286
правок
Изменения
м
*==== Игральная кость====
{{Определение|definition =События <tex>A_p(A) \cdot p(B)=p(A) \cdot p(C)=p(B) \cdot p(C)=\dfrac{1}, ...,A_{n2}</tex> называются '''попарно независимыми''' (англ. ''pairwise independent''), если для <tex>\forall i cdot\neq j</tex> <tex>dfrac{1}{2}=\Rightarrow A_dfrac{i1}</tex> и <tex>A_{j4}</tex> {{---}} независимы.
}}Все события попарно независимы, так как: <tex>p(A \cap B)=p(A) \cdot p(B)</tex>
{{Утверждение|statement =Несовместные события <tex>p(A</tex> и <tex>B</tex> являются независимыми, тогда и только тогда если хотя бы одно из них является пустым множеством.|proof \cap C)=<tex>p(A) \Rightarrow cdot p(C)</tex>:
Если несовместные события являются независимыми, то выполняется <tex> p(A B \cap BC) = p(A)\cdot p(B) </tex>. Также для несовместных событий выполняется <tex> A \cap B = \emptyset </tex>. Следовательно <tex> p(\emptyset) = p(A) \cdot p(BC) </tex>. А это выполняется тогда и только тогда когда <tex> p(A) = 0 </tex> или <tex> p(B) = 0 </tex>.
<tex> \Leftarrow </tex>Вероятность пересечения всех трёх равна:Допустим <tex>A</tex> является пустым множеством, тогда <tex> p(A \cap B = \emptyset</tex>. Значит <tex> p(A \cap BC) = 0 </tex> и <tex> p(A) \cdot p(B) = 0dfrac{1}{4}</tex>. Следовательно события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> являются независимыми.}}
Попарно независимые события и события, независимые Cобытия не являются независимыми в совокупности - это не одно и то же. Пример, так как: тетраэдр Бернштейна.Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета. Событие А <tex>p(A \cap B \cap C) \neq p(A) \cdot p(соответственно, В, СB) означает, что выпала грань, содержащая красный \cdot p(соответственно, синий, зелёныйC) цвета. </tex>
Вероятность каждого из этих событий равна <tex> \dfrac {1}{2} Получили, что события являются попарно независимыми, но не являются независимыми в совокупности,</tex> так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх. Вероятность пересечения любых двух из них равна <tex> \dfrac {1}{4} значит,</tex> так как только одна грань из четырёх содержит эти два цвета. А так как <tex>\dfracпонятия {1}{4---}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}не одно и то же,</tex> то все события попарно независимычто мы и хотели показать.
Но вероятность пересечения всех трёх тоже равна <tex> \dfrac {1}{4} ==См. также==*[[Вероятностное пространство,</tex> а не <tex> \dfrac {1}{8} элементарный исход,</tex> т.е. события не являются независимыми в совокупности.событие]]*[[Дискретная случайная величина]]
Fix ticket
== Основные определения ==
{{Определение
|definition =
Два события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> называются '''независимыми''' (англ. ''independent''), если <tex> p(A \cap B) = p(A)\cdot p(B) </tex>
}}
|definition =
Два события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> называются '''несовместными''' (англ. ''mutually exclusive''), если <tex> A \cap B = \emptyset </tex>
}}
{{Определение
|definition =
События называются '''независимыми в совокупности''' (англ. ''mutually independent''), если для <tex>\forall I\subset \{1, \ldots, k\}</tex> <tex>p(\bigcap\limits_{i \in I} A_{i}) = \prod\limits_{i \in I} p(A_{i})</tex>
}}
{{Определение
|definition =
События <tex>A_{1}, \ldots,A_{n}</tex> называются '''попарно независимыми''' (англ. ''pairwise independent''), если для <tex>\forall i \neq j</tex> <tex>\Rightarrow A_{i}</tex> и <tex>A_{j}</tex> {{---}} независимы.
