Изменения

#: Если некоторое <tex> l_i = 0 </tex> , то <tex> n = 1 </tex> . В таком случае пустая строка является искомым префиксным кодом. Далее все <tex> l_i \geqslant 1 </tex> . #Для доказательства корректности разделим длины <tex> l_i </tex> на <tex>r</tex> групп, внутри каждой из которых <tex> \sum\limits r ^{-l_i} \leqslant \dfrac{1}{r} </tex> .#: Пусть у нас есть <tex>n</tex> символов, кодовые слова которого имеют длины <tex>l_1 \leqslant l_2 \leqslant \ldots \leqslant l_n </tex>. Давайте разделим данные символы на <tex>r</tex> групп, внутри каждой из которых <tex> \sum\limits r ^{-l_i} \leqslant \dfrac{1}{r} </tex> . Разделить символы на группы можно следующим жадным образом: брать <tex> l_i </tex> в порядке увеличения индекса.  *#:Докажем, что в таком случае группа будет либо полностью укомплектована, либо будут исчерпаны все возможные <tex> l_i </tex> . Это следует из того, что при <tex> l_i \geqslant 1 </tex> на <tex>i</tex>-ом шаге либо группа уже укомплектована, либо ее остаток равен:  #: <center><tex> \dfrac{1}{r} - \left ( \dfrac{1}{r^{l_1}} + \ldots + \dfrac{1}{r^{l_i-1}} \right ) = \dfrac{r^{l_i-1} - ( r^{l_i - l_1} + r^{l_i - l_2} + \ldots + r^{l_i - l_{i - 1}} )}{r^{l_i}}</tex></center> *#:Так как группа не укомплектована, то числитель положителен. Если добавим <tex> l_i </tex> в группу, то числитель уменьшится на <tex>1</tex>. Тогда, взяв <tex> l_i </tex> в группу, мы не перепрыгнем через максимальное значение. А значит, создавая группы по данному алгоритму мы сможем построить <tex>r</tex> групп, удовлетворяющих условию. #: Для доказательства достаточности опишем рекурсивную процедуру, которая строит код для данного набора длин <tex> l_i </tex> , удовлетворяющих неравенству <tex> \sum\limits_{i = 1}^{n} r ^{-l_i} \leqslant 1 </tex> . #: Разделим длины <tex> l_i </tex> на <tex>r</tex> групп, внутри каждой из которых <tex> \sum\limits r ^{-l_i} \leqslant \dfrac{1}{r} </tex> . Разделить длины на группы будем алгоритмом описанным выше. У всех слов из одной группы будет одна и та же начальная буква.  #: Запуститим данную процедуру для каждой группы слов, предварительно обрезав первую букву. #: Доказательство корректности проведём по По индукции по величине <tex> l_n </tex> докажем, что наш алгоритм корректен.  #:'''База:''' Если <tex> l_n = 0 </tex>, то процедура корректна.  #:'''Переход: ''' Допустим, что процедура корректна для <tex> l_n = w </tex> . Докажем, что процедура корректна и для <tex> l_n = w + 1 </tex> .  #:Заметим, что у слов каждой группы будет своя начальная буква, поэтому достаточно проверить префиксность кода для каждой группы. А это истинно по предположению индукции, где для каждой группы <tex> l_i \leqslant w </tex> .