Изменения

|definition=Грамматикой в '''нормальной форме Хомского''' (англ. ''Chomsky normal form'') называется [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободная грамматика]], в которой могут содержатся содержаться правила только следующего вида::<tex>A \rightarrow B C </tex>.,

:<tex>A \rightarrow a </tex>.,

:<tex>S \rightarrow \varepsilon </tex>.,

(где <tex> a </tex> {{---}} терминал, <tex> A, B, C </tex> {{---}} нетерминалы, <tex> S </tex> {{---}} стартовая вершина, <tex> \varepsilon </tex> {{---}} пустая строка, стартовая вершина не содержится в правых частях правил).

==Приведение грамматики к нормальной форме Хомского== {{ОпределениеТеорема|statement=Любую контекстно-свободную грамматику можно привести к нормальной форме Хомского.|definitionproof=Вершина называется обнуляемойРассмотрим контекстно-свободную грамматику <tex> \Gamma </tex>. Для приведения ее к нормальной форме Хомского необходимо выполнить пять шагов. На каждом шаге мы строим новую <tex> \Gamma_i </tex>, которая допускает тот же язык, если что и <tex> \Gamma </tex>. # Уберём длинные правила.#: Воспользуемся [[Удаление длинных правил из нее можно прямо или косвенно получить пустую строкуграмматики|алгоритмом удаления длинных правил]] из грамматики. Получим грамматику <tex> \Gamma_1 </tex>, эквивалентную исходной, содержащую правила длины <tex>0, 1</tex> и <tex>2</tex>.# Удаление <tex> \varepsilon </tex>-правил. Если #:Воспользуемся [[Удаление eps-правил из грамматики|алгоритмом удаления <tex> \varepsilon </tex>-правил ]] из грамматики. Получим грамматику <tex> \Gamma_2 </tex>, эквивалентную исходной, но в которой нет <tex> A \rightarrow varepsilon </tex>-правил.# Удаление цепных правил.#:Воспользуемся [[Удаление_цепных_правил_из_грамматики| алгоритмом удаления цепных правил]] из грамматики. Алгоритм работает таким образом, что новые <tex> \varepsilon </tex>-правила не образуются. Получим грамматику <tex> \Gamma_3 </tex>, эквивалентную <tex> \Gamma </tex>.# Удалим бесполезные символы.#:Воспользуемся [[Удаление бесполезных символов из грамматики| алгоритмом удаления бесполезных символов]] из грамматики. Так как <tex> \Gamma_3 </tex> эквивалентна <tex> \Gamma </tex>, то бесполезные символы не могли перестать быть бесполезными. Более того, мы только удаляем правила, новые <tex>\varepsilon</tex>-правила и цепные правила не могли появиться.# Уберём ситуации, когда в правиле встречаются несколько терминалов.#:Для всех правил вида <tex> A \rightarrow u_1 u_2</tex> (где <tex> u_i </tex> {{---}} обнуляемаятерминал или нетерминал) заменим все терминалы <tex> u_i </tex> на новые нетерминалы <tex> U_i </tex> и добавим правила <tex> U_i \rightarrow u_i </tex>. Теперь правила содержат либо одиночный терминал, либо строку из двух нетерминалов. Таким образом, мы получили грамматику в нормальной форме Хомского, которая допускает тот же язык, что и <tex> \Gamma </tex>.

Если Стоит заметить, что порядок выполнения операций важен. Первое правило должно быть выполнено перед вторым, иначе время нормализации ухудшится до <tex> A O(2^{\left| \rightarrow B_1....B_n Gamma \right|})</tex>. Третье правило идет после второго, где все потому что после удаления <tex> B_i \varepsilon</tex> обнуляемые-правил, то <tex> A </tex> тоже обнуляемаямогут образоваться новые цепные правила. Также четвертое правило должно быть выполнено позже третьего и второго, так как они могут порождать бесполезные символы.}}

{{Определение|definition=Пара вершин <tex> A </tex> и <tex> B </tex> называется узловой, если <tex> A \Rightarrow^* B </tex>При таком порядке действий размеры грамматики возрастают полиномиально.

