Независимые события — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Ссылки и источники)
м (Fix ticket)
(не показано 11 промежуточных версий 1 участника)
Строка 1: Строка 1:
 +
== Основные определения ==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
Два события  <tex>A</tex> и <tex>B</tex> называются '''независимыми''' (англ. ''independent''), если <tex> p(A \cap B) = p(A)p(B) </tex>
+
Два события  <tex>A</tex> и <tex>B</tex> называются '''независимыми''' (англ. ''independent''), если <tex> p(A \cap B) = p(A) \cdot p(B) </tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 7: Строка 8:
 
|definition =  
 
|definition =  
 
Два события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> называются '''несовместными''' (англ. ''mutually exclusive''), если <tex> A \cap B = \emptyset </tex>
 
Два события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> называются '''несовместными''' (англ. ''mutually exclusive''), если <tex> A \cap B = \emptyset </tex>
 +
}}
 +
 +
{{Определение
 +
|definition =
 +
События называются '''независимыми в совокупности''' (англ. ''mutually independent''), если для <tex>\forall I\subset \{1, \ldots, k\}</tex> <tex>p(\bigcap\limits_{i \in I} A_{i}) = \prod\limits_{i \in I} p(A_{i})</tex>
 +
}}
 +
 +
{{Определение
 +
|definition =
 +
События <tex>A_{1}, \ldots,A_{n}</tex> называются '''попарно независимыми''' (англ. ''pairwise independent''), если для <tex>\forall i \neq j</tex> <tex>\Rightarrow A_{i}</tex> и <tex>A_{j}</tex> {{---}} независимы.
 +
 +
}}
 +
 +
{{Утверждение
 +
|statement =
 +
Несовместные события <tex>A</tex>  и <tex>B</tex> являются независимыми, тогда и только тогда если хотя бы одно из них является пустым множеством.
 +
|proof =
 +
<tex>\Rightarrow </tex>:
 +
 +
Если несовместные события являются независимыми, то выполняется <tex> p(A \cap B) = p(A)\cdot p(B) </tex>. Также для несовместных событий выполняется <tex> A \cap B = \emptyset </tex>. Следовательно <tex> p(\emptyset) = p(A) \cdot p(B) </tex>. А это выполняется тогда и только тогда когда <tex> p(A) = 0 </tex> или <tex> p(B) = 0 </tex>.
 +
 +
<tex> \Leftarrow </tex>:
 +
Допустим <tex>A</tex> является пустым множеством, тогда <tex> A \cap B = \emptyset</tex>. Значит <tex> p(A \cap B) = 0 </tex> и <tex> p(A) \cdot p(B) = 0</tex>. Следовательно события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> являются независимыми.
 
}}
 
}}
  
 
==Примеры==
 
==Примеры==
*Игральная кость
+
==== Игральная кость ====
 
<tex> A = \{2,4,6\}\ p(A)=\dfrac{1}{2} </tex> {{---}} вероятность выпадения чётной цифры
 
<tex> A = \{2,4,6\}\ p(A)=\dfrac{1}{2} </tex> {{---}} вероятность выпадения чётной цифры
  
 
<tex> B=\{1,2,3\}\ p(B)=\dfrac{1}{2} </tex> {{---}} вероятность выпадения одной из первых трёх цифр
 
<tex> B=\{1,2,3\}\ p(B)=\dfrac{1}{2} </tex> {{---}} вероятность выпадения одной из первых трёх цифр
 +
 +
<tex> A \cap B = \{2\} \neq \emptyset </tex>, значит эти события не несовместны.
  
