689
правок
Изменения
м
{{В разработке}}[[Определение интеграла Лебега|<<]] [[Предельный переход под знаком интеграла Лебега|>>]]
Нет описания правки
Далее, для краткости, «определённый интеграл Лебега» будет означать интеграл Лебега от ограниченной измеримой функции по множеству конечной меры.
Учитывая, что <tex>m \leq f(x) \leq M</tex> и <tex>\mu e E \geq 0</tex>, <tex>\mu E = \sum\limits_{i=1}^n \mu e_i </tex>, имеем набор неравенств <tex> m\mu E \leq \underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau) \leq M\mu E</tex>.
То есть, <tex>m \mu E \leq \int\limits_{E} f(x) d\mu \leq M \mu E</tex>.
Так как <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>\mu E = \sum\limits_{n=1}^p \mu E_n + \mu B_p</tex>, по <tex>\sigma</tex>-аддитивности.
<tex>\mu E = \sum\limits_{n=1}^\infty \mu E_n</tex>.
Так как остаток сходящегося числового ряда стремится к нулю, <tex>\mu B_p \to 0</tex>.
Тогда, так как <tex>\left|\int\limits_{B_p}\right| \leq \mu B_p \cdot M</tex>, <tex>\int\limits_{B_p} \xrightarrow[p\to \infty]{} 0</tex>.
Тогда, при <tex>p\to\infty</tex>, <tex>\int\limits_{E} = \sum\limits_{n=1}^p \infty </tex>, что нам и требовалось.
}}
|statement=Пусть <tex>\exists\int\limits_E fd\mu, \int\limits_E gd\mu</tex>, <tex>\mu E(f\ne g) = 0</tex>. Тогда <tex>\int\limits_E fd\mu = \int\limits_E gd\mu</tex>
|proof=Действительно, <tex>E_1 = E(f \ne g)</tex> {{---}} измеримо, так как <tex>f</tex> и <tex>g</tex> {{---}} измеримы.
<tex>E(f\ne g) = \bigcup\limits_{n=1}^\infty (|f-g|\leq geq \frac1n)</tex> {{---}} счётное объединение измеримых множеств.
<tex>E_2 = E \setminus E_1</tex>. <tex>E</tex> разбито на две дизъюнктных части,
}}
Если вернуться к <tex>f = \begin{cases}0, & x \in \mathbb{Q}\\1, & x \notin \mathbb{Q}\end{cases}</tex> и <tex>g = 1</tex>, то, так как <tex> f = g </tex> везде, кроме нульмерного множества, то <tex>\int\limits_{[0;1]} fd\mu = \int\limits_{[0;1]}1d\mu = 1</tex>.
== Линейность ==
<tex>m_j(f) + m_j(g) \leq f(x) + g(x) \leq M_j(f) + M_j(g)</tex>
<tex>m_j(f) + m_j(g) \leq m_j(f + g) \leq M_j(f + g) \leq M_j(f) + \leq M_j(g)</tex>
Суммируем по <tex>j</tex>:
<tex>\underline{s}(f) + \underline{s}(g) \leq \underline{s}(f+g) \leq \int\limits_Eflimits_E(f+g ) \leq \overline{s}(f+g) \leq \overline{s}(f ) + \overline{s}(g)</tex>.
<tex>\underline{s}(f) + \underline{s}(g) \leq \int\limits_Ef+\int\limits_Eg</tex>, <tex>\int\limits_E(f+g)\leq \overline{s}(f) + \overline{s}(g)</tex>.
}}
[[Определение интеграла Лебега|<<]][[Предельный переход под знаком интеграла Лебега|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
