.
 +
 +
Рассмотрим случай: <tex>\alpha = 0</tex>, <tex>\beta = 1</tex>. <tex>P(\xi \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{2} </tex>, <tex>P(\eta \leqslant 1) = 1</tex>, <tex>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 1)) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{2} </tex>.
 +
 +
Для этих значений <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> события являются независимыми, так же, как и для других (рассматривается аналогично), поэтому эти случайные величины независимы.
 +
 +
Заметим, что если: <tex>\xi (i) = i \bmod 3</tex>, <tex>\eta(i) = \left \lfloor \dfrac{i}{3} \right \rfloor</tex>, то эти величины зависимы: положим <tex>\alpha = 0, \beta = 0</tex>. Тогда <tex>P(\xi \leqslant 0) =  </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{2} </tex> , <tex>P(\eta \leqslant 0) =  </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{3}{4} </tex> , <tex>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 0)) =  </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{4} </tex> <tex>  \neq P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 0)</tex>.
  
 
==== Честная игральная кость ====
 
==== Честная игральная кость ====
Рассмотрим вероятностное пространство честная игральная кость
+
Рассмотрим вероятностное пространство «честная игральная кость»: <tex>\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}</tex>, <tex>\xi (i) = i \bmod 2</tex>, <tex>\eta (i) = \dfrac{\mathcal {b} i}{3 \mathcal {c}}</tex>.
<tex>\Omega = \mathcal {f} 1, 2, 3, 4, 5, 6 \mathcal {g}</tex>.
+
Для того, чтобы показать, что величины <tex>\xi, \eta</tex> зависимы, надо найти такие <tex>\alpha, \beta</tex>, при которых
<tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> - случайные величины.
+
<tex>P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) \neq P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)</tex>
<tex>\xi (i) = i \% 2</tex>, <tex>\eta (i) = [i \geqslant 3]</tex>.
+
 
Для того, чтобы показать, что они независимы, надо рассмотреть все <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex>.
+
При <tex>\alpha = 0, \beta = 1</tex>:
  
Для примера рассмотрим: <tex>\alpha = 0</tex>, <tex>\beta = 0</tex>.
+
<tex>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{2}{6} </tex> <tex> = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{3} </tex>, <tex>P(\xi \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{2} </tex>, <tex>P(\eta \leqslant 1) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{5}{6} </tex>
Тогда <tex>P( \xi \leqslant 0) = \frac{1}{2}</tex>, <tex>P( \eta \leqslant 0) = \frac{2}{3}</tex>, <tex>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 0)) = \frac{1}{3}</tex>.
 
Аналогичным образом можно проверить, что для оставшихся значений <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> события также являются независимыми, а это значит, что случайные величины <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> независимы.
 
  
==== Тетраедер ====
+
<tex>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) \neq P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 1)</tex>, откуда видно, что величины не являются независимыми.
<tex>\Omega = \mathcal {f} 0, 1, 2, 3 \mathcal {g}</tex>.
 
<tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> - случайные величины.
 
<tex>\xi (x) = i \% 2</tex>, <tex>\eta(x) = \left \lfloor \frac{x}{2} \right \rfloor</tex>
 
Рассмотрим случай: <tex>\alpha = 0</tex>, <tex>\beta = 0</tex>.
 
<tex>P(\xi \leqslant 0) = \frac{1}{2}</tex>, <tex>P(\eta \leqslant 1) = 1</tex>
 
<tex>P(\xi \leqslant 0</tex> и <tex>\eta \leqslant 1) = \frac{1}{2}</tex>
 
Для этих значений события являются независимыми, как и для других значений <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> (рассматривается аналогично), поэтому эти случайные величины независимы.
 
  
Заметим, что если:
+
==См.также==
<tex>\xi (x) = i \% 3</tex>, <tex>\eta(x) = \left \lfloor \frac{x}{3} \right \rfloor</tex>
+
*[[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие]]
То эти величины зависимы, т.к. <tex>\eta(3) = 1</tex>, и в этом случае, мы можем однозначно определить значение <tex>\xi</tex>
+
*[[Дискретная случайная величина]]
 +
*[[Математическое ожидание случайной величины]]
  
== См. также ==
+
== Источники информации ==
[[Дискретная случайная величина]]
+
*[http://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node38.html НГУ {{---}} Независимость случайных величин]
  
== Литература и источники информации ==
+
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9)#.D0.9D.D0.B5.D0.B7.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.81.D0.B8.D0.BC.D1.8B.D0.B5_.D1.81.D0.BB.D1.83.D1.87.D0.B0.D0.B9.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B2.D0.B5.D0.BB.D0.B8.D1.87.D0.B8.D0.BD.D1.8B Википедия {{---}} Независимость (теория вероятностей)]
[http://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node38.html Независимость случайных величин]
 