 
<tex> p(A \cap B)=p(\{2\})=\dfrac{1}{6}</tex>  
 
<tex> p(A \cap B)=p(\{2\})=\dfrac{1}{6}</tex>  
  
<tex>p(A)p(B)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}</tex>
+
<tex>p(A) \cdot p(B)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}</tex>
  
Получаем, что <tex>p(A \cap B) \neq p(A)p(B)</tex>, значит эти события не независимы.
+
Получаем, что <tex>p(A \cap B) \neq p(A) \cdot p(B)</tex>, значит эти события не независимы.
*Карты
+
==== Карты ====
 
<tex> A = \{(1,j)\}\ p(A)=\dfrac{1}{4} </tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданной масти  
 
<tex> A = \{(1,j)\}\ p(A)=\dfrac{1}{4} </tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданной масти  
  
 
<tex> B=\{(i,1)\}\ p(B)=\dfrac{1}{13} </tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданного достоинства
 
<tex> B=\{(i,1)\}\ p(B)=\dfrac{1}{13} </tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданного достоинства
 +
 +
<tex> A \cap B = \{(1,1)\} \neq \emptyset </tex>, значит эти события не несовместны.
  
 
<tex> p(A \cap B)=p(\{(1,1)\})=\dfrac{1}{52}</tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданной масти и заданного достоинства
 
<tex> p(A \cap B)=p(\{(1,1)\})=\dfrac{1}{52}</tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданной масти и заданного достоинства
  
<tex>p(A)p(B)=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{13}=\dfrac{1}{52}</tex>
+
<tex>p(A) \cdot p(B)=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{13}=\dfrac{1}{52}</tex>
  
Получаем, что <tex>p(A \cap B)=p(A)p(B)</tex>, значит эти события независимы.
+
Получаем, что <tex>p(A \cap B)=p(A) \cdot p(B)</tex>, значит эти события независимы.
 +
==== Честная монета ====
  
{{Определение
+
<tex> A = \{0\}\ </tex> {{---}} выпадение орла
|definition =
+
 
События называются '''независимыми в совокупности''' (англ. ''mutually independent''), если для <tex>\forall I\subset \{1, ..., k\}</tex> <tex>p(\bigcap\limits_{i \in I} A_{i}) = \prod\limits_{i \in I} p(A_{i})</tex>
+
<tex> B=\{1\}\ </tex> {{---}} выпадение решки
}}
+
 
 +
<tex> A \cap B = \emptyset </tex>, значит эти события несовместны.
 +
==== Тетраэдр Бернштейна ====
 +
Попарно независимые события и события, независимые в совокупности {{---}} это не одно и то же.
 +
 
 +
Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета.
 +
 
 +
<tex> A </tex> {{---}} выпадение грани, содержащей красный цвет
 +
 
 +
<tex> B </tex> {{---}} выпадение грани, содержащей синий цвет
 +
 
 +
<tex> C </tex> {{---}} выпадение грани, содержащей зеленый цвет
 +
 
 +
Так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх, вероятность каждого из этих событий равна:
 +
 
 +
<tex>p(A)=p(B)=p(C)=\dfrac{1}{2}</tex>
 +
 
 +
Так как одна грань содержит все три цвета, а остальные {{---}} по одному, то вероятность пересечения любых двух событий  равна:
 +
<tex>p(A \cap B)=p(A \cap C)=p(B \cap C)=\dfrac {1}{4} </tex>
  
{{Определение
+
<tex>p(A) \cdot p(B)=p(A) \cdot p(C)=p(B) \cdot p(C)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}</tex>
|definition =
 
События <tex>A_{1}, ...,A_{n}</tex> называются '''попарно независимыми''' (англ. ''pairwise independent''), если для <tex>\forall i \neq j</tex> <tex>\Rightarrow A_{i}</tex> и <tex>A_{j}</tex> {{---}} независимы.
 
