Непланарность K5 и K3,3

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
НЕТ ВОЙНЕ

24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.

Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.

Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.

Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.

Антивоенный комитет России

Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
meduza.io, Популярная политика, Новая газета, zona.media, Майкл Наки.
Теорема (Непланарность [math]K_5[/math]):
Граф [math]K_5[/math] непланарен.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Граф [math]K_5[/math] имеет [math]5[/math] вершин и [math]10[/math] ребер. Если он планарен, то по следствию из формулы Эйлера получаем [math]10 \leqslant 3 \cdot 5 - 6 = 9[/math]. Что невозможно.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Непланарность [math]K_{3,3}[/math]):
Граф [math]K_{3,3}[/math] непланарен.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Граф [math]K_{3,3}[/math] содержит [math]V = 6[/math], [math]E = 9[/math] и [math]F[/math] граней.

Пусть граф [math]K_{3,3}[/math] планарен. Тогда по формуле Эйлера [math]F = E - V + 2 = 9 - 6 + 2 = 5[/math]. Пусть, двигаясь вдоль [math]i[/math]-й грани мы пройдем [math]l_i[/math] ребер. Очевидно, что [math]\sum_{i=1}^{F}l_i = 2E[/math]. Поскольку граф двудольный, все его циклы имеют четную длину. Значит [math]l_i \geqslant 4[/math]. Получаем [math]4F \leqslant 2E[/math], то есть [math]2F \leqslant E[/math]. То есть [math]2\cdot5 = 10 \leqslant 9[/math], что невозможно.
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Источники информации

  • Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы: Учебное пособие. 2-е изд., испр. и доп. стр. 134 — СПб.: Издательство "Лань", 2010. — 368 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература). ISBN 978-5-8114-1068-2