1632
правки
Изменения
м
<table class="lm-plashka" style="clear: both; width: {{{width|80%}}}; background-color: #fefefe; border-color:#ff0000 #ff0000 #ff0000 #ff0000; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 10px; padding: 4px; margin: 1px auto; vertical-align: middle; text-align: left;"><tr><td style="vertical-align: middle"><!-- -->'''Эта статья находится в разработке'''</td></tr></table>В 1900 году в Париже на втором Международном Конгрессе математиков выдающийся математик Давид Гильберт выступил с докладом, который назывался "Математические проблемы"«Математические проблемы». Десятая из двадцати трех обозначенных в докладе проблем была сформулирована Гильбертом так:
В современной терминологии десятая проблема Гильберта является примером массовой проблемы. Массовая проблема состоит из счетного количества вопросов на каждый из которых нужно дать ответ {{---}} да или нет. В данном случае эти вопросы параметризуются диофантовыми уравнениями и нужно сказать: да, данное диофантово уравнение имеет решение или нет, данное уравнение не имеет решения. И суть массовой проблемы состоит в том, что нужно найти единый универсальный метод, который позволял бы ответить на любой из этих вопросов. Среди двадцати трех "Математических проблем" Гильберта десятая является единственной массовой проблемой и она может рассматриваться, как проблема информатики. Сегодня мы знаем, что десятая проблема Гильберта решения не имеет. Это означает, что она не разрешима, как массовая проблема.
rollbackEdits.php mass rollback
{{Задача
|definition='''Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения.''' Пусть дано произвольное диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет.
}}
==Диофантовы уравнения==
{{Определение
|definition='''Диофантово уравнение''' (англ. ''diophantine equation'') имеет вид
<tex>P(x_1\ldots x_n)=0</tex>, где <tex>P</tex> {{---}} многочлен с целыми коэффициентами. <tex>(1)</tex>
}}
=== Примеры диофантовых уравнений ===
Ниже приведены примеры наиболее известных частных случаев диофантовых уравнений:
*<tex>x^n + y^n = z^n</tex>,
:*при <tex>n=2</tex> решениями этого уравнения (обобщенного уравнения Пифагора) являются пифагоровы тройки,
:* согласно Великой теореме Ферма это уравнение не имеет ненулевых целых решений при <tex>n>2</tex>.
*уравнение Пелля;
: <tex>x^2 - n y^2 = 1</tex>, где параметр <tex>n</tex> не является точным квадратом;
*уравнение Каталана:
:<tex>x^z - y^t = 1</tex>, где <tex>z, t>1</tex>;
*уравнение Туэ:
: <tex>\sum_{i=0}^n a_i x^i y^{n-i} = c</tex> при <tex>n \geqslant 3</tex> и <tex>c\ne 0</tex>.
Диофант искал решение этих уравнений в рациональных числах, Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений в целых числах.
В современной терминологии десятая проблема Гильберта является примером ''массовой проблемы'' <ref>Матиясевич Ю.В. Десятая проблема Гильберта. — М., Физматлит, 1993 {{---}} Математическая логика и основания математики {{---}} с.8</ref>. Массовая проблема состоит из счетного количества вопросов на каждый из которых нужно дать ответ {{---}} да или нет. В данном случае эти вопросы параметризуются диофантовыми уравнениями и нужно сказать: да, данное диофантово уравнение имеет решение или нет, данное уравнение не имеет решения. И суть массовой проблемы состоит в том, что нужно найти единый универсальный метод, который позволял бы ответить на любой из этих вопросов. Среди двадцати трех «Математических проблем» Гильберта десятая является единственной массовой проблемой и она может рассматриваться, как проблема информатики. Сегодня мы знаем, что десятая проблема Гильберта решения не имеет. Это означает, что она не разрешима, как массовая проблема.
