1302
правки
Изменения
→Определение: орфография
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
__TOC__
== Определение ==
{{Определение
|definition=
Если в ряду есть бесконецно бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов, то такой ряд называется незнакопостоянным
}}
В силу оценок <tex>a_n^+ \leq |a_n|</tex>, если ряд абсолютно сходится, то сходятся и оба вспомогательных ряда и
<tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_n = \sum\limits_{k = 1}^\infty a_k^+ + - \sum\limits_{k = 1}^\infty a_k^-</tex>.
{{Утверждение
Пусть дан сходящийся ряд. Рассмотрим <tex>S_{n + m} = S_n + a_{n + 1} + \ldots + a_{n + m}</tex>.
Так как ряд расходящийсясходящийся, у частичных сумм есть предел <tex>S</tex>. Зафиксируем в равенстве <tex>n</tex> и устремим <tex>m</tex> к бесконечности. Тогда в пределе,
<tex>S = S_n + \sum\limits_{k = n + 1}^\infty a_k</tex>.
<tex>S = S_n + \lim\limits_{n \to \infty} R_n</tex>.
При <tex>n \to \infty</tex>, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} R_n = 0</tex>
}}
Пусть <tex>\left|\sum\limits_{k = 1}^\infty b_k\right| \leq M</tex>, <tex>a_n</tex> убывает и <tex>a_n \to 0</tex>. Тогда <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_n b_n</tex> сходится.
|proof=
По критерию Коши нужно установить, что <tex>\sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k b_k \xrightarrow[n,p\to \infty] {} 0</tex>.
Для этого применим приём, имеющий важное значение в анализе в целом {{---}} преобразование Абеля.
<tex>\sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k b_k =</tex> <tex>\sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k(B_k - B_{k - 1}) =</tex>
<tex>\sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k B_k - \sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k B_{k - 1} =</tex>
<tex>\sum\limits_{j = n}^{n + p} a_j b_j B_j - \sum\limits_{j = n - 1}^{n + p - 1} a_{j + 1} B_j =</tex>
<tex>a_{n + p}B_{n + p} - a_n B_{n - 1} + \sum\limits_{j = n}^{n + p - 1} (a_j - a_{j + 1}) B_j</tex>
<tex>M(a_{n + p} + a_n) + M(a_n - a_{n + p}) \leq 4Ma_n</tex>
<tex>a_n \xrightarrow[n \to \infty] {} 0 \Rightarrow 4Ma_n \to 0</tex>
}}