После удалении длинных правил из каждого правила длины <tex> k \forall A geqslant 3 </tex> выполняется могло появиться <tex> (A, A) k-1 </tex> {{---}} узловая парановых правил, причем их длина не превышает двух. На этом шаге размер грамматики возрастает не более, чем вдвое.

Если При удалении <tex> (A, B) \varepsilon </tex> {{---}} узловая параправил из грамматики, а содержащей правила длины <tex> B \rightarrow C 0, 1</tex> и <tex>2</tex>, то размеры грамматики могли вырасти не больше, чем в <tex> (A, C) 3</tex> тоже узловая парараза.}}

==Преобразование Всего цепных правил в грамматике не больше, чем <tex> n^2 </tex>, где <tex> n </tex> {{---}} число нетерминалов. При удалении цепных правил мы берем каждую из цепных пар и производим добавление нецепных правил, выводимых из второго нетерминала в паре. Если максимальная суммарная длина всех правил, выводимых из какого-либо нетерминала, равна <tex> k </tex>, то размер грамматики в нормальную форму Хомского==возрастет не больше, чем на <tex> k \cdot n^2 </tex>.

Рассмотрим [[Контекстно-свободные грамматикиНаконец, выводна последнем шаге может произойти добавление не более, левочем <tex>|\Sigma|</tex> (<tex>\Sigma</tex> {{--- и правосторонний вывод}} алфавит грамматики) новых правил, дерево разбора|контекстно-свободную грамматику]] причем все они будут длины <tex> \Gamma 1</tex>. Для преобразования ее в нормальную форму Хомского необходимо выполнить 5 шагов. Каждый шаг работает c преобразованной грамматикой.}}

== Пример =={| border="1" class="wikitable" style="width: 500px; height: 500px; float: left;"!style="background:# Создание новой стартовой вершины41aef0"|Текущий шаг!style="background:#41aef0"|Грамматика после применения правила|-|''0.Исходная грамматика''#: Создадим новую стартовую вершину |<tex> S_0 S\rightarrow aXbX|aZ</tex> с новым правилом <br> <tex> S_0 X\rightarrow S aY|bY|\varepsilon</tex>, где <br> <tex> S Y\rightarrow X|cc</tex> {{---}} старая стартовая вершина. Получим <br> <tex> Z\Gamma_1 rightarrow ZX</tex>|-|''1.Удаление длинных правил''# Удаление |<tex> S\varepsilon rightarrow aS_{1}|aZ</tex>-правил.##Если <br> <tex> A X\rightarrow aY|bY|\varepsilon </tex>, то выкинем такое правило.##Если <br> <tex> A Y\rightarrow w X|cc</tex>, где <br> <tex> w Z\rightarrow ZX</tex> не содержит <br> <tex> S_{1}\varepsilon rightarrow XS_{2}</tex> и обнуляемых переменных, то добавим такое правило в <br> <tex> S_{2}\Gamma_2 rightarrow yX</tex>|-|''2.Удаление <tex>\varepsilon</tex>-правил''##Если |<tex>S\rightarrow aS_{1}|aZ</tex><br> <tex> A X\rightarrow w aY|bY</tex>, причем <br> <tex> w Y\rightarrow aY|bY|cc</tex> содержит обнуляемые переменные, то представим <br> <tex> w Z\rightarrow ZX</tex> в следующем виде <br> <tex> w=w_0 N_0 w_1 N_1 ... w_S_{n-1} N_\rightarrow XS_{n-12}|S_{2} w_n N_n </tex>, где <br> <tex> N_i S_{2}\rightarrow yX|y</tex> |-|''3. Удаление цепных правил''|<tex>S\rightarrow aS_{{---1}} вхождение обнуляемой переменной, |aZ</tex><br> <tex> w_i X\rightarrow aY|bY</tex> не содержит обнуляемых переменных. Добавим в <br> <tex> Y\Gamma_2 rightarrow aY|bY|cc</tex> все правила, которые можно получить удалением всевозможных комбинаций <br> <tex> N_i Z\rightarrow ZX</tex> из <br> <tex> w S_{1}\rightarrow XS_{2}|yX|y</tex>. Таких вариантов будет <br> <tex> S_{2^n }\rightarrow yX|y</tex>|-|''4. Удаление бесполезных символов''#:Если стартовая вершина |<tex>S\rightarrow aS_{1}</tex> <br> <tex> X\Gamma_1 rightarrow aY|bY</tex> является обнуляемой, то добавим в <br> <tex> Y\Gamma_2 rightarrow aY|bY|cc</tex> правило <br> <tex> S_0 S_{1}\rightarrow XS_{2}|yX|y</tex> <br> <tex>S_{2}\varepsilon rightarrow yX|y</tex>|-|''5.# Преобразование узловых парУберём ситуации, когда в правиле встречаются несколько терминалов.''##Для каждой узловой пары |<tex> (A, B) S\rightarrow S_{3}S_{1}</tex>, найдем все правила <br> <tex> B X\rightarrow w S_{3}Y|X_{1}Y</tex>, где <br> <tex> w Y\rightarrow S_{3}Y|X_{1}Y|Y_{1}Y_{1}</tex> <br> <tex>S_{1}\rightarrow XS_{2}|S_{---4}X|y</tex> <br> <tex>S_{2}\rightarrow S_{4} произвольная строка терминалов и нетерминалов, X|y</tex> и добавим A <br> <tex>S_{3}\rightarrow w a</tex> в <br> <tex>S_{4}\rightarrow y</tex> <br> <tex> X_{1}\Gamma_3 rightarrow b</tex> <br> <tex>.Y_{1}\rightarrow c</tex>|}# Преобразование правил с длинной правой частью.<div style="clear:both;"></div>