==Теорема о неразрешимости десятой проблемы Гильберта==
{{Теорема
|author=Неразрешимость десятой проблемы Гильберта
|statement=Не существует алгоритма, который узнавал бы по произвольному диофантову уравнению, имеет ли оно решенияв целых числах или нет.}}Таким образом, можно говорить об отрицательном решении десятой проблемы Гильберта.Доказательство неразрешимости этой проблемы вытекает из тезиса Черча и следующих двух теорем:{{Теорема |statement=Существует перечислимое, но неразрешимое множество натуральных чисел <ref>[http://www.lirmm.fr/~ashen/part3.pdf Н. К. Верещагин, А. Шень, Вычислимые функции. {{---}} М. Издательство МЦНМО, 2008 {{---}} с.22]</ref>.}}{{Теорема|author=DPRM-теорема |statement=Понятия «диофантово множество» и «перечислимое множество» совпадают.
}}
Аббревиатура в названии последней теоремы образована из первых букв фамилий математиков Мартина Девиса (англ. Martin ''Davis''), Хилари Патнэма (англ. ''Hilary Putnam''), Джулии Робинсон (англ. ''Julia Robinson'') и Юрия Матиясевича. Подробное доказательство неразрешимости десятой проблемы Гильберта можно прочитать здесь <ref>
Davis Martin Hilbert's tenth problem is unsolvable. {{---}} Amer. tex. Monthly., V.80, №3 1973 {{---}} p.233–269</ref> <ref>Манин Ю. И. Вычислимое и невычислимое. — М., Советское Радио, 1980 {{---}} c. 46-64</ref>.
Ниже приведены основные идеи доказательства неразрешимости проблемы существования решения диофантова уравнения в целых числах.
{|
| bgcolor="Lavender" | <font color="black"> Пусть дано множество <tex>M</tex> натуральных чисел и нужно найти алгоритм, который по каждому натуральному <tex>n</tex> определяет, принадлежит это <tex>n</tex> множеству <tex>M</tex> или нет.
|}
:В соответствии с тезисом Черча, такой алгоритм существует тогда и только тогда, когда множество <tex>M</tex> разрешимо.
:Для отрицательного решения десятой проблемы Гильберта достаточно доказать диофантовость каждого [[Перечислимые языки|перечислимого множества]], то есть по каждому перечислимому множеству <tex>M</tex> уметь строить такое диофантово уравнение, <tex>P(y,x_1\ldots x_k)=0</tex>, которое имело бы натуральные решения <tex>x_1\ldots x_k</tex> для всех <tex>y</tex>, принадлежащих <tex>M</tex> и только для таких <tex>y</tex>.
:Тогда, взяв в качестве <tex>M</tex> перечислимое, но [[Разрешимые (рекурсивные) языки # Примеры неразрешимых множеств | неразрешимое множество]], можно было бы получить, что для соответствующего уравнения <tex>P(y,x_1\ldots x_k)=0</tex> нет общего алгоритма, который по каждому натуральному <tex>y</tex> давал бы ответ на вопрос о существовании у этого уравнения натуральных решений. Если бы этот алгоритм существовал, то можно было бы за конечное число шагов узнать, имеет ли уравнение <tex>P(0,x_1\ldots x_k)=0</tex> решение, то есть принадлежит ли число <tex>0</tex> множеству <tex>M</tex>, имеет ли уравнение <tex>P(1,x_1\ldots x_k)=0</tex> решение и так далее. Получилось бы, что существует алгоритм, который по каждому натуральному <tex>y</tex> за конечное число шагов определяет, принадлежит <tex>y</tex> множеству <tex>M</tex> или нет.
:Тогда, в соответствии с тезисом Черча, множество <tex>M</tex> было бы разрешимым вопреки выбору этого множества.
==Этапы доказательства DPRM-теоремы==
===Гипотеза и нормальная форма Мартина Дэвиса===
М. Дэвис перешёл от формулировки десятой проблемы Гильберта в целых числах к естественной для теории алгоритмов формулировке в целых неотрицательных числах.
