Изменения

Ниже приведены примеры наиболее известных частных случаев диофантовых уравнений:* <tex>x^n + y^n = z^n</tex>,:** При при <tex>n=2</tex> решениями этого уравнения (обобщенного уравнения Пифагора) являются пифагоровы тройки.,*:* согласно Великой теореме Ферма это уравнение не имеет ненулевых целых решений при <tex>n>2</tex>.* уравнение Пелля;: <tex>x^2 - n y^2 = 1</tex>, где параметр <tex>n</tex> не является точным квадратом — ;*уравнение Пелля.Каталана:* :<tex>x^z - y^t = 1</tex>, где <tex>z, t>1</tex>, — ;*уравнение Каталана.Туэ:* : <tex>\sum_{i=0}^n a_i x^i y^{n-i} = c</tex> при <tex>n\ge geqslant 3</tex> и <tex>c\ne 0</tex> — уравнение Туэ.

В современной терминологии десятая проблема Гильберта является примером ''массовой проблемы'' <ref>Матиясевич Ю.В. Десятая проблема Гильберта. — М.: , Физматлит, 1993 {{---}} Математическая логика и основания математики {{---}} с.8</ref>. Массовая проблема состоит из счетного количества вопросов на каждый из которых нужно дать ответ {{---}} да или нет. В данном случае эти вопросы параметризуются диофантовыми уравнениями и нужно сказать: да, данное диофантово уравнение имеет решение или нет, данное уравнение не имеет решения. И суть массовой проблемы состоит в том, что нужно найти единый универсальный метод, который позволял бы ответить на любой из этих вопросов. Среди двадцати трех «Математических проблем» Гильберта десятая является единственной массовой проблемой и она может рассматриваться, как проблема информатики. Сегодня мы знаем, что десятая проблема Гильберта решения не имеет. Это означает, что она не разрешима, как массовая проблема.

|statement=Существует перечислимое, но неразрешимое множество натуральных чисел<ref>[http://www.lirmm.fr/~ashen/part3.pdf Н. К. Верещагин, А. Шень, Вычислимые функции. {{---}} М. Издательство МЦНМО, 2008 {{---}} с.22]</ref>.}}

Davis Martin Hilbert's tenth problem is unsolvable . {{---}} Amer. tex. Monthly., V.80, №3 1973 {{---}} p.233–269</ref> <ref>Манин Ю. И. Вычислимое и невычислимое, . — М.: , Советское Радио, 1980 {{---}} c. 46-64</ref>. Ниже приведены основные идеи доказательства. Пусть дано множество <tex>M</tex> натуральных чисел и нужно найти алгоритм, который по каждому натуральному <tex>n</tex> определяет, принадлежит это <tex>n</tex> множеству <tex>M</tex> или нет.

В соответствии с тезисом ЧерчаНиже приведены основные идеи доказательства неразрешимости проблемы существования решения диофантова уравнения в целых числах. {| | bgcolor="Lavender" | <font color="black"> Пусть дано множество <tex>M</tex> натуральных чисел и нужно найти алгоритм, такой алгоритм существует тогда и только тогдакоторый по каждому натуральному <tex>n</tex> определяет, когда множество принадлежит это <tex>n</tex> множеству <tex>M</tex> разрешимоили нет. |}

Для отрицательного решения десятой проблемы Гильберта достаточно доказать диофантовость каждого [[Перечислимые языки|перечислимого множества]]:В соответствии с тезисом Черча, то есть по каждому перечислимому множеству <tex>M</tex> уметь строить такое диофантово уравнение, <tex>P(yтакой алгоритм существует тогда и только тогда,x_1\ldots x_k)=0</tex>, которое имело бы натуральные решения <tex>x_1\ldots x_k</tex> для всех <tex>y</tex>, принадлежащих когда множество <tex>M</tex> и только для таких <tex>y</tex>разрешимо.

Тогда, взяв в качестве <tex>M</tex> перечислимое, но :Для отрицательного решения десятой проблемы Гильберта достаточно доказать диофантовость каждого [[Разрешимые (рекурсивные) Перечислимые языки # Примеры неразрешимых множеств | неразрешимое множествоперечислимого множества]], можно было бы получить, что для соответствующего уравнения <tex>P(y,x_1\ldots x_k)=0</tex> нет общего алгоритма, который то есть по каждому натуральному перечислимому множеству <tex>yM</tex> давал бы ответ на вопрос о существовании у этого уравнения натуральных решений. Если бы этот алгоритм существовал, то можно было бы за конечное число шагов узнатьуметь строить такое диофантово уравнение, имеет ли уравнение <tex>P(0y,x_1\ldots x_k)=0</tex> решение, то есть принадлежит ли число <tex>0которое имело бы натуральные решения </tex> множеству <tex>M</tex>, имеет ли уравнение <tex>P(1,x_1\ldots x_k)=0</tex> решение и так далее. Получилось бы, что существует алгоритм, который по каждому натуральному для всех <tex>y</tex> за конечное число шагов определяет, принадлежит принадлежащих <tex>yM</tex> множеству и только для таких <tex>My</tex> или нет.

:Тогда, взяв в качестве <tex>M</tex> перечислимое, но [[Разрешимые (рекурсивные) языки # Примеры неразрешимых множеств | неразрешимое множество]], можно было бы получить, что для соответствующего уравнения <tex>P(y,x_1\ldots x_k)=0</tex> нет общего алгоритма, который по каждому натуральному <tex>y</tex> давал бы ответ на вопрос о существовании у этого уравнения натуральных решений. Если бы этот алгоритм существовал, то можно было бы за конечное число шагов узнать, имеет ли уравнение <tex>P(0,x_1\ldots x_k)=0</tex> решение, то есть принадлежит ли число <tex>0</tex> множеству <tex>M</tex>, имеет ли уравнение <tex>P(1,x_1\ldots x_k)=0</tex> решение и так далее. Получилось бы, что существует алгоритм, который по каждому натуральному <tex>y</tex> за конечное число шагов определяет, принадлежит <tex>y</tex> множеству <tex>M</tex> или нет. :Тогда, в соответствии с тезисом Черча, множество <tex>M</tex> было бы разрешимым вопреки выбору этого множества.

<tex>1)</tex> * построить арифметическую формулу со многимиограниченными кванторами общности; <tex>2)</tex> преобразовать эту формулу в нормальную форму Дейвиса содним ограниченным квантором общности; <tex>3)</tex> устранить этот ограниченный квантор общности ценойперехода к экспоненциально-диофантовым уравнениям; <tex>4)</tex> * устранить возведение в степень.

*Матиясевич Ю.В. Десятая проблема Гильберта. — М.: , Физматлит, 1993 — Математическая логика и основания математики