Изменения

== Необходимые определения =={{Определение |definition=Пусть заданы два произвольных конечных множества, которые называются, соответственно, '''кодируемым алфавитом''' и '''кодирующим алфавитом'''. Их элементы называются '''символами''', а строки (последовательности конечной При необходимости построить префиксный код с большим числом кодовых слов заданной длины) символов — '''словами'''проверка существования такого кода может быть достаточно сложной. Длина слова — это число символов, из которого оно состоит.}}В качестве кодирующего алфавита часто рассматривается множество <tex>\{0, 1\}</tex> — так называемый двоичный или бинарный алфавит. {{Определение |definition='''Кодом''' для алфавита <tex>A</tex> называется функция <tex>C</tex>, которая для каждого символа <tex>x</tex> из <tex>A</tex> указывает слово <tex>C(x)</tex>, кодирующее этот символ.}}{{ОпределениеНо неравенство Макмиллана даёт необходимое условие существования префиксных и любых [[Кодирование информации |definition=Код называется '''однозначным'''однозначно декодируемых кодов]], если никаким двум словам кодируемого алфавита не может быть сопоставлен один и тот же кодобладающих заданным набором длин кодовых слов.}} == Неравенство Макмиллана ==

<tex> \sum\limits_{i = 1}^{|A|} 2^{-l_i} \le leqslant 1</tex> (где <tex>l_i</tex> {{---}} длины кодовых слов) выполняется для любого [[Кодирование информации | однозначно декодируемого кода.]]

Докажем теорему способом, приведенным в книге А. Шеня "Программирование: теоремы и задачи". Пусть имеется [[Кодирование информации | однозначный код ]] с <tex>k</tex> кодовыми словами <tex>P_1, ...\dots, P_k</tex>. Необходимо доказать, что их длины <tex>n_i=|P_i|</tex> удовлетворяют неравенству Макмиллана.

Представим сумму всех слов (кодируемых через <tex>a</tex> и <tex>b</tex>) и возведем эту сумму в степень <tex>N \in \mathbb N</tex> (любое натуральное число): <tex>(P_1+P_2+...\dots+P_k)^N</tex>. Раскроем скобки, подразумевая под умножением конкатенацию двух слов. По определению однозначности никакое слово не может быть получено двумя способами при соединении кодовых слов, следовательно все слова должны получиться разными.

Вот пример для [[Кодирование информации | однозначного кода ]] со словами <tex>a,ab,bb</tex> и <tex>N=2</tex>:<tex>(a+ab+bb)^2</tex><tex>=(a+ab+bb)\times{(a+ab+bb)}=aa+aab+abb+aba+abab+abbb+bba+bbab+bbbb.</tex> Все получившиеся слагаемые (слова) различны (соответствует определению однозначности).

Подставим <tex>a=b=</tex> <tex dpi = 150> \frac{1}{2}</tex> в неравенство для того, чтобы получить . Для кодового слова <tex>P_i</tex> длины <tex>{\frac{1}{2}}^{n_i}=2^{-n_i}</tex>, где получим <tex>2^{-n_i}</tex> длина кодового слова. В левой части получится выражение из неравенства Макмиллана: <tex>(2^{-n_1}+2^{-n_2}+...\dots+2^{-n_k})^N</tex>. Всего имеется не более <tex>2^l</tex> слагаемых длины <tex>l</tex> равных <tex>2^{-l}</tex>, следовательно слагаемые данной длины в сумме не превосходят единицы, а правая часть не превосходит максимальной длины слагаемых: <tex>N\times{\max(n_i)}</tex>. Получаем, что <tex>(2^{-n_1}+2^{-n_2}+...\dots+2^{-n_in_k})^N \le leqslant N\times{\max(n_i)}</tex> верно для любого <tex>N</tex>. Так как показательная функция растет быстрее линейной, то при основании (сумма <tex>2^{-n_i}</tex>) большем единицы неравенство нарушается. Поэтому, для [[Кодирование информации | однозначного кода ]] выполняется неравенство Макмиллана.

== Ссылки См.также ==

== Литература Источники информации ==*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Крафта_—_Макмиллана Википедия — Неравенство Макмиллана]*''Шень А. Х.'' Программирование: теоремы и задачи. {{---}} М.: МЦНМО, 2011. С. 206 - 210. ISBN 978-5-94057-696-9