748
правок
Изменения
Нет описания правки
|about=неравенство Крафта
|statement=
Пусть у нас есть <tex>n</tex> [[Основные определения, связанные со строками|символов]], кодовые слова которые которых имеют длины <tex>l_1 \leqslant l_2 \leqslant \ldots \leqslant l_n </tex>.
Тогда необходимое и достаточное условие существования префиксного кода в <tex>r</tex>-ичном алфавите для данных символов, состоит в выполнении неравенства:
#Для доказательства корректности разделим длины <tex> l_i </tex> на <tex>r</tex> , возможно пустых, групп, внутри каждой из которых <tex> \sum\limits r ^{-l_i} \leqslant \dfrac{1}{r} </tex> .
#:Пусть у нас есть <tex>n</tex> символов, кодовые слова имеют длины <tex>l_1 \leqslant l_2 \leqslant \ldots \leqslant l_n </tex>. Давайте разделим данные символы на <tex>r</tex> групп, внутри каждой из которых <tex> \sum\limits r ^{-l_i} \leqslant \dfrac{1}{r} </tex> . Разделить символы на группы можно следующим жадным образом: брать <tex> l_i </tex> в порядке увеличения индекса.
#:Докажем, что в таком случае группа будет либо полностью укомплектована<tex>(\sum\limits r ^{-l_i} = \dfrac{1}{r})</tex>, либо будут исчерпаны все возможные <tex> l_i </tex> . Это следует из того, что при <tex> l_i \geqslant 1 </tex> на <tex>i</tex>-ом шаге либо группа уже укомплектована, либо ее остаток равен:
#: <center><tex> \dfrac{1}{r} - \left ( r^{-l_1} + r^{-l_2} + \ldots + r^{-l_{i-1}} \right ) = \dfrac{r^{l_i-1} - ( r^{l_i - l_1} + r^{l_i - l_2} + \ldots + r^{l_i - l_{i - 1}} )}{r^{l_i}}</tex></center>
#:Так как группа не укомплектована, то числитель положителен. Если добавим <tex> l_i </tex> в группу, то числитель уменьшится на <tex>1</tex>, где <tex>l_i - l_j</tex> неотрицательно при <tex> i \geqslant j </tex> , и <tex> r \in \mathbb{N} </tex>. Следовательно числитель — натуральное число. Тогда, взяв <tex> l_i </tex> в группу, мы не перепрыгнем через максимальное значение, то есть сумма группы <tex> \leqslant \dfrac{1}{r} </tex> . А значит, создавая группы по данному алгоритму мы сможем построить <tex>r</tex> групп, удовлетворяющих условию.
