689
правок
Изменения
м
Вроде бы суть в том, что раньше мера была ограниченной и функция тоже, теперь наоборот.
Боле Более того, по сигма-конечности меры, можно рассмотреть объединение <tex>X = \bigcup \limits_{n} X_n</tex>, <tex>\mu X_n < +\infty</tex>:
{TODO|t=здесь и далее есть путаница между классом Все <tex> e \in \mathcal E</tex> и его представителями, надо как-нибудь ее устранить}будем условно называть "хорошими множествами".
так понятнее
[[Предельный переход под знаком интеграла Лебега|<<]] [[Суммируемые функции произвольного знака|>>]]
Будем рассматривать пространство с <tex>\sigma</tex>-конечной, полной мерой.
Пусть <tex>E</tex> - произвольное измеримое множество, <tex>f: E \to \mathbb{R_{+}}</tex> - измеримая функция.
Рассмотрим набор измеримых множеств <tex> \mathcal E = \{ e \} </tex>, такой, что <tex>e \in subset E</tex> - измеримо, <tex>\mu e < +\infty</tex>, <tex>f</tex> - ограничена на <tex>e</tex>. В такой ситуации существует интеграл Лебега <tex>\int \limits_{Ee} f d\mu</tex> . {{---Определение|definition=Интеграл <tex>\int\limits_{E}fd\mu = \sup\limits_{e} \int\limits_{e}fd\mu</tex>}} интеграл Лебега.
{{Определение
|definition=
<tex> f </tex> '''суммируема''' на <tex> E </tex>, если в <tex>e</tex> есть непустое измеримое множество, и интегралом <tex>\int\limits_{E}fd\mu = sup< +\int\limits_{e}fd\muinfty</tex>}}
Класс <tex>e\mathcal E</tex> непуст, так как всегда <tex>\varnothing \in e\mathcal E</tex>.
Пусть <tex>E_m = E(f(x) \le m)</tex>, <tex>E = \bigcup \limits_{m = 1}^{\infty}E_m</tex>, но
<tex>E = E \cap X = \bigcup\limits_{m, n} (E_m \cap X_n)</tex>
<tex>E_m \cap X_n \subset X_n</tex>, поэтому <tex>\mu(E_m \cap X_n) < \mu X_n < +\infty</tex> (на множестве <tex>E_m \cap X_n</tex> <tex>f</tex> {{---}} ограничена), следовательно, <tex>\forall E_m \bigcap X_n \in e\mathcal E</tex>. Все <tex>e</tex> будем условно называть "хорошими множествами".
<tex>f</tex> {{---}} суммируема на всех <tex>E_n</tex>, <tex>\forall \varepsilon > 0</tex>:
<tex>\int \limits_{E_n} (f - \frac{\varepsilon}{2^n}) < \int \limits_{e_n} f</tex>.
Просуммируем по <tex> n </tex>:
Устремим <tex>N \to \infty</tex>, что можно сделать, так как это числа:
<tex>\sum \limits_{n} \int \limits_{E_n} f + - \varepsilon \le \int \limits_{E} f</tex>.
Устремив <tex>\varepsilon \to 0</tex>, приходим к противоположному неравенству, таким образом, равенство доказано.
