Неразрешимость задачи об эквивалентности КС-грамматик — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
Строка 27: Строка 27:
 
Предположим, что данная задача разрешима. Тогда покажем, как с помощью нее разрешить язык [[Примеры неразрешимых задач: проблема соответствий Поста|ПСП]].
 
Предположим, что данная задача разрешима. Тогда покажем, как с помощью нее разрешить язык [[Примеры неразрешимых задач: проблема соответствий Поста|ПСП]].
  
Пусть <tex>(x_1, x_2, ..., x_n)</tex> и <tex>(y_1, y_2, ..., y_n) </tex> входные последовательности для ПСП. Пусть <tex> L_1 = List(x_1, x_2, ..., x_n), L_2 = List(y_1, y_2, ..., y_n) </tex>. Тогда решение ПСП для последовательностей <tex>(x_1, x_2, ..., x_n)</tex> и <tex>(y_1, y_2, ..., y_n) </tex> существует только в том случае, когда <tex> L_1 \cap L_2 \ne \varnothing </tex>. Перейдя к дополнению и применив закон де Моргана, мы получим, что решения для заданных последовательностей существует, только когда <tex> \overline{L_1} \cup \overline{L_2} \ne \Sigma^* </tex>, где <tex> \Sigma </tex> {{---}} алфавит для языков <tex> L_1 </tex> и <tex> L_2 </tex>. Но по [[#Лемма|лемме]] <tex> \overline{L_1} </tex> и <tex> \overline{L_2} </tex> {{---}} контекстно-свободные. Так как КС-языки замкнуты относительно объединения, то язык <tex> \overline{L_1} \cup \overline{L_2} </tex> {{---}} контекстно-свободный. Построив КС-грамматики для языков <tex> \overline{L_1} \cup \overline{L_2} </tex> и <tex>\Sigma^*</tex> и воспользовавшись предположением, что задача об эквивалентности КС-грамматик разрешима, мы разрешим и язык ПСП. Но язык ПСП неразрешим, следовательно, мы пришли к противоречию, и значит наше предположение неверно.  
+
Пусть <tex>(x_1, x_2, ..., x_n)</tex> и <tex>(y_1, y_2, ..., y_n) </tex> входные последовательности для ПСП. Пусть <tex> L_1 = List(x_1, x_2, ..., x_n), L_2 = List(y_1, y_2, ..., y_n) </tex>. Тогда решение ПСП для последовательностей <tex>(x_1, x_2, ..., x_n)</tex> и <tex>(y_1, y_2, ..., y_n) </tex> существует только в том случае, когда <tex> L_1 \cap L_2 \ne \varnothing </tex>. Перейдя к дополнению и применив закон де Моргана, мы получим, что решения для заданных последовательностей существует, только когда <tex> \overline{L_1} \cup \overline{L_2} \ne \Sigma^* </tex>, где <tex> \Sigma </tex> {{---}} алфавит для языков <tex> L_1 </tex> и <tex> L_2 </tex>. Но по [[#Лемма|лемме]] <tex> \overline{L_1} </tex> и <tex> \overline{L_2} </tex> {{---}} контекстно-свободные. Так как КС-языки замкнуты относительно объединения, то язык <tex> \overline{L_1} \cup \overline{L_2} </tex> {{---}} контекстно-свободный. Построив КС-грамматики для языков <tex> \overline{L_1} \cup \overline{L_2} </tex> и <tex>\Sigma^*</tex> и воспользовавшись предположением, что задача об эквивалентности КС-грамматик разрешима, мы разрешим и язык ПСП. Но язык ПСП неразрешим. Следовательно, мы пришли к противоречию, и наше предположение неверно.  
  
 
}}
 
}}
 
[[Категория: Теория вычислимости]]
 
[[Категория: Теория вычислимости]]

Версия 03:59, 3 января 2014

Лемма:
Пусть для набора слов [math](a_1, a_2, ..., a_n) \ List(a_1, a_2, ... a_n) [/math] — язык над алфавитом [math] \{a_1, a_2, ..., a_n\} \cup \{1, 2, ..., n \}[/math](для простоты будем считать, что [math] \{a_1, a_2, ..., a_n\} \cap \{1, 2, ..., n\} = \varnothing [/math]), каждое слово которого имеет вид [math] i_1i_2...i_ka_{i_k}a_{i_{k-1}}...a_{i_1} [/math], где [math] i_j \in \{1, 2, ..., n\} [/math]. Тогда [math] \overline {List(a_1, a_2, ..., a_n)} [/math] контекстно-свободный.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для доказательства построим МП-автомат с допуском по допускающему состоянию:

  • [math] \Sigma = \{a_1, a_2, ..., a_n\} \cup \{1, 2, ..., n\} [/math];
  • [math] \Gamma = \Sigma \cup z_0 [/math];
  • [math] Q = \{ S_0, S_1\} [/math], где [math] S_0 [/math] — стартовое состояние, а [math] S_1 [/math] — допускающее.

Переходы определим следующим образом:

  • [math]\delta(S_0, i, \alpha) = \langle S_0, a_i \alpha \rangle, i \in \{1, 2, ..., n \}[/math];
  • [math] \delta(S_0, a_i, i) = \langle S_0, \varepsilon \rangle, i \in \{1, 2, ..., n \}[/math];
  • [math] \delta(S_0, c, \alpha) = \langle S_1, \alpha \rangle [/math], для всех [math] c [/math] и [math] \alpha [/math], не подходящих под первые два правила;
  • [math] \delta(S_1, c, \alpha) = \langle S_1, \alpha \rangle [/math], для любых [math] c [/math] и [math] \alpha [/math].
Несложно увидеть, что любое слово, принадлежащее [math] {List(a_1, a_2, ..., a_n)} [/math], оставит данный автомат в состоянии [math] S_0 [/math], в противном случае переведет его в допускающее состояние [math] S_1 [/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Задача об эквивалентности двух КС-грамматик неразрешима
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Будем доказывать от противного.

Предположим, что данная задача разрешима. Тогда покажем, как с помощью нее разрешить язык ПСП.

Пусть [math](x_1, x_2, ..., x_n)[/math] и [math](y_1, y_2, ..., y_n) [/math] входные последовательности для ПСП. Пусть [math] L_1 = List(x_1, x_2, ..., x_n), L_2 = List(y_1, y_2, ..., y_n) [/math]. Тогда решение ПСП для последовательностей [math](x_1, x_2, ..., x_n)[/math] и [math](y_1, y_2, ..., y_n) [/math] существует только в том случае, когда [math] L_1 \cap L_2 \ne \varnothing [/math]. Перейдя к дополнению и применив закон де Моргана, мы получим, что решения для заданных последовательностей существует, только когда [math] \overline{L_1} \cup \overline{L_2} \ne \Sigma^* [/math], где [math] \Sigma [/math] — алфавит для языков [math] L_1 [/math] и [math] L_2 [/math]. Но по лемме [math] \overline{L_1} [/math] и [math] \overline{L_2} [/math] — контекстно-свободные. Так как КС-языки замкнуты относительно объединения, то язык [math] \overline{L_1} \cup \overline{L_2} [/math] — контекстно-свободный. Построив КС-грамматики для языков [math] \overline{L_1} \cup \overline{L_2} [/math] и [math]\Sigma^*[/math] и воспользовавшись предположением, что задача об эквивалентности КС-грамматик разрешима, мы разрешим и язык ПСП. Но язык ПСП неразрешим. Следовательно, мы пришли к противоречию, и наше предположение неверно.
[math]\triangleleft[/math]