Изменения

Во времена, когда Гильберт формулировал свои проблемы, не было общего определения понятия алгоритма, однако Гильберт был оптимистом в математике, верил в разрешимость этой проблемы, в этом смысле задача была сформулирована им вполне корректно. Задача о целых решениях произвольного уравнения сводится к задаче о целых неотрицательных решениях. Далее достаточно ограничиться диофантовыми уравнениями степени не выше четвертой. Для диофантовых уравнений степени не выше второй искомый общий метод был найден, однако уже для уравнений третьей степени эта задача казалась неразрешимой, возникло предположение,что тот общий метод, об отыскании которого говорится в формулировке Гильберта, попросту не существует. Чтобы доказать не существование некого общего метода для решения серии задач, требовалось дать точное определение тому, что такое этот общий метод и какими средствами он может быть реализован. Понятие алгоритма было сформулировано в тридцатые годы двадцатого века в работах матлогиков Черча, Клини, Тьюринга, Геделя. Важную роль в решении десятой проблемы Гильберта сыграл Эмиль Пост. Постом было впервые предложено общее понятие вычислимости, которое имеет фундаментальное значение для доказательства неразрешимости ряда проблем математики. В одной из своих работ он написал, что десятая проблема Гильберта "молит о доказательстве неразрешимости". Эти слова Поста вдохновили его молодого ученика Мартина Дэвиса, который смог сформулировать гипотезу, из которой следовала неразрешимость десятой проблемы Гильберта.

В одной из своих работ он написал|statement=Существует перечислимое, что десятая проблема Гильберта "молит о доказательстве неразрешимости"но неразрешимое множество натуральных чисел. Эти слова Поста вдохновили его молодого ученика Мартина Дэвиса}}Пусть дано множество <tex>M</tex> натуральных чисел и нужно найти алгоритм, который смог сформулировать гипотезупо каждому натуральному <tex>n</tex> определяет, принадлежит это <tex>n</tex> множеству <tex>M</tex> или нет.Такой алгоритм существует тогда и только тогда, из которой следовала неразрешимость когда множество <tex>M</tex> разрешимо. Для отрицательного решения десятой проблемы Гильбертадостаточно было доказать диофантовость каждого перечислимого множества, то есть по каждому перечислимому множеству <tex>M</tex> уметь строить такое диофантово уравнение, <tex>P(y,x_1...x_k)=0</tex>, которое имело бы натуральные решения <tex>x_1...x_k</tex> для всех <tex>y</tex>, принадлежащих <tex>M</tex> и только для таких <tex>y</tex>.