  
}}
+
Все события попарно независимы, так как:
 +
 +
<tex>p(A \cap B)=p(A) \cdot p(B)</tex>
  
{{Утверждение
+
<tex>p(A \cap C)=p(A) \cdot p(C)</tex>
|statement =
 
Несовместные события <tex>A</tex>  и <tex>B</tex> являются независимыми, тогда и только тогда если хотя бы одно из них является пустым множеством.
 
|proof =
 
<tex>\Rightarrow </tex>:
 
  
Если несовместные события являются независимыми, то выполняется <tex> p(A \cap B) = p(A)\cdot p(B) </tex>. Также для несовместных событий выполняется <tex> A \cap B = \emptyset </tex>. Следовательно <tex> p(\emptyset) = p(A) \cdot p(B) </tex>. А это выполняется тогда и только тогда когда <tex> p(A) = 0 </tex> или <tex> p(B) = 0 </tex>.
+
<tex>p(B \cap C)=p(B) \cdot p(C)</tex>
  
<tex> \Leftarrow </tex>:
+
Вероятность пересечения всех трёх равна: <tex>p(A \cap B \cap C)=\dfrac{1}{4}</tex>
Допустим <tex>A</tex> является пустым множеством, тогда <tex> A \cap B = \emptyset</tex>. Значит <tex> p(A \cap B) = 0 </tex> и <tex> p(A) \cdot p(B) = 0</tex>. Следовательно события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> являются независимыми.
 
}}
 
  
==Замечание==
+
<tex>p(A) \cdot p(B) \cdot p(C)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}</tex>
  
Попарно независимые события и события, независимые в совокупности - это не одно и то же. Пример: тетраэдр Бернштейна.
+
Cобытия не являются независимыми в совокупности, так как: <tex>p(A \cap B \cap C) \neq p(A) \cdot p(B) \cdot p(C)</tex>
Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета. Событие А (соответственно, В, С) означает, что выпала грань, содержащая красный (соответственно, синий, зелёный) цвета.
 
  
Вероятность каждого из этих событий равна <tex> \dfrac {1}{2} ,</tex> так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх. Вероятность пересечения любых двух из них равна <tex> \dfrac {1}{4} ,</tex> так как только одна грань из четырёх содержит два цвета. А так как <tex>\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2},</tex> то все события попарно независимы.  
+
Получили, что события являются попарно независимыми, но не являются независимыми в совокупности, значит, эти два понятия {{---}} не одно и то же, что мы и хотели показать.
  
Но вероятность пересечения всех трёх тоже равна <tex> \dfrac {1}{4} ,</tex> а не <tex> \dfrac {1}{8} ,</tex> т.е. события не являются независимыми в совокупности.
+
==См. также==
 +
*[[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие]]
 +
*[[Дискретная случайная величина]]
  
== Ссылки и источники ==
+
== Источники информации ==
 
*[http://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node13.html НГУ {{---}} Независимость]
 
*[http://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node13.html НГУ {{---}} Независимость]
  
 
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Независимость_(теория_вероятностей) Википедия {{---}} Независимость (теория вероятностей)]
 
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Независимость_(теория_вероятностей) Википедия {{---}} Независимость (теория вероятностей)]
  
*Романовский И. В. Дискретный анализ
+
*''Романовский И. В.'' Дискретный анализ
  
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Теория вероятности]]
 
[[Категория: Теория вероятности]]

Версия 16:29, 4 марта 2018

Основные определения

Определение:
Два события [math]A[/math] и [math]B[/math] называются независимыми (англ. independent), если [math] p(A \cap B) = p(A) \cdot p(B) [/math]


Определение:
Два события [math]A[/math] и [math]B[/math] называются несовместными (англ. mutually exclusive), если [math] A \cap B = \emptyset [/math]


Определение:
События называются независимыми в совокупности (англ. mutually independent), если для [math]\forall I\subset \{1, \ldots, k\}[/math] [math]p(\bigcap\limits_{i \in I} A_{i}) = \prod\limits_{i \in I} p(A_{i})[/math]


Определение:
События [math]A_{1}, \ldots,A_{n}[/math] называются попарно независимыми (англ. pairwise independent), если для [math]\forall i \neq j[/math] [math]\Rightarrow A_{i}[/math] и [math]A_{j}[/math] — независимы.