Для конкретного диофантова уравнения задача о нахождении целочисленных решений и задача о нахождении решений в целых неотрицательных числах {{---}} разные задачи. Однако если мы интересуемся сразу всеми уравнениями (как, например, в 10-й проблеме Гильберта), то эти две задачи совпадают. Действительно, если рассмотреть систему уравнений <tex>(2)</tex>
<tex> \left\{ \begin{array}{lcr}P(x_1\ldots x_n)=0; \\ x_1=y_{1,\;1}^2+y_{1,\;2}^2+y_{1,\;3}^2+y_{1,\;4}^2;\\\ldots \\\ldots \\x_n=y_{n,\;1}^2+y_{n,\;2}^2+y_{n,\;3}^2+y_{n,\;4}^2
\end{array}\right. </tex>,
то станет понятно, что:
*любое решение системы <tex>(2)</tex> в произвольных целых числах содержит решение уравнения <tex>(1)</tex> в неотрицательных целых числах;
*для любого решения уравнения <tex>(1)</tex> в неотрицательных целых числах <tex>x_1,x_2,\ldots , x_n</tex> найдутся целочисленные значения <tex>y_{1,\;1},\ldots , y_{n,\;4}</tex>, дающие решение системы <tex>(2)</tex> , так как, согласно известной теореме Лагранжа, каждое неотрицательное целое число представимо в виде суммы квадратов четырёх целых чисел.
Система уравнений <tex>(2)</tex> может быть свёрнута в одно уравнение :
<tex>E(x_1, x_2, \ldots , x_n, y_{1,\;1}, \ldots , y_{n,\;4})</tex>,
разрешимое в целых числах тогда и только тогда, когда исходное уравнение <tex>(1)</tex> разрешимо в неотрицательных целых числах.
{{Утверждение
|statement=Таким образом, массовая проблема распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых числах сводится к массовой проблеме распознавания разрешимости диофантовых уравнений в целых неотрицательных числах.
}}
Наряду с отдельными диофантовыми уравнениями, Дэвис рассмотрел семейства диофантовых уравнений вида:
<tex>P(a_1, a_2, \ldots , a_m, x_1, x_2, \ldots , x_n)=0</tex>, где <tex>P</tex> – многочлен с целыми коэффициентами, <tex>a_1, a_2, \ldots , a_m\in\mathbb{Z}</tex> {{---}} параметры,
<tex>x_1, x_2,\ldots , x_n\in\mathbb{Z}</tex> {{---}} переменные. Каждое такое семейство определяет некоторое множество <tex>M</tex> тех значений параметров, при которых уравнение разрешимо относительно переменных <tex>x_1, x_2,\ldots , x_n</tex> :
<tex>\left \langle a_1, a_2, \ldots , a_m\right \rangle\in\mathbb{M}\Leftrightarrow x_1, x_2,\ldots , x_n\</tex>
<tex>\left \{ P(a_1, a_2, \ldots , a_m, x_1, x_2, \ldots , x_n)=0 \right \}</tex>
Такие множества называются ''диофантовыми''.
Исследования Мартина Дэвиса, направленные на доказательство неразрешимости десятой проблемы Гильберта, привели его к постановке задачи, когда описано некоторое множество и требуется узнать, является ли оно диофантовым. В простейших случаях диофантовость множества очевидна {{---}} ясно, например, что диофантовым является множество всех положительных нечетных чисел. Однако совсем нелегко ответить на такие вопросы, как: «диофантово ли множество всех степеней числа <tex>2</tex>?», «диофантово ли множество всех простых чисел?», «диофантово ли множество всех совершенных чисел?» С первого взгляда кажется, что на эти вопросы следует дать отрицательный ответ. Тем не менее все эти множества являются диофантовыми. Приведем примеры диофантовых множеств:
*множество всех полных квадратов, представлено уравнением <tex>a-x^2=0</tex>;
*множество всех составных чисел, представлено уравнением <tex>a-(x_1+2)(x_2+2)=0</tex>;
*множество всех нестепеней числа <tex>2</tex>, представлено уравнеием <tex>a-(2x_1+3)x_2=0</tex>.
Для доказательства неразрешимости десятой проблемы Гильберта нужно было лишь показать диофантовость любого перечислимого множества,
то есть нужно показать возможность построения уравнения, которое имело бы натуральные корни <tex>x_1,x_2,\ldots , x_n</tex> только при всех <tex>\left \langle a_1, a_2, \ldots , a_m\right \rangle</tex>, принадлежащих этому перечислимому множеству. Исходя из этого, Дэвис сформулировал следующую гипотезу:
{{Гипотеза
|author=Мартина Дэвиса
|statement=Понятия диофантового и перечислимого множества совпадают. Это значит, что множество диофантово тогда и только тогда, когда оно перечислимо.
