Непланарность K5 и K3,3 — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 16: Строка 16:
 
Пусть граф <tex>K_{3,3}</tex> планарен. Тогда по [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>F = E - V + 2 = 9 - 6 + 2 = 5</tex>. Пусть, двигаясь вдоль <tex>i</tex>-й грани мы пройдем <tex>l_i</tex> ребер. Очевидно, что <tex>\sum_{i=1}^{F}l_i = 2E</tex>. Поскольку граф двудольный, все его циклы имеют четную длину. Значит <tex>l_i \geqslant 4</tex>. Получаем <tex>4F \leqslant 2E</tex>, то есть <tex>2F \leqslant E</tex>. То есть <tex>2\cdot5 = 10 \leqslant 9</tex>, что невозможно.
 
Пусть граф <tex>K_{3,3}</tex> планарен. Тогда по [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>F = E - V + 2 = 9 - 6 + 2 = 5</tex>. Пусть, двигаясь вдоль <tex>i</tex>-й грани мы пройдем <tex>l_i</tex> ребер. Очевидно, что <tex>\sum_{i=1}^{F}l_i = 2E</tex>. Поскольку граф двудольный, все его циклы имеют четную длину. Значит <tex>l_i \geqslant 4</tex>. Получаем <tex>4F \leqslant 2E</tex>, то есть <tex>2F \leqslant E</tex>. То есть <tex>2\cdot5 = 10 \leqslant 9</tex>, что невозможно.
 
}}
 
}}
 +
 +
==См. также==
 +
* [[wikipedia:ru:Планарный граф | Википедия {{---}} Планарный граф]]
 +
* [[wikipedia:ru:Домики и колодцы | Википедия {{---}} Домики и колодцы]]
  
 
==Источники информации==
 
==Источники информации==
 
* Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. {{---}} Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы: Учебное пособие. 2-е изд., испр. и доп. {{---}} СПб.: Издательство "Лань", 2010. {{---}} C. 134 {{---}} (Учебники для вузов. Специальная литература). ISBN 978-5-8114-1068-2
 
* Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. {{---}} Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы: Учебное пособие. 2-е изд., испр. и доп. {{---}} СПб.: Издательство "Лань", 2010. {{---}} C. 134 {{---}} (Учебники для вузов. Специальная литература). ISBN 978-5-8114-1068-2
* [[wikipedia:ru:Планарный граф | Википедия {{---}} Планарный граф]]
 
* [[wikipedia:ru:Домики и колодцы | Википедия {{---}} Домики и колодцы]]
 
  
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Укладки графов ]]
 
[[Категория: Укладки графов ]]

Версия 17:14, 3 января 2017

Теорема (Непланарность [math]K_5[/math]):
Граф [math]K_5[/math] непланарен.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Граф [math]K_5[/math] имеет [math]5[/math] вершин и [math]10[/math] ребер. Если он планарен, то по следствию из формулы Эйлера получаем [math]10 \leqslant 3 \cdot 5 - 6 = 9[/math]. Что невозможно.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Непланарность [math]K_{3,3}[/math]):
Граф [math]K_{3,3}[/math] непланарен.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Граф [math]K_{3,3}[/math] содержит [math]V = 6[/math], [math]E = 9[/math] и [math]F[/math] граней.

Пусть граф [math]K_{3,3}[/math] планарен. Тогда по формуле Эйлера [math]F = E - V + 2 = 9 - 6 + 2 = 5[/math]. Пусть, двигаясь вдоль [math]i[/math]-й грани мы пройдем [math]l_i[/math] ребер. Очевидно, что [math]\sum_{i=1}^{F}l_i = 2E[/math]. Поскольку граф двудольный, все его циклы имеют четную длину. Значит [math]l_i \geqslant 4[/math]. Получаем [math]4F \leqslant 2E[/math], то есть [math]2F \leqslant E[/math]. То есть [math]2\cdot5 = 10 \leqslant 9[/math], что невозможно.
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Источники информации

  • Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы: Учебное пособие. 2-е изд., испр. и доп. — СПб.: Издательство "Лань", 2010. — C. 134 — (Учебники для вузов. Специальная литература). ISBN 978-5-8114-1068-2