  
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9)#.D0.9D.D0.B5.D0.B7.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.81.D0.B8.D0.BC.D1.8B.D0.B5_.D1.81.D0.BB.D1.83.D1.87.D0.B0.D0.B9.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B2.D0.B5.D0.BB.D0.B8.D1.87.D0.B8.D0.BD.D1.8B Википедия: Независимость (теория вероятностей)]
+
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 +
[[Категория: Теория вероятности]]

Текущая версия на 21:02, 4 марта 2018

Определения[править]

Определение:
Cлучайные величины [math] \xi[/math] и [math]\eta[/math] называются независимыми (англ. independent), если [math]\forall \alpha ,\beta \in \mathbb R[/math] события [math][ \xi \leqslant \alpha ][/math] и [math][ \eta \leqslant \beta ][/math] независимы.
[math]P((\xi \leqslant \alpha) \cap (\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)[/math]

Иначе говоря, две случайные величины называются независимыми, если по значению одной нельзя сделать выводы о значении другой.

Независимость в совокупности[править]

Определение:
Случайные величины [math]\xi_1, \ldots ,\xi_n[/math] называются независимы в совокупности (англ. mutually independent), если события [math]\xi_1 \leqslant \alpha_1, \ldots ,\xi_n \leqslant \alpha_n[/math] независимы в совокупности.


Примеры[править]

Карты[править]

Пусть есть колода из [math]36[/math] карт ([math]4[/math] масти и [math]9[/math] номиналов). Мы вытягиваем одну карту из случайным образом перемешанной колоды (вероятности вытягивания каждой отдельной карты равны). Определим следующие случайные величины:

[math]\xi[/math] — масть вытянутой карты : [math]0[/math] — червы, [math]1[/math] — пики, [math]2[/math] — крести, [math]3[/math] — бубны

[math]\eta[/math]: принимает значение [math]0[/math] при вытягивании карт с номиналами [math]6, 7, 8, 9, 10[/math] или [math]1[/math] при вытягивании валета, дамы, короля или туза

Для доказательства того, что [math]\xi, \eta[/math] независимы, требуется рассмотреть все [math]\alpha,\beta[/math] и проверить выполнение равенства: [math]P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)[/math]

Для примера рассмотрим [math]\alpha = 0, \beta = 0[/math], остальные рассматриваются аналогично:

[math]P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 0)) = [/math] [math] \dfrac{5}{36} [/math]

[math]P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 0) = [/math] [math] \dfrac{1}{4} [/math] [math] \cdot [/math] [math] \dfrac{5}{9} [/math] [math] = [/math] [math] \dfrac{5}{36} [/math]

Тетраэдр[править]

Рассмотрим вероятностное пространство «тетраэдр». Каждое число соответствует грани тетраэдра (по аналогии с игральной костью): [math]\Omega = \{0, 1, 2, 3\}[/math]. [math]\xi (i) = i \bmod 2[/math], [math]\eta(i) = \left \lfloor \dfrac{i}{2} \right \rfloor[/math].

Рассмотрим случай: [math]\alpha = 0[/math], [math]\beta = 1[/math]. [math]P(\xi \leqslant 0) = [/math] [math] \dfrac{1}{2} [/math], [math]P(\eta \leqslant 1) = 1[/math], [math]P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 1)) = [/math] [math] \dfrac{1}{2} [/math].

Для этих значений [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] события являются независимыми, так же, как и для других (рассматривается аналогично), поэтому эти случайные величины независимы.

Заметим, что если: [math]\xi (i) = i \bmod 3[/math], [math]\eta(i) = \left \lfloor \dfrac{i}{3} \right \rfloor[/math], то эти величины зависимы: положим [math]\alpha = 0, \beta = 0[/math]. Тогда [math]P(\xi \leqslant 0) = [/math] [math] \dfrac{1}{2} [/math] , [math]P(\eta \leqslant 0) = [/math] [math] \dfrac{3}{4} [/math] , [math]P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 0)) = [/math] [math] \dfrac{1}{4} [/math] [math] \neq P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 0)[/math].

Честная игральная кость[править]

Рассмотрим вероятностное пространство «честная игральная кость»: [math]\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}[/math], [math]\xi (i) = i \bmod 2[/math], [math]\eta (i) = \dfrac{\mathcal {b} i}{3 \mathcal {c}}[/math]. Для того, чтобы показать, что величины [math]\xi, \eta[/math] зависимы, надо найти такие [math]\alpha, \beta[/math], при которых [math]P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) \neq P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)[/math]

При [math]\alpha = 0, \beta = 1[/math]:

[math]P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) = [/math] [math] \dfrac{2}{6} [/math] [math] = [/math] [math] \dfrac{1}{3} [/math], [math]P(\xi \leqslant 0) = [/math] [math] \dfrac{1}{2} [/math], [math]P(\eta \leqslant 1) = [/math] [math] \dfrac{5}{6} [/math]

[math]P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) \neq P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 1)[/math], откуда видно, что величины не являются независимыми.

См.также[править]

Источники информации[править]