}}
Доказать гипотезу Дэвису не удалось, но он получил близкий к доказательству результат, показав <ref>[http://www.jstor.org/stable/2266325?seq=1#page_scan_tab_contents M. Davis. Arithmetical problems and recursively enumerable predicates. {{---}} The Journal of Symbolic Logic 18 (1), 1953 {{---}} p. 33–41]</ref>, что любое перечислимое множество можно представить в виде, названном ''нормальной формой Дэвиса'':
<tex>\left \langle a_1, a_2, \ldots , a_m\right \rangle\in\mathbb{M}\Leftrightarrow \exists z \quad \forall y < z \quad \exists x_1, x_2,\ldots , x_n\</tex>
<tex>\left \{ P(a_1, a_2, \ldots , a_m, x_1, x_2, \ldots , x_n)=0 \right \}</tex>
===Предикат Робинсон. Совместный результат М. Дэвиса и Х. Патнема и Д. Робинсон.===
Джулия Робинсон исследовала вопрос о том, является ли диофантовым множество, состоящее из троек :
<tex>\left \langle a, b, c= a^b\right \rangle</tex>
Найти диофантово представление для операции возведения в степень ей не удалось, но она нашла достаточное условие для его существования:
<tex>\left \langle a, b \right \rangle\in\mathbb{M}\Leftrightarrow \exists x_1, x_2,\ldots , x_n\</tex>
<tex>\left \{ P(a, b, x_1, x_2, \ldots , x_n)=0 \right \}</tex>
Его определяет отношение <tex>J(a,b)</tex> со следующими свойствами:
*для любых <tex>a</tex> и <tex>b</tex> из <tex>J(a,b)</tex> следует, что <tex>a < b^b</tex>;
*для любого <tex>k</tex> существуют <tex>a</tex> и <tex>b</tex>, удовлетворяющие <tex>J(a,b)</tex> и такие, что <tex>a > b^k</tex>.
Джулия Робинсон назвала отношения, обладающие этими двумя свойствами, отношениями экспоненциального роста; сейчас такие отношения носят также имя ''предикатов Джулии Робинсон''.
В 1958 году М. Дэвис и Х. Патнем опубликовали работу, в которой они рассмотрели класс так называемых экспоненциально-диофантовых уравнений.Такие уравнения имеют вид:
<tex>E_1(x_1,x_2,\ldots ,x_n) = E_2(x_1,x_2,\ldots ,x_n)</tex>,
где <tex>E_1</tex> и <tex>E_2</tex> — выражения, построенные из <tex>x_1, x_2,\ldots , x_m</tex> и конкретных натуральных чисел с помощью сложения, умножения и возведения в степень.
В 1961 году в совместной работе Робинсон, Дэвиса и Патмена <ref>Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson The decision problem for exponential Diophantine equations. {{---}} Annals of Mathematics — 1961. — Vol. 74, № 3 — p. 425—436</ref> было получено экспоненциально - диофантово представление для любого перечислимого множества:
<tex>\left \langle a_1, a_2, \ldots , a_m\right \rangle\in\mathbb{M}\Leftrightarrow \exists x_1, x_2,\ldots , x_n\</tex>
<tex>\left \{E_1(a_1,a_2,\ldots ,a_m,x_1,x_2,\ldots ,x_n) = E_2(a_1,a_2,\ldots ,a_m,x_1,x_2,\ldots ,x_m)\right \}</tex>
Одним из следствий работы стала возможность сведения любого показательно-диофантова уравнения к экспоненциально-диофантову уравнению с фиксированным числом переменных.
Чтобы перенести результат Дэвиса, Патнема и Робинсон на обычные диофантовы уравнения, нужно было доказать, что множество, состоящее из троек <tex>\left \langle a, b, c= a^b\right \rangle</tex>, является диофантовым. Тогда стало бы возможным ценой введения дополнительных неизвестных перевести экпоненциально-диофантово представление в диофантово представление:
<tex>a, b, c= a^b\Leftrightarrow \exists x_1,x_2,\ldots ,x_n \left \{ P(a, b,c, x_1, x_2, \ldots , x_n)=0\right \} </tex>
Джулия Робинсон показала, что для этого достаточно построить конкретное уравнение
<tex>P(a, b, x_1, x_2, \ldots , x_n)=0 </tex>,
*недопускающее решение с <tex>a>b^b</tex>;
*для каждого <tex>k</tex> имеющее решение с <tex>a>b^k</tex>.