}}
{{Утверждение
|statement =
Несовместные события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> являются независимыми, тогда и только тогда если хотя бы одно из них является пустым множеством.
|proof =
<tex>\Rightarrow </tex>:
Если несовместные события являются независимыми, то выполняется <tex> p(A \cap B) = p(A)\cdot p(B) </tex>. Также для несовместных событий выполняется <tex> A \cap B = \emptyset </tex>. Следовательно <tex> p(\emptyset) = p(A) \cdot p(B) </tex>. А это выполняется тогда и только тогда когда <tex> p(A) = 0 </tex> или <tex> p(B) = 0 </tex>.
<tex> \Leftarrow </tex>:
Допустим <tex>A</tex> является пустым множеством, тогда <tex> A \cap B = \emptyset</tex>. Значит <tex> p(A \cap B) = 0 </tex> и <tex> p(A) \cdot p(B) = 0</tex>. Следовательно события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> являются независимыми.
}}
==Примеры==
<tex> A = \{2,4,6\}\ p(A)=\dfrac{1}{2} </tex> {{---}} вероятность выпадения чётной цифры
<tex> B=\{1,2,3\}\ p(B)=\dfrac{1}{2} </tex> {{---}} вероятность выпадения одной из первых трёх цифр
<tex> A \cap B = \{2\} \neq \emptyset </tex>, значит эти события не несовместны.
<tex> p(A \cap B)=p(\{2\})=\dfrac{1}{6}</tex>
<tex>p(A)\cdot p(B)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}</tex>
Получаем, что <tex>p(A \cap B) \neq p(A)\cdot p(B)</tex>, значит эти события не независимы.*==== Карты====
<tex> A = \{(1,j)\}\ p(A)=\dfrac{1}{4} </tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданной масти
<tex> B=\{(i,1)\}\ p(B)=\dfrac{1}{13} </tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданного достоинства
<tex> A \cap B = \{(1,1)\} \neq \emptyset </tex>, значит эти события не несовместны.
<tex> p(A \cap B)=p(\{(1,1)\})=\dfrac{1}{52}</tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданной масти и заданного достоинства
<tex>p(A)\cdot p(B)=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{13}=\dfrac{1}{52}</tex>
Получаем, что <tex>p(A \cap B)=p(A)\cdot p(B)</tex>, значит эти события независимы.==== Честная монета ====
<tex> A = \{0\}\ </tex> {Определение{---}} выпадение орла|definition =События называются '''независимыми в совокупности''' (англ. ''mutually independent''), если для <tex>B=\forall I{1\subset }\</tex> {{1---}} выпадение решки <tex> A \cap B = \emptyset </tex>, значит эти события несовместны.==== Тетраэдр Бернштейна ====Попарно независимые события и события, независимые в совокупности {{---}} это не одно и то же. Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета. <tex> A </tex> {{---}} выпадение грани, k\содержащей красный цвет <tex> B </tex> {{---}}выпадение грани, содержащей синий цвет <tex> C </tex> {{---}} выпадение грани, содержащей зеленый цвет Так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх, вероятность каждого из этих событий равна: <tex>p(A)=p(B)=p(C)=\bigcap\limits_dfrac{1}{i \in I2} A_</tex> Так как одна грань содержит все три цвета, а остальные {i{---}}по одному, то вероятность пересечения любых двух событий равна:<tex>p(A \cap B)=p(A \cap C) = p(B \prodcap C)=\limits_dfrac {i \in I1} p(A_{i4})</tex>}}
<tex>p(A) \cdot p(B) \cdot p(C)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=Замечание==\dfrac{1}{8}</tex>
== Ссылки и источники Источники информации ==
*[http://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node13.html НГУ {{---}} Независимость]
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Независимость_(теория_вероятностей) Википедия {{---}} Независимость (теория вероятностей)]
*''Романовский И. В. '' Дискретный анализ
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Теория вероятности]]
