Неразложимые элементы, ассоциированные элементы и разложение на множители в целостных кольцах — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «==Неразложимый элемент== {{Определение |definition= Пусть <tex>R</tex> - [[Делители нуля, области целост…»)
 
(Неразложимый элемент)
 
(не показаны 3 промежуточные версии 2 участников)
Строка 2: Строка 2:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex>R</tex> - [[Делители нуля, области целостности|область целостности]], тогда <tex>p \in R</tex> наывается неразложимым, если <tex>p\neq 1</tex> и из того, что <tex>p=a\cdot b \Rightarrow a=1</tex> или <tex>b=1</tex>.
+
Пусть <tex>R</tex> {{---}} [[Делители нуля, области целостности|область целостности]], тогда <tex>p \in R</tex> называется неразложимым, если <tex>p\neq 1</tex> и из того, что <tex>p=a\cdot b \Rightarrow a=1</tex> или <tex>b=1</tex>.
 
}}
 
}}
 +
 
==Ассоциированный элемент==
 
==Ассоциированный элемент==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Если <tex>a</tex> - [[Единицы (обратимые элементы), группа обратимых элементов|обратимый элемент]], то элементы <tex>a\cdot x</tex> и <tex>x\cdot a</tex> называются ассоциированными с <tex>x</tex>.
+
Если <tex>a\vdots b</tex> и <tex>b\vdots a</tex>, то <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} ассоциированные элементы.
 
}}
 
}}
 +
{{Теорема
 +
|id=th1
 +
|statement=
 +
Если <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} ассоциированные, то <tex>a\div b</tex> {{---}} обратимый элемент.
 +
|proof=
 +
Пусть <tex>a = b\cdot c</tex>, <tex>b = a\cdot d</tex>, тогда <tex>a=b\cdot c=a\cdot d\cdot c \Rightarrow a\cdot (1-d\cdot c)=0 \Rightarrow 1-d\cdot c=0, d\cdot c=1 \Rightarrow c\cdot d</tex> {{---}} обратимый элемент.
 +
}}
 +
 
==Разложение на множители в целостных кольцах==
 
==Разложение на множители в целостных кольцах==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
<tex>R</tex> - кольцо с однозначным разложением на множители, если элемент представим в виде умножения неразложимых элементов.
+
<tex>R</tex> {{---}} кольцо с однозначным разложением на множители, если элемент представим в виде умножения неразложимых элементов.
 
}}
 
}}

Текущая версия на 05:23, 14 мая 2011

Неразложимый элемент[править]

Определение:
Пусть [math]R[/math]область целостности, тогда [math]p \in R[/math] называется неразложимым, если [math]p\neq 1[/math] и из того, что [math]p=a\cdot b \Rightarrow a=1[/math] или [math]b=1[/math].


Ассоциированный элемент[править]

Определение:
Если [math]a\vdots b[/math] и [math]b\vdots a[/math], то [math]a[/math] и [math]b[/math] — ассоциированные элементы.
Теорема:
Если [math]a[/math] и [math]b[/math] — ассоциированные, то [math]a\div b[/math] — обратимый элемент.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пусть [math]a = b\cdot c[/math], [math]b = a\cdot d[/math], тогда [math]a=b\cdot c=a\cdot d\cdot c \Rightarrow a\cdot (1-d\cdot c)=0 \Rightarrow 1-d\cdot c=0, d\cdot c=1 \Rightarrow c\cdot d[/math] — обратимый элемент.
[math]\triangleleft[/math]

Разложение на множители в целостных кольцах[править]

Определение:
[math]R[/math] — кольцо с однозначным разложением на множители, если элемент представим в виде умножения неразложимых элементов.