Независимые события — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Замечание)
Строка 8: Строка 8:
 
Два события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> называются '''несовместными''' (англ. ''mutually exclusive''), если <tex> A \cap B = \emptyset </tex>
 
Два события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> называются '''несовместными''' (англ. ''mutually exclusive''), если <tex> A \cap B = \emptyset </tex>
 
}}
 
}}
 
==Примеры==
 
*Игральная кость
 
<tex> A = \{2,4,6\}\ p(A)=\dfrac{1}{2} </tex> {{---}} вероятность выпадения чётной цифры
 
 
<tex> B=\{1,2,3\}\ p(B)=\dfrac{1}{2} </tex> {{---}} вероятность выпадения одной из первых трёх цифр
 
 
<tex> p(A \cap B)=p(\{2\})=\dfrac{1}{6}</tex>
 
 
<tex>p(A)p(B)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}</tex>
 
 
Получаем, что <tex>p(A \cap B) \neq p(A)p(B)</tex>, значит эти события не независимы.
 
 
<tex> A \cap B = \{2\} \neq \emptyset </tex>, значит эти события не несовместны.
 
*Карты
 
<tex> A = \{(1,j)\}\ p(A)=\dfrac{1}{4} </tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданной масти
 
 
<tex> B=\{(i,1)\}\ p(B)=\dfrac{1}{13} </tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданного достоинства
 
 
<tex> p(A \cap B)=p(\{(1,1)\})=\dfrac{1}{52}</tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданной масти и заданного достоинства
 
 
<tex>p(A)p(B)=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{13}=\dfrac{1}{52}</tex>
 
 
Получаем, что <tex>p(A \cap B)=p(A)p(B)</tex>, значит эти события независимы.
 
 
<tex> A \cap B = \{(1,1)\} \neq \emptyset </tex>, значит эти события не несовместны.
 
*Честная монета
 
 
<tex> A = \{0\}\ </tex> {{---}} выпадение орла
 
 
<tex> B=\{1\}\ </tex> {{---}} выпадение решки
 
 
<tex> A \cap B = \emptyset </tex>, значит эти события несовместны.
 
  
 
{{Определение
 
{{Определение

Версия 03:04, 1 июня 2017

Определение:
Два события [math]A[/math] и [math]B[/math] называются независимыми (англ. independent), если [math] p(A \cap B) = p(A)p(B) [/math]


Определение:
Два события [math]A[/math] и [math]B[/math] называются несовместными (англ. mutually exclusive), если [math] A \cap B = \emptyset [/math]


Определение:
События называются независимыми в совокупности (англ. mutually independent), если для [math]\forall I\subset \{1, ..., k\}[/math] [math]p(\bigcap\limits_{i \in I} A_{i}) = \prod\limits_{i \in I} p(A_{i})[/math]


Определение:
События [math]A_{1}, ...,A_{n}[/math] называются попарно независимыми (англ. pairwise independent), если для [math]\forall i \neq j[/math] [math]\Rightarrow A_{i}[/math] и [math]A_{j}[/math] — независимы.


Утверждение:
Несовместные события [math]A[/math] и [math]B[/math] являются независимыми, тогда и только тогда если хотя бы одно из них является пустым множеством.
[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow [/math]:

Если несовместные события являются независимыми, то выполняется [math] p(A \cap B) = p(A)\cdot p(B) [/math]. Также для несовместных событий выполняется [math] A \cap B = \emptyset [/math]. Следовательно [math] p(\emptyset) = p(A) \cdot p(B) [/math]. А это выполняется тогда и только тогда когда [math] p(A) = 0 [/math] или [math] p(B) = 0 [/math].

[math] \Leftarrow [/math]:

Допустим [math]A[/math] является пустым множеством, тогда [math] A \cap B = \emptyset[/math]. Значит [math] p(A \cap B) = 0 [/math] и [math] p(A) \cdot p(B) = 0[/math]. Следовательно события [math]A[/math] и [math]B[/math] являются независимыми.
[math]\triangleleft[/math]

Примеры

  • Игральная кость

[math] A = \{2,4,6\}\ p(A)=\dfrac{1}{2} [/math] — вероятность выпадения чётной цифры

[math] B=\{1,2,3\}\ p(B)=\dfrac{1}{2} [/math] — вероятность выпадения одной из первых трёх цифр

[math] A \cap B = \{2\} \neq \emptyset [/math], значит эти события не несовместны.

[math] p(A \cap B)=p(\{2\})=\dfrac{1}{6}[/math]

[math]p(A)p(B)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}[/math]

Получаем, что [math]p(A \cap B) \neq p(A)p(B)[/math], значит эти события не независимы.

  • Карты

[math] A = \{(1,j)\}\ p(A)=\dfrac{1}{4} [/math] — вероятность выпадения карты заданной масти

[math] B=\{(i,1)\}\ p(B)=\dfrac{1}{13} [/math] — вероятность выпадения карты заданного достоинства

[math] A \cap B = \{(1,1)\} \neq \emptyset [/math], значит эти события не несовместны.

[math] p(A \cap B)=p(\{(1,1)\})=\dfrac{1}{52}[/math] — вероятность выпадения карты заданной масти и заданного достоинства

[math]p(A)p(B)=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{13}=\dfrac{1}{52}[/math]

Получаем, что [math]p(A \cap B)=p(A)p(B)[/math], значит эти события независимы.

  • Честная монета

[math] A = \{0\}\ [/math] — выпадение орла

[math] B=\{1\}\ [/math] — выпадение решки

[math] A \cap B = \emptyset [/math], значит эти события несовместны.

  • Тетраэдр Бернштейна

Попарно независимые события и события, независимые в совокупности — это не одно и то же.

Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета.

[math] A [/math] — выпадение грани, содержащей красный цвет

[math] B [/math] — выпадение грани, содержащей синий цвет

[math] C [/math] — выпадение грани, содержащей зеленый цвет

Так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх, вероятность каждого из этих событий равна:

[math]p(A)=p(B)=p(C)=\dfrac{1}{2}[/math]

Так как только одна грань из четырёх содержит два цвета, вероятность пересечения любых двух из них равна:

[math]p(A \cap B)=p(A \cap C)=p(B \cap C)=\dfrac {1}{4} [/math]

[math]p(A)p(B)=p(A)p(C)=p(B)p(C)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}[/math]

Все события попарно независимы, так как:

[math]p(A \cap B)=p(A)p(B)[/math]

[math]p(A \cap C)=p(A)p(C)[/math]

[math]p(B \cap C)=p(B)p(C)[/math]

Вероятность пересечения всех трёх равна: [math]p(A \cap B \cap C)=\dfrac{1}{4}[/math]

[math]p(A)p(B)p(C)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}[/math]

Cобытия не являются независимыми в совокупности, так как: [math]p(A \cap B \cap C) \neq p(A)p(B)p(C)[/math]

Получили, что события являются попарно независимыми, но не являются независимыми в совокупности, значит, эти два понятия — не одно и то же, что мы и хотели показать.

Источники информации

  • Романовский И. В. Дискретный анализ