Утверждение:
Несовместные события [math]A[/math] и [math]B[/math] являются независимыми, тогда и только тогда если хотя бы одно из них является пустым множеством.
[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow [/math]:

Если несовместные события являются независимыми, то выполняется [math] p(A \cap B) = p(A)\cdot p(B) [/math]. Также для несовместных событий выполняется [math] A \cap B = \emptyset [/math]. Следовательно [math] p(\emptyset) = p(A) \cdot p(B) [/math]. А это выполняется тогда и только тогда когда [math] p(A) = 0 [/math] или [math] p(B) = 0 [/math].

[math] \Leftarrow [/math]:

Допустим [math]A[/math] является пустым множеством, тогда [math] A \cap B = \emptyset[/math]. Значит [math] p(A \cap B) = 0 [/math] и [math] p(A) \cdot p(B) = 0[/math]. Следовательно события [math]A[/math] и [math]B[/math] являются независимыми.
[math]\triangleleft[/math]

Примеры

Игральная кость

[math] A = \{2,4,6\}\ p(A)=\dfrac{1}{2} [/math] — вероятность выпадения чётной цифры

[math] B=\{1,2,3\}\ p(B)=\dfrac{1}{2} [/math] — вероятность выпадения одной из первых трёх цифр

[math] A \cap B = \{2\} \neq \emptyset [/math], значит эти события не несовместны.

[math] p(A \cap B)=p(\{2\})=\dfrac{1}{6}[/math]

[math]p(A) \cdot p(B)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}[/math]

Получаем, что [math]p(A \cap B) \neq p(A) \cdot p(B)[/math], значит эти события не независимы.

Карты

[math] A = \{(1,j)\}\ p(A)=\dfrac{1}{4} [/math] — вероятность выпадения карты заданной масти

[math] B=\{(i,1)\}\ p(B)=\dfrac{1}{13} [/math] — вероятность выпадения карты заданного достоинства

[math] A \cap B = \{(1,1)\} \neq \emptyset [/math], значит эти события не несовместны.

[math] p(A \cap B)=p(\{(1,1)\})=\dfrac{1}{52}[/math] — вероятность выпадения карты заданной масти и заданного достоинства

[math]p(A) \cdot p(B)=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{13}=\dfrac{1}{52}[/math]

Получаем, что [math]p(A \cap B)=p(A) \cdot p(B)[/math], значит эти события независимы.

Честная монета

[math] A = \{0\}\ [/math] — выпадение орла

[math] B=\{1\}\ [/math] — выпадение решки

[math] A \cap B = \emptyset [/math], значит эти события несовместны.

Тетраэдр Бернштейна

Попарно независимые события и события, независимые в совокупности — это не одно и то же.

Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета.

[math] A [/math] — выпадение грани, содержащей красный цвет

[math] B [/math] — выпадение грани, содержащей синий цвет

[math] C [/math] — выпадение грани, содержащей зеленый цвет

Так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх, вероятность каждого из этих событий равна:

[math]p(A)=p(B)=p(C)=\dfrac{1}{2}[/math]

Так как одна грань содержит все три цвета, а остальные — по одному, то вероятность пересечения любых двух событий равна: [math]p(A \cap B)=p(A \cap C)=p(B \cap C)=\dfrac {1}{4} [/math]

[math]p(A) \cdot p(B)=p(A) \cdot p(C)=p(B) \cdot p(C)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}[/math]

Все события попарно независимы, так как:

[math]p(A \cap B)=p(A) \cdot p(B)[/math]

[math]p(A \cap C)=p(A) \cdot p(C)[/math]

[math]p(B \cap C)=p(B) \cdot p(C)[/math]

Вероятность пересечения всех трёх равна: [math]p(A \cap B \cap C)=\dfrac{1}{4}[/math]

[math]p(A) \cdot p(B) \cdot p(C)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}[/math]

Cобытия не являются независимыми в совокупности, так как: [math]p(A \cap B \cap C) \neq p(A) \cdot p(B) \cdot p(C)[/math]

Получили, что события являются попарно независимыми, но не являются независимыми в совокупности, значит, эти два понятия — не одно и то же, что мы и хотели показать.

См. также

Источники информации

  • Романовский И. В. Дискретный анализ