403
правки
Изменения
м
-опечатки
<tex>S = S_n + \lim\limits_{n \to \infty} R_n</tex>.
При <tex>n \to \infty</tex>, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} R_n = 0</tex>
}}
Пусть <tex>\left|\sum\limits_{k = 1}^\infty b_k\right| \leq M</tex>, <tex>a_n</tex> убывает и <tex>a_n \to 0</tex>. Тогда <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_n b_n</tex> сходится.
|proof=
По критерию Коши нужно установить, что <tex>\sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k b_k \xrightarrow[n,p\to \infty] {} 0</tex>.
Для этого применим приём, имеющий важное значение в анализе в целом {{---}} преобразование Абеля.
<tex>\sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k b_k =</tex> <tex>\sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k(B_k - B_{k - 1}) =</tex>
<tex>\sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k B_k - \sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k B_{k - 1} =</tex>
<tex>\sum\limits_{j = n}^{n + p} a_j b_j B_j - \sum\limits_{j = n - 1}^{n + p - 1} a_{j + 1} B_j =</tex>
<tex>a_{n + p}B_{n + p} - a_n B_{n - 1} + \sum\limits_{j = n}^{n + p - 1} (a_j - a_{j + 1}) B_j</tex>
<tex>M(a_{n + p} + a_n) + M(a_n - a_{n + p}) \leq 4Ma_n</tex>
<tex>a_n \xrightarrow[n \to \infty] {} 0 \Rightarrow 4Ma_n \to 0</tex>
}}