Рассмотрим ==Источники информации==* [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбораwikipedia:en:Chomsky normal form |контекстноWikipedia {{-свободную грамматику]] <tex>\Gamma</tex>, из которой удалены [[Удаление бесполезных символов из грамматики|бесполезные символы]], [[Удаление eps-правил из грамматики|<tex>\varepsilon</tex>-правила}} Chomsky normal form]], [[Удаление длинных правил из грамматики|длинные правила]] и [[Удаление цепных правил из грамматики|цепные правила]]. Такая грамматика содержит только правила следующего вида:*<tex>A \rightarrow BC</tex>*<tex>A \rightarrow Bc</tex>*<tex>A \rightarrow bC</tex>*<tex>A \rightarrow bc</tex>*<tex>A \rightarrow a</tex>*возможно''Хопкрофт Д., <tex>S \rightarrow \varepsilon</tex> (при условииМотвани Р., что <tex>S</tex> не содержится Ульман Д.'' — '''Введение в правых частях правил)Избавимся от правилтеорию автоматов, в правых частях которых записаны два символаязыков и вычислений''', один из которых является терминалом2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, то есть правил вида <tex>A \rightarrow Bc</tex>Издательский дом «Вильямс», <tex>A \rightarrow bC</tex> и <tex>A \rightarrow bc</tex>2002. Введем для каждого терминала <tex>a</tex> "персональный" нетерминал <tex>N_a</tex>— 528с. Затем правила вида <tex>A \rightarrow Bc</tex> заменим парой правил <tex>A \rightarrow BN_c</tex> и <tex>N_c \rightarrow c</tex>, правила вида <tex>A \rightarrow bC</tex> заменим парой правил <tex>A \rightarrow N_bC</tex> и <tex>N_b \rightarrow b</tex>, а правила вида <tex>A \rightarrow bc</tex> {{: ISBN 5-8459-0261-}} тройкой правил <tex>A \rightarrow N_bN_c</tex>, <tex>N_b \rightarrow b</tex> и <tex>N_c \rightarrow c</tex>4 (рус.)

Заметим, что любую контекстно[[Категория: Теория формальных языков]][[Категория: Контекстно-свободную грамматику можно привести к нормальной форме Хомского. Такая форма свободные грамматики очень удобна для работы многих алгоритмов над грамматиками, например, ]][[Алгоритм Кока-Янгера-Касами разбора грамматики в НФХ|алгоритм Кока-ЯнгераКатегория: Нормальные формы КС-Касамиграмматик]]