[math]\lambda\Pi[/math]-исчисление
Множество термов рекурсивно определяется следующей грамматикой:
[math]\displaystyle T ::= \mathrm{Type} \mid \mathrm{Kind} \mid x \mid \left(T T\right) \mid \lambda x : T . T \mid \Pi x : T . T[/math].
Термы [math]\mathrm{Type}[/math] и [math]\mathrm{Kind}[/math] называются сортами, [math]x[/math] — переменными, [math](t t')[/math] — применениями, [math]\lambda x : t . t'[/math] — абстракциями, [math]\Pi x : t . t'[/math] — произведениями. Обозначение [math]t \rightarrow t'[/math] используется вместо [math]\Pi x : t . t'[/math], если [math]x[/math] не входит свободно в [math]t'[/math].
Пусть есть термы [math]t[/math] и [math]t'[/math] и переменная [math]x[/math]. Записью [math]t\left[x \leftarrow t'\right][/math] обозначается терм, полученный заменой [math]t'[/math] на [math]t[/math] в [math]x[/math]. Запись [math]t =_\beta t'[/math] означает, что термы [math]t[/math] и [math]t'[/math] [math]\beta[/math]-эквивалентны.
Контекст это список пар [math]x : T[/math], где [math]x[/math] — переменная, [math]T[/math] — терм.
Правила вывода для нашего исчисления:
[math]
\displaystyle
\frac{}{\left[ \right] \text{ well-formed}} \text{,} \vspace{3mm} \\
\frac{\Gamma \vdash T : s}{\Gamma\left[x : T\right] \text{ well-formed}} \text{,} \vspace{3mm} \\
\frac{\Gamma \text{ well-formed}}{\Gamma \vdash \mathrm{Type} : \mathrm{Kind}} \text{,} \vspace{3mm} \\
\frac{\Gamma \text{ well-formed} \qquad x : T \in \Gamma}{\Gamma \vdash x : T} \text{,} \vspace{3mm} \\
\frac{\Gamma \vdash T : \mathrm{Type} \qquad \Gamma\left[x : T\right] \vdash T' : x}{\Gamma \vdash \Pi x : T . T' : s} \text{,} \vspace{3mm} \\
\frac{\Gamma \vdash \Pi x : T . T' : s \qquad \Gamma\left[x : T\right] \vdash t : T'}{\Gamma \vdash \lambda x : T . t : \Pi x : T . T'} \text{,} \vspace{3mm} \\
\frac{\Gamma \vdash t : \Pi x : T . T' \qquad \Gamma \vdash t' : T}{\Gamma \vdash \left(t t'\right) : T'\left[x \leftarrow t'\right]} \text{,} \vspace{3mm} \\
\frac{\Gamma \vdash T : s \qquad \Gamma \vdash T' : s \qquad \Gamma \vdash t : T \qquad T =_\beta T'}{\Gamma \vdash t : T'} \text{;}
[/math]
где [math]s ::= \mathrm{Type} \mid \mathrm{Kind}[/math].
Терм [math]t[/math] типизируется в контексте [math]\Gamma[/math], если существует такой терм [math]T[/math], что [math]\Gamma \vdash t : T[/math].
Отношение редуцируемости на типизируемых термах сильно нормализуемо и обладает ромбовидным свойством. Каждый типизируемый терм имеет единственную нормальную форму, два терма эквивалентны, если у них одинаковая нормальная форма.
Типизируемый в контексте [math]\Gamma[/math] терм [math]t[/math] имеет единственный тип с точностью до эквивалентности.
Нормальный терм [math]t[/math], типизируемый в контекте [math]\Gamma[/math], имеет либо вид
[math]\displaystyle t = \lambda x_1 : T_1 \ldots \lambda x_n : T_n . \left(x c_1 \ldots c_n\right)[/math],
где [math]x[/math] это переменная или сорт, либо вид
[math]\displaystyle t = \lambda x_1 : T_1 \ldots \lambda x_n : T_n . \Pi x : P . Q\text{.}[/math]
Согласимся первым символом [math]t[/math] называть [math]x[/math] в первом случае, и [math]\Pi[/math] во втором. Первыми переменными [math]t[/math] будем называть переменные [math]x_1, \ldots, x_n[/math].
