Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Неравенство Макмиллана

5 байт добавлено, 04:08, 31 октября 2011
Нет описания правки
Например, для кода со словами <tex>0,10,11</tex> (которые теперь записываются как <tex>a,ba,bb</tex>) и для <tex>N=2</tex> получаем <tex>(a+ba+bb)^2</tex><tex>=</tex>
<tex>=(a+ba+bb)*(a+ba+bb)=aa+aba+abb+baa+baba+babb+bba+bbba+bbbb.</tex> В этом примере все одночлены в правой части различны (если не переставлять переменные), и это не случайно: так будет для любого однозначного кода. В самом деле, по определению однозначности никакое слово не может быть получено двумя способами при соединении кодовых слов.
Теперь подставим <tex>a=b=\frac{1}{2}</tex> в наше неравенство (если оно верно для букв, то оно верно и для любых их числовых значений). Слева получится <tex>(2^{-n_1}+2^{-n_2}+...+2^{-n_i})^N</tex> (в скобке как раз выражение из неравенства Крафта{{---}}Макмиллана). Правую часть мы оценим сверху, сгруппировав слова по длинам: имеется не более <tex>2^l</tex> слагаемых длины <tex>l</tex>, каждое из которых равно <tex>2^{-l}</tex>, и потому слагаемые данной длины в сумме не превосходят единицы, а правая часть не превосходит максимальной длины слагаемых, то есть <tex>NmaxN*\max(n_i)</tex>. Итак, получаем, что <tex>(2^{-n_1}+2^{-n_2}+...+2^{-n_i})^N<NmaxN*\max(n_i)</tex> и это верно при любом <tex>N</tex>. Если основание степени в левой части больше единицы, то при больших <tex>N</tex> это неравенство нарушится (показательная функция растет быстрее линейной). Поэтому, для однозначного кода выполняется неравенство Крафта{{---}}Макмиллана. Что и требовалось доказать.
}}
93
правки

Навигация