748
правок
Изменения
Нет описания правки
Рассматриваемое ниже неравенство Крафта показывает, для каких длин кодовых слов существует префиксный код, но приведенное ниже доказательство не является конструктивным.
{{Теорема
|about=неравенство Крафта
|statement=
<center><tex> \sum\limits_{i = 1}^{n} r ^{-l_i} \leqslant 1 </tex></center>
[[file:Treeforkraft.jpg|thumb|250px|Иллюстрация к доказательству индукционного перехода]]
'''Необходимость:''' Напомним, что префиксный код можно представить в виде <tex>r</tex>-ичного корневого дерева, рёбра которого соответствуют символам алфавита, а листья соответствующим кодам. Неравенство Крафта будем доказывать по [[Математическая индукция|индукции]]. Для простоты рассмотрим сначала случай двоичного алфавита, то есть <tex>r = 2</tex>. '''База:''' Если максимальная длина пути на дереве равна <tex>1</tex>, то в дереве есть одно или два ребра длины <tex>1</tex>. Таким образом, либо <tex> \dfrac{1}{2} \leqslant 1 </tex> — для одного символа источника, либо <tex> \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \leqslant 1 </tex> — для двух символов источника. '''Переход:''' Предположим далее, что неравенство Крафта справедливо для всех деревьев высоты меньше <tex>n - 1</tex>. Докажем, что оно справедливо и для всех деревьев высоты меньше <tex>n</tex>. Для данного дерева максимальной высоты <tex>n</tex> ребра из первой вершины ведут к двум поддеревьям, высоты которых не превышают <tex>n - 1</tex>; для этих поддеревьев имеем неравенства <tex>K_1 \leqslant 1</tex> и <tex>K_2 \leqslant 1</tex>, где <tex>K_1, K_2</tex> — значения соответствующих им сумм. Каждая длина <tex>l_i</tex> в поддереве увеличивается на <tex>1</tex>, когда поддерево присоединяется к основному дереву, поэтому возникает дополнительный множитель <tex>\dfrac{1}{2}</tex>. Таким образом, имеем <tex>\dfrac{1}{2} K_1 + \dfrac{1}{2} K_2 \leqslant 1</tex>.
В случае произвольного недвоичного основания <tex>r</tex> имеется не более <tex>r</tex> ребер, исходящих из каждой вершины, то есть не более <tex>r</tex> поддеревьев; каждое из них присоединяется к основному дереву, давая дополнительный множитель <tex>\dfrac{1}{r}</tex>. Отсюда снова следует утверждение теоремы.
'''Достаточность:'''
[[file:Tree2forkraft.jpg|thumb|300px|Пример разбиения на группы, при <tex> r = 2</tex>, символах ''a, b, c'', где <tex> l_a = 2, l_b = 2, l_c = 1</tex>]]
#Если некоторое <tex> l_i = 0 </tex> , то <tex> n = 1 </tex> . В таком случае пустая строка является искомым префиксным кодом. Далее все <tex> l_i \geqslant 1 </tex> .
#Для доказательства корректности разделим длины <tex> l_i </tex> на <tex>r</tex> , возможно пустых, групп, внутри каждой из которых <tex> \sum\limits r ^{-l_i} \leqslant \dfrac{1}{r} </tex> .
#:Пусть у нас есть <tex>n</tex> символов, кодовые слова имеют длины <tex>l_1 \leqslant l_2 \leqslant \ldots \leqslant l_n </tex>. Давайте разделим данные символы на <tex>r</tex> групп, внутри каждой из которых <tex> \sum\limits r ^{-l_i} \leqslant \dfrac{1}{r} </tex> . Разделить символы на группы можно следующим жадным образом: брать <tex> l_i </tex> в порядке увеличения индекса.
#:Докажем, что в таком случае группа будет либо полностью укомплектована <tex>(\sum\limits r ^{-l_i} = \dfrac{1}{r})</tex>, либо будут исчерпаны все возможные <tex> l_i </tex> . Это следует из того, что при <tex> l_i \geqslant 1 </tex> на <tex>i</tex>-ом шаге либо группа уже укомплектована, либо ее остаток равен:
#: <center><tex> \dfrac{1}{r} - \left ( r^{-l_1} + r^{-l_2} + \ldots + r^{-l_{i-1}} \right ) = \dfrac{r^{l_i-1} - ( r^{l_i - l_1} + r^{l_i - l_2} + \ldots + r^{l_i - l_{i - 1}} )}{r^{l_i}}</tex></center>
#:Так как группа не укомплектована, то числитель положителен. Если добавим <tex> l_i </tex> в группу, то числитель уменьшится на <tex>1</tex>, где <tex>l_i - l_j</tex> неотрицательно при <tex> i \geqslant j </tex> , и <tex> r \in \mathbb{N} </tex>. Следовательно числитель — натуральное число. Тогда, взяв <tex> l_i </tex> в группу, мы не перепрыгнем через максимальное значение, то есть сумма группы <tex> \leqslant \dfrac{1}{r} </tex> . А значит, создавая группы по данному алгоритму мы сможем построить <tex>r</tex> групп, удовлетворяющих условию.
#Выберем для каждой группы свой начальный символ. Запуститим данную процедуру для каждой группы слов, предварительно обрезав первую букву.
#По индукции по величине <tex> l_n </tex> докажем, что наш алгоритм корректен.
#:'''База:''' При <tex> l_n = 0 </tex> корректность процедуры очевидна.
#:'''Переход: ''' Допустим, что процедура корректна для <tex> l_n = w </tex> . Докажем, что процедура корректна и для <tex> l_n = w + 1 </tex> .
#:Заметим, что у слов каждой группы будет своя начальная буква, поэтому достаточно проверить префиксность кода для каждой группы. А это истинно по предположению индукции, где для каждой группы <tex> l_i \leqslant w </tex> .
}}