=== Вклад Ю.В. Матиясевича===
Такого рода уравнение удалось построить Ю.В. Матеясевичу в 1970 году. Обратившись к рассмотрению последовательности Фибоначчи, Матиясевич заметил, что если за <tex>b</tex> взять половину номера четного члена последовательности Фибоначчи, а за <tex>a</tex> — сам член, то неравенство <tex>a>b^b</tex> будет всегда неверно;
для любого <tex>k</tex> можно найти такой четный член последовательности, что неравенство <tex>a>b^k</tex> будет верно. Это обстоятельство иллюстрируется приведенной ниже таблицей (в ней выделены те клетки, в которых числа <tex>b^k</tex> оказываются меньше соответствующих чисел <math>a</math>).
{| border="1" class="wikitable" width="20%" style="color: black; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"; float: left;"
!Номер члена последовательности Фибоначчи
! 0
! 1
! 2
! 3
! 4
! 5
! 6
! 7
! 8
! 9
! 10
! 11
! 12
! 13
! 14
|-
!Член последовательности Фибоначчи <tex>a</tex>
|align="center"|<tex>0</tex>
|align="center"|<tex>1</tex>
|align="center"|<tex>1</tex>
|align="center"|<tex>2</tex>
|align="center"|<tex>3</tex>
|align="center"|<tex>5</tex>
|align="center"|<tex>8</tex>
|align="center"|<tex>13</tex>
|align="center"|<tex>21</tex>
|align="center"|<tex>34</tex>
|align="center"|<tex>55</tex>
|align="center"|<tex>89</tex>
|align="center"|<tex>144</tex>
|align="center"|<tex>233</tex>
|align="center"|<tex>377</tex>
|-
!Половина номера четного члена последовательности <tex>b</tex>
|align="center"|<tex>0</tex>
|
|align="center"|<tex>1</tex>
|
|align="center"|<tex>2</tex>
|
|align="center"|<tex>3</tex>
|
|align="center"|<tex>4</tex>
|
|align="center"|<tex>5</tex>
|
|align="center"|<tex>6</tex>
|
|align="center"|<tex>7</tex>
|-
!<tex>b^b</tex>
|align="center"|<tex>1</tex>
|
|align="center"|<tex>1</tex>
|
|align="center"|<tex>4</tex>
|
|align="center"|<tex>27</tex>
|
|align="center"|<tex>64</tex>
|
|align="center"|<tex>3125</tex>
|
|align="center"|<tex>47256</tex>
|
|align="center"|<tex>823649</tex>
|-align="center"
! <tex>b^0</tex>
|align="center"|<tex>1</tex>
|
|align="center"|<tex>1</tex>
|
|style="background:#ffcc00"|<tex>1</tex>
|
|style="background:#ffcc00"|<tex>1</tex>
|
|style="background:#ffcc00"|<tex>1</tex>
|
|style="background:#ffcc00"|<tex>1</tex>
|
|style="background:#ffcc00"|<tex>1</tex>
|
|style="background:#ffcc00"|<tex>1</tex>
|-align="center"
! <tex>b^1</tex>
|align="center"|<tex>0</tex>
|
|align="center"|<tex>1</tex>
|
|style="background:#ffcc00"|<tex>2</tex>
|
|style="background:#ffcc00"|<tex>3</tex>
|
|style="background:#ffcc00"|<tex>4</tex>
|
|style="background:#ffcc00"|<tex>5</tex>
|
|style="background:#ffcc00"|<tex>6</tex>
|
|style="background:#ffcc00"|<tex>7</tex>
|-align="center"
! <tex>b^2</tex>
|align="center"|<tex>0</tex>
|
|align="center"|<tex>1</tex>
|
|align="center"|<tex>4</tex>
|
|align="center"|<tex>9</tex>
|
|style="background:#ffcc00"|<tex>16</tex>
|
|style="background:#ffcc00"|<tex>25</tex>
|
|style="background:#ffcc00"|<tex>36</tex>
|
|style="background:#ffcc00"|<tex>49</tex>
|-align="center"
! <tex>b^3</tex>
|align="center"|<tex>0</tex>
|
|align="center"|<tex>1</tex>
|
|align="center"|<tex>8</tex>
|
