29
правок
Изменения
м
мелкие изменения текста
Рассматриваемое ниже неравенство Крафта показывает, для каких длин кодовых слов существует префиксный код, но приведенное ниже доказательство не показывает, как его строитьявляется конструктивным.
{{Теорема
|about=неравенство Крафта
<center><tex> \sum\limits_{i = 1}^{q} r ^{-l_i} \leqslant 1 </tex></center>
где <tex>r</tex> - — основание (число символов) в кодовом алфавите.
|proof=
Неравенство Крафта легко доказать с помощью дерева декодирования, существование которого следует из существования префиксного кода. Будем рассуждать по [[Математическая индукция|индукции]].
Для простоты рассмотрим сначала случай двоичного алфавита, т. е. <tex>r = 2</tex>. Если максимальная длина пути на дереве равна <tex>1</tex>, то на нем в дереве есть одно или два ребра длины <tex>1</tex>. Таким образом, либо <tex> \frac{1}{2} \leq 1 </tex> — для одного символа источника, либо <tex> \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \leq 1 </tex> - — для двух символов источника.
Предположим далее, что неравенство Крафта справедливо для всех деревьев длины меньше <tex>n</tex>. Для данного дерева максимальной длины <tex>n</tex> ребра из первой вершины ведут к двум поддеревьям, длины которых не превышают <tex>n - 1</tex>; для этих поддеревьев имеем неравенства <tex>K_1 \leq 1</tex> и <tex>K_2 \leq 1</tex>, где <tex>K_1, K_2</tex> - — значения соответствующих им сумм. Каждая длина <tex>l_i</tex> в поддереве увеличивается на <tex>1</tex>, когда поддерево присоединяется к основному дереву, поэтому возникает дополнительный множитель <tex>\frac{1}{2}</tex>. Таким образом, имеем <tex>\frac{1}{2} K_1 + \frac{1}{2} K_2 \leq 1</tex>.
В случае произвольного недвоичного основания <tex>r</tex> имеется не более <tex>r</tex> ребер, исходящих из каждой вершины, т. е. не более <tex>r</tex> поддеревьев; каждое из них присоединяется к основному дереву, давая дополнительный множитель <tex>\frac{1}{r}</tex>. Отсюда снова следует утверждение теоремы.
