Изменения

== Необходимые определения =={{Определение |definition=Пусть заданы два произвольных конечных множества, которые называются, соответственно, '''кодируемым алфавитом''' и '''кодирующим алфавитом'''. Их элементы называются '''символами''', а строки (последовательности конечной При необходимости построить префиксный код с большим числом кодовых слов заданной длины) символов — '''словами'''проверка существования такого кода может быть достаточно сложной. Длина слова — это число символов, из которого оно состоит.}}В качестве кодирующего алфавита часто рассматривается множество <tex>\{0, 1\}</tex> — так называемый двоичный или бинарный алфавит. {{Определение Но неравенство Макмиллана даёт необходимое условие существования префиксных и любых [[Кодирование информации |definition='''Кодом''' для алфавита <tex>A</tex> называется функция <tex>C</tex>однозначно декодируемых кодов]], которая для каждого символа <tex>x</tex> из <tex>A</tex> указывает слово <tex>C(x)</tex>, кодирующее этот символобладающих заданным набором длин кодовых слов.}}{{Определение|definition=Код называется '''однозначным''', если никаким двум словам кодируемого алфавита не может быть сопоставлен один и тот же код..}} == Неравенство Макмиллана ==

<tex> \sum\limits_{i = 1}^{I|A|} 2^{-l_i} \le leqslant 1</tex> (где <tex>|A| = I</tex> , а <tex>l_i</tex> {{---}} длины кодовых слов) выполняется не только для любого префиксного кода, но и вообще для любого однозначного [[Кодирование информации | однозначно декодируемого кода.]]

Есть разные способы решить эту задачу, но будет приведено простое и красивое, хотя и несколько загадочное, решение. <br />Пусть имеется [[Кодирование информации | однозначный код ]] с <tex>k</tex> кодовыми словами <tex>P_1,P_2, ...\dots, P_k</tex>. Необходимо доказать, что их длины <tex>n_i=|P_i|</tex> удовлетворяют неравенству Крафта{{---}}Макмиллана.

Вместо Для удобства при кодировании вместо нулей и единиц будем использовать <tex>a</tex> и <tex>b</tex> (из чего составлять коды разницы нет). Запишем формально сумму всех кодовых слов как алгебраическое выражение <tex>P_1+P_2+...P_k</tex> (многочлен от <tex>a</tex> и <tex>b</tex>, в котором одночлены записаны как произведения переменных <tex>a</tex> и <tex>b</tex>, без возведения в степень). Теперь (ещё более странное на первый взгляд действие) возведём это в степень <tex>N</tex> (произвольное натуральное число) и раскроем скобки, сохраняя порядок переменных (не собирая вместе одинаковые переменные) в одночленах: <tex>(P_1+P_2+...P_k)^N=</tex> сумма одночленовсоответственно.

Например, для кода со словами <tex>0,10,11</tex> (которые теперь записываются как <tex>a,ba,bb</tex>) Представим сумму всех слов и для возведем эту сумму в степень <tex>N=2\in \mathbb N</tex> получаем : <tex>(aP_1+P_2+ba\dots+bbP_k)^2</tex><tex>=N</tex>. Раскроем скобки, подразумевая под умножением конкатенацию двух слов. По определению однозначности никакое слово не может быть получено двумя способами при соединении кодовых слов, следовательно все слова должны получиться разными.

Вот пример для [[Кодирование информации | однозначного кода]] со словами <tex>a,ab,bb</tex> и <tex>N=2</tex>:<tex>(a+baab+bb)*^2</tex><tex>=(a+ab+bb)\times{(a+baab+bb)}=aa+abaaab+abb+baaaba+babaabab+babbabbb+bba+bbbabbab+bbbb.</tex> В этом примере все одночлены в правой части Все получившиеся слагаемые различны (если не переставлять переменные), и это не случайно: так будет для любого однозначного кода. В самом деле, по соответствует определению однозначности никакое слово не может быть получено двумя способами при соединении кодовых слов).

Теперь подставим Подставим <tex>a=b=</tex> <tex dpi = 150> \frac{1}{2}</tex> в наше неравенство (если оно верно для букв, то оно верно и для любых их числовых значений). Слева Для кодового слова <tex>P_i</tex> длины <tex>{n_i}</tex> получим <tex>2^{-n_i}</tex>. В левой части получится выражение из неравенства Макмиллана: <tex>(2^{-n_1}+2^{-n_2}+...\dots+2^{-n_in_k})^N</tex> (в скобке как раз выражение из неравенства Крафта{{---}}Макмиллана). Правую часть мы оценим сверху, сгруппировав слова по длинам: Всего имеется не более <tex>2^l</tex> слагаемых длины <tex>l</tex>, каждое из которых равно равных <tex>2^{-l}</tex>, и потому следовательно слагаемые данной длины в сумме не превосходят единицы, а правая часть не превосходит максимальной длины слагаемых, то есть : <tex>N*\times{\max(n_i)}</tex>. Итак, получаемПолучаем, что <tex>(2^{-n_1}+2^{-n_2}+...\dots+2^{-n_in_k})^N<\leqslant N*\times{\max(n_i)}</tex> и это верно при любом для любого <tex>N</tex>. Если основание степени в левой части больше единицыТак как показательная функция растет быстрее линейной, то при больших основании (сумма <tex>N2^{-n_i}</tex> это ) большем единицы неравенство нарушится (показательная функция растет быстрее линейной)нарушается. Поэтому, для [[Кодирование информации | однозначного кода ]] выполняется неравенство Крафта{{---}}Макмиллана. Что и требовалось доказать.

== Ссылки См.также == *[[Неравенство Крафта]]

== Литература Источники информации ==*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Крафта_—_Макмиллана Википедия — Неравенство Макмиллана]*''Шень А. Шень "Х.'' Программирование: теоремы и задачи" (Издание четвёртое, Москва, Издательство . {{---}} М.: МЦНМО, 2011) стр. С. 206 - 210 . ISBN 978-5-94057-696-9