Изменения

== Необходимые определения =={{Определение|definition=Пусть нам дан '''''алфавит''''', то есть конечное множество, элементы которого называются '''''символами''''' или '''''буквами''''' этого алфавитаПри необходимости построить префиксный код с большим числом кодовых слов заданной длины проверка существования такого кода может быть достаточно сложной. '''''Кодом''''' для алфавита <tex>A</tex> называется функция (таблица) <tex>\alpha</tex>, которая для каждого символа <tex>a</tex> из <tex>A</tex> указывает двоичное слово <tex>\alpha(a)</tex>, называемое '''''кодовым словом''''', или просто '''''кодом''''' этого символа. (Двоичное слово - конечная последовательность нулей Но неравенство Макмиллана даёт необходимое условие существования префиксных и единиц.) Не требуется, чтобы коды всех символов имели равные длины.}}{{Определениелюбых [[Кодирование информации |definition=Хороший код должен позволять декодирование(восстановление последовательности символов по ее коду). Пусть фиксирован алфавит <tex>A</tex> и код <tex>\alpha</tex> для этого алфавита. Для каждого слова <tex>P</tex> в алфавите <tex>A</tex> (то есть для любой конечной последовательности букв алфавита <tex>A</tex>) рассмотрим двоичное слово <tex>\alpha(P)</tex>, которое получается, если записать подряд коды всех букв из <tex>P</tex> (без каких либо разделителей). Код <tex>\alpha</tex> называется '''''однозначным'''''однозначно декодируемых кодов]], если коды различных обладающих заданным набором длин кодовых слов различны: <tex>\alpha(P)\ne\alpha(P')</tex> при <tex>P\ne{P'}</tex>.}}== Неравенство Макмиллана ==

<tex> \sum\limits_{i = 1}^{I|A|} 2^{-l_i} \le leqslant 1</tex> (где <tex>|A| = I</tex> , а <tex>l_i</tex> {{---}} длины кодовых слов) выполняется не только для любого префиксного кода, но и вообще для любого однозначного [[Кодирование информации | однозначно декодируемого кода.]]

Есть разные способы решить эту задачу, но будет приведено простое и красивое, хотя и несколько загадочное, решение. <br />Пусть имеется [[Кодирование информации | однозначный код ]] с <tex>k</tex> кодовыми словами <tex>P_1,P_2, ...\dots, P_k</tex>. Необходимо доказать, что их длины <tex>n_i=|P_i|</tex> удовлетворяют Неравенству Крафта-неравенству Макмиллана.

Вместо Для удобства при кодировании вместо нулей и единиц будем использовать <tex>a</tex> и <tex>b</tex> (из чего составлять коды разницы нет). Запишем формально сумму всех кодовых слов как алгебраическое выражение <tex>P_1+P_2+...P_k</tex> (многочлен от <tex>a</tex> и <tex>b</tex>, в котором одночлены записаны как произведения переменных <tex>a</tex> и <tex>b</tex>, без возведения в степень). Теперь (ещё боле странное на первый взгляд действие) возведём это в степень <tex>N</tex>(произвольное натуральное число) и раскроем скобки, сохраняя порядок переменных(не собирая вместе одинаковые переменные) в одночленах: <tex>(P_1+P_2+...P_k)^N=</tex> сумма одночленовсоответственно.

Например, для кода со словами <tex>0,10,11</tex> (которые теперь записываются как <tex>a,ba,bb</tex>) Представим сумму всех слов и для возведем эту сумму в степень <tex>N=2\in \mathbb N</tex> получаем : <tex>(aP_1+P_2+ba\dots+bbP_k)^2</tex><tex>=N</tex>. Раскроем скобки, подразумевая под умножением конкатенацию двух слов. По определению однозначности никакое слово не может быть получено двумя способами при соединении кодовых слов, следовательно все слова должны получиться разными.

Вот пример для [[Кодирование информации | однозначного кода]] со словами <tex>a,ab,bb</tex> и <tex>N=2</tex>:<tex>(a+baab+bb)^2</tex><tex>=(a+ab+bb)\times{(a+baab+bb)}=aa+abaaab+abb+baaaba+babaabab+babbabbb+bba+bbbabbab+bbbb.</tex> В этом примере все одночлены в правой части Все получившиеся слагаемые различны (если не переставлять переменные), и это не случайно: так будет для любого однозначного кода. В самом деле, по соответствует определению однозначности никакое слово не может быть получено двумя способами при соединении кодовых слов).

Теперь подставим Подставим <tex>a=b=</tex> <tex dpi = 150> \frac{1}{2}</tex> в наше неравенство(если оно верно для букв, то оно верно и для любых их числовых значений). Слева Для кодового слова <tex>P_i</tex> длины <tex>{n_i}</tex> получим <tex>2^{-n_i}</tex>. В левой части получится выражение из неравенства Макмиллана: <tex>(2^{-n_1}+2^{-n_2}+...\dots+2^{-n_in_k})^N</tex> (в скобке как раза выражение из неравенства Крафта-Макмиллана). Правую часть мы оценим сверху, сгруппировав слова пол длинам: Всего имеется не более <tex>2^l</tex> слагаемых длины <tex>l</tex>, каждое из которых равно равных <tex>2^{-l}</tex>, и потому следовательно слагаемые данной длины в сумме не превосходят единицы, а правая часть не превосходит максимальной длины слагаемых, то есть : <tex>NmaxN\times{\max(n_i)}</tex>. Итак, получаемПолучаем, что <tex>(2^{-n_1}+2^{-n_2}+...\dots+2^{-n_in_k})^N<Nmax\leqslant N\times{\max(n_i)}</tex> и это верно при любом для любого <tex>N</tex>. Если основание степени в левой степени больше единицыТак как показательная функция растет быстрее линейной, то при больших основании (сумма <tex>N2^{-n_i}</tex> это ) большем единицы неравенство нарушится (показательная функция растет быстрее линейной)нарушается. Поэтому, для [[Кодирование информации | однозначного кода ]] выполняется неравенство Крафта-Макмиллана. Что и требовалось доказать.

== Литература См.также ==*[[Неравенство Крафта]] == Источники информации ==*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Крафта_—_Макмиллана Википедия — Неравенство Макмиллана]*''Шень А. Шень "Х.'' Программирование: теоремы и задачи" (Издание четвёртое, Москва, Издательство . {{---}} М.: МЦНМО, 2011) стр. С. 206 - 210. ISBN 978-5-94057-696-9