Неравенство Бернштейна

<<>>

Эта статья находится в разработке!

[math]T_n(x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{k=1}^n (a_k \cos kx + b_k \sin kx)[/math]

Теорема (Бернштейн):

[math]\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T'_n(x)| \le n\cdot\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T(x)|[/math]. Константу [math]n[/math] уменьшить нельзя

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]T_n = \sin nx \Rightarrow T'_n = n \cos nx[/math]. Здесь [math]n[/math] уменьшить нельзя. Так как это неравенство понадобится для так называемых обратных задач теории приближений, то мы приведём доказательство более грубого неравенства, но порядок константы будет тот же самый: вместо [math]n[/math] будет [math]2n[/math]. Доказательство классического неравенства более трудное. Однако, наше можно доказать, используя [math]L_p[/math]. Основываемся на том, что тригонометрический полином — ряд