Изменения

Два события <tex>A </tex> и <tex>B </tex> называются '''независимыми''' (англ. ''independent''), если <tex> p(A \cap B) = p(A)\cdot p(B) </tex>}} {{Определение|definition = Два события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> называются '''несовместными''' (англ. ''mutually exclusive''), если <tex> A \cap B = \emptyset </tex>}} {{Определение|definition =События называются '''независимыми в совокупности''' (англ. ''mutually independent''), если для <tex>\forall I\subset \{1, \ldots, k\}</tex> <tex>p(\bigcap\limits_{i \in I} A_{i}) = \prod\limits_{i \in I} p(A_{i})</tex>}} {{Определение|definition =События <tex>A_{1}, \ldots,A_{n}</tex> называются '''попарно независимыми''' (англ. ''pairwise independent''), если для <tex>\forall i \neq j</tex> <tex>\Rightarrow A_{i}</tex> и <tex>A_{j}</tex> {{---}} независимы. }} {{Утверждение|statement =Несовместные события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> являются независимыми, тогда и только тогда если хотя бы одно из них является пустым множеством.|proof =<tex>\Rightarrow </tex>: Если несовместные события являются независимыми, то выполняется <tex> p(A \cap B) = p(A)\cdot p(B) </tex>. Также для несовместных событий выполняется <tex> A \cap B = \emptyset </tex>. Следовательно <tex> p(\emptyset) = p(A) \cdot p(B) </tex>. А это выполняется тогда и только тогда когда <tex> p(A) = 0 </tex> или <tex> p(B) = 0 </tex>. <tex> \Leftarrow </tex>:Допустим <tex>A</tex> является пустым множеством, тогда <tex> A \cap B = \emptyset</tex>. Значит <tex> p(A \cap B) = 0 </tex> и <tex> p(A) \cdot p(B) = 0</tex>. Следовательно события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> являются независимыми.

*==== Игральная кость====<tex> A = \{2,4,6\}\ p(A)=\fracdfrac{1}{2} </tex> {{--- }} вероятность выпадения чётной цифры <tex> B=\{1,2,3\}\ p(B)=\dfrac{1}{2} </tex> {{---}} вероятность выпадения одной из первых трёх цифр <tex> A \cap B = \{2\} \neq \emptyset </tex>, значит эти события не несовместны. <tex> p(A \cap B)=p(\{2\})=\dfrac{1}{6}</tex>  <tex>p(A) \cdot p(B)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}</tex> Получаем, что <tex>p(A \cap B) \neq p(A) \cdot p(B)</tex>, значит эти события не независимы.==== Карты ====<tex> A = \{(1,j)\}\ p(A)=\dfrac{1}{4} </tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданной масти  <tex> B=\{(i,1)\}\ p(B)=\dfrac{1}{13} </tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданного достоинства <tex> A \cap B = \{(1,1)\} \neq \emptyset </tex>, значит эти события не несовместны. <tex> p(A \cap B)=p(\{(1,1)\})=\dfrac{1}{52}</tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданной масти и заданного достоинства <tex>p(A) \cdot p(B)=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{13}=\dfrac{1}{52}</tex> Получаем, что <tex>p(A \cap B)=p(A) \cdot p(B)</tex>, значит эти события независимы.==== Честная монета ==== <tex> A = \{0\}\ </tex> {{---}} выпадение орла <tex> B=\{1\}\ </tex> {{---}} выпадение решки <tex> A \cap B = \emptyset </tex>, значит эти события несовместны.==== Тетраэдр Бернштейна ====Попарно независимые события и события, независимые в совокупности {{---}} это не одно и то же. Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета. <tex> A </tex> {{---}} выпадение грани, содержащей красный цвет

<tex> B=\{1,2,3\}\ p(B)=\frac{1}{2} </tex> {{-- вероятность выпадения одной из первых трёх цифр-}} выпадение грани, содержащей синий цвет

<tex> p(A \cap B)=p(\C </tex> {2\})=\frac{1---}{6}</tex> выпадение грани, содержащей зеленый цвет

Получаем, что <tex>p(A \cap B) \neq p(A)=p(B)</tex>, значит эти события не независимы.*Карты<tex> A = \{(1,j)\}\ p(AC)=\fracdfrac{1}{42} </tex> - вероятность выпадения карты заданной масти

Так как одна грань содержит все три цвета, а остальные {{---}} по одному, то вероятность пересечения любых двух событий равна:<tex> p(A \cap B)=p(A \{(i,1cap C)\}\ =p(B\cap C)=\fracdfrac {1}{134} </tex> - вероятность выпадения карты заданного достоинства

<tex> p(A ) \cap cdot p(B)=p(A) \cdot p(C)=p(B) \cdot p(C)=\dfrac{(1,}{2}\cdot\dfrac{1)\}){2}=\fracdfrac{1}{524}</tex> - вероятность выпадения карты заданной масти и заданного достоинства

Все события попарно независимы, так как: <tex>p(A\cap B)=p(BA)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{13}=\frac{1}{52}p(B)</tex>

Получаем, что <tex>p(A \cap BC)=p(A)\cdot p(BC)</tex>, значит эти события независимы.

{{Определение<tex>p(B \cap C)=p(B) \cdot p(C)</tex>|definition =События называются независимыми в совокупности, если для Вероятность пересечения всех трёх равна: <tex>p(A \forall Icap B \subset cap C)=\dfrac{1, ..., k\}{4}</tex>  <tex>p(A) \cdot p(B) \bigcupcdot p(C)=\limits_dfrac{1}{i 2}\cdot\in Idfrac{1} A_{i2}) = \prodcdot\limits_dfrac{1}{i 2}=\in Idfrac{1}{8} </tex> Cобытия не являются независимыми в совокупности, так как: <tex>p(A \cap B \cap C) \neq p(A) \cdot p(B) \cdot p(A_{i}C)</tex>}}

{{Определение|definition =События <tex>A_{1}Получили, ...что события являются попарно независимыми,A_{n}</tex> называются попарно но не являются независимымив совокупности, значит, если для <tex>\forall i \neq j</tex> <tex>\Rightarrow A_эти два понятия {{i---}}</tex> не одно и то же, что мы и <tex>A_{j}</tex> - независимыхотели показать.

==ЗамечаниеИсточники информации ==*[http://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node13.html НГУ {{---}} Независимость]

Попарно независимые события и события, независимые в совокупности - это не одно и то же. Пример*[http: тетраэдр Бернштейна//ru.Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цветаwikipedia. Событие А org/wiki/Независимость_(соответственно, В, Стеория_вероятностей) означает, что выпала грань, содержащая красный Википедия {{---}} Независимость (соответственно, синий, зелёныйтеория вероятностей) цвета. ]

Вероятность каждого из этих событий равна 1/2, так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх*''Романовский И. Вероятность пересечения любых двух из них равна 1/4, так как только одна грань из четырёх содержит два цвета. А так как 1/4 = 1/2 · 1/2, то все события попарно независимыВ. '' Дискретный анализ