|align="center"|<tex>27</tex>
|
|align="center"|<tex>64</tex>
|
|align="center"|<tex>125</tex>
|
|align="center"|<tex>216</tex>
|
|style="background:#ffcc00"|<tex>343</tex>
|-
|}
Далее Матеясевич рассмотрел последовательность, состоящую из четных членов первоначальной последовательности. Оставалось построить уравнение, такое, что <tex>P(a,b,x_1,\ldots ,x_k)=0</tex>, которое имело бы натуральное решение тогда и только тогда, когда <tex>b=\varphi_a</tex>, далее сослаться на описанный выше результат Джулии Робинсон. Для этого достаточно было построить систему диофантовых уравнений <tex>P_1=0,\ldots,P_n=0</tex> в переменных <tex>a,b,x_1,\ldots ,x_k</tex>, имеющую решение тогда и только тогда, когда <tex>b=\varphi_a</tex>. Такая система имеет в точнсти те же решения, что и единственное уравнение <tex>P_1^2+\ldots +P_n^2=0</tex>.
Матиясевич получил требуемую систему в виде:
<tex>1)\quad b+(z-1)=a</tex>
<tex>2)\quad a+u=l</tex>
<tex>3) \quad l^2-lk-k^2=1</tex>
<tex>4)\quad g^2-gh-h^2=1</tex>
<tex>5) \quad l^2c=g</tex>
<tex>6) \quad ld=r-2</tex>
<tex>7) \quad (2h+g)e=r-3</tex>
<tex>8) \quad x^2-rxy+y^2=1</tex>
<tex>9) \quad lp=x-b</tex>
<tex>10)\quad(2h+g)q=x-a</tex>
Если возвести обе части всех этих уравнений в квадрат и сложить их почленно, то получиться одно уравнение, которое будет иметь те же решения на множестве натуральных чисел, что и вся система.
В результате совместной работы Дэвиса, Робинсон, Патнема, Матиясевича было доказано, что по заданию перечислимого множества в любой стандартной
форме можно построить его диофантово представление:
* построить арифметическую формулу со многими ограниченными кванторами общности;
* преобразовать эту формулу в нормальную форму Дейвиса с одним ограниченным квантором общности;
* устранить этот ограниченный квантор общности ценой перехода к экспоненциально-диофантовым уравнениям;
* устранить возведение в степень.
Таким образом, была доказана правильность гипотезы Мартина Дэвиса, которая стала называться DPRM-теоремой. Из этой теоремы следует, что десятая проблема Гильберта является неразрешимой.
== См. также ==
* [[Неразрешимость исчисления предикатов первого порядка]]
* [[Примеры неразрешимых задач: задача о выводе в полусистеме Туэ|Задача о выводе в полусистеме Туэ]]
* [[Примеры неразрешимых задач: задача о замощении|Задача о замощении]]
* [[Примеры неразрешимых задач: однозначность грамматики|Однозначность грамматики]]
* [[Неразрешимость задачи об эквивалентности КС-грамматик]]
== Примечания ==
<references />
==Источники информации==
*Матиясевич Ю.В. Десятая проблема Гильберта. — М., Физматлит, 1993 — Математическая логика и основания математики
*Проблемы Гильберта. Сборник под редакцией П.С. Александрова, М., Наука, 1969 г.
*Ю. В. Матиясевич. Диофантовы множества. — УМН, 1972, том 27, выпуск 5(167), — с. 185–222
*[http://kvant.ras.ru/1970/07/o_reshenii_desyatoj_problemy_g.htm П. Варпаховский, А. Н. Колмогоров О решении десятой проблемы Гильберта, журнал Квант — 1970 — № 7. — С. 38—44]
*[https://www.lektorium.tv/lecture/12974 Лекции Ю.В. Матиясевича в Computer Science клубе при ПОМИ РАН]
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Примеры неразрешимых задач]]
