Изменения
Орфография для iolp
== Определение и примеры ==
* На <tex>\mathbb R^n</tex> можно определить также другие нормы, например <tex>\|\overline x\|_1 = \sum\limits_{k = 1}^n |x_k|</tex> или <tex>\|\overline x\|_2 = \max \{\,|x_1|, |x_2|, \dots, |x_k|\,\}</tex>.
* <tex>X = C[0; 1]</tex> — функции, непрерывные на <tex>[0; 1]</tex>, <tex>\|x\| = \max\limits_{t \in [0; 1]} |x(t)|</tex>.
* <tex>X = \widetilde{L_1}[0; 1]</tex> — функции <tex>f \colon [0; 1] \to \mathbb R</tex>, для которых <tex>\int_0int\limits_0^1 |f| < +\infty</tex> (например, <tex>f(t) = \frac 1{\sqrt t} \in \widetilde{L_1}[0; 1]</tex>), <tex>\|f\| = \int_0int\limits_0^1 |f|</tex>.
Нормированным пространством называют пару <tex>(X, \|\cdot\|)</tex> из линейного пространства и нормы на нём.
== Арифметика пределов ==
В нормированных пространствах определение предела записывается аналогично пределу вещественной последовательности, отличаясь лишь заменой знака модуля на знак нормы.
Например, если <tex>E \subset X</tex>, <tex>a</tex> — предельная точка множества <tex>E</tex>, <tex>f \colon E \to Y</tex> (где <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> — нормированные пространства), то <tex>A</tex> называется пределом функции <tex>f</tex> при <tex>x \rightarrow a</tex> и обозначается <tex>\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)</tex>, если для любого положительного <tex>\varepsilon</tex> найдётся <tex>\delta > 0</tex>, для которого выполняется следствие <tex>0 < \|x - a\| < \delta \Rightarrow \|f(x) - A\| < \varepsilon</tex>.
Специфика нормированных пространств — структура линейного пространства на рассматриваемом множестве. То есть, точки пространства можно складывать и умножать на числа, и эти операции будут непрерывными по норме пространства.
{{Утверждение
|id=limits
|statement=
Пусть <tex>x_n</tex>, <tex>y_n</tex> — последовательности точек нормированного пространства <tex>(X, \|\cdot\|)</tex>, а <tex>\alpha_n</tex> — вещественная последовательность. Известно, что <tex>x_n \rightarrow x</tex>, <tex>y_n \rightarrow y</tex>, <tex>\alpha_n \rightarrow \alpha</tex>.
# <tex>x_n + y_n \rightarrow x + y</tex>
# <tex>\alpha_n x_n \rightarrow \alpha x</tex>
# <tex>\|x_n\| \rightarrow \|x\|</tex>
|proof=
<tex>\|(x_n + y_n) - (x + y)\| = \|(x_n - x) + (y_n - y)\| \le \|x_n - x\| + \|y_n - y\| \rightarrow 0</tex> по арифметике числовых пределов. Но, поскольку <tex>\|(x_n + y_n) - (x + y)\| \ge 0</tex> по определению нормы, то по принципу сжатой переменной <tex>x_n + y_n \rightarrow x + y</tex>.
2) Пусть <tex> \alpha_n = \alpha + \Delta \alpha_n </tex>, <tex> x_n = x + \Delta x_n </tex>; <tex>\Delta \alpha_n, \Delta x_n</tex> стремятся к нулю при <tex> n \rightarrow \infty </tex>.
Тогда <tex> \| \alpha_n x_n - \alpha x \| = \| (\alpha + \Delta \alpha_n) (x + \Delta x_n) - \alpha x \| = </tex>
<tex> = \| \alpha \Delta x_n + \Delta \alpha_n x + \Delta \alpha_n \Delta x_n \| \le \| \alpha \Delta x_n \| + \| \Delta \alpha_n x \| + \| \Delta \alpha_n \Delta x_n \| \rightarrow 0</tex>.
3) <tex>\|x_n\| = \|x + (x_n - x)\| \le \|x\| + \|x_n - x\| \Rightarrow \|x_n\| - \|x\| \le \|x_n - x\| </tex>
Аналогично, <tex> \|x\| - \|x_n\| \le \|x_n - x\| </tex>.
Значит, <tex> \left|\|x_n\| - \|x\|\right| \le \|x_n - x\| </tex>, при <tex> \|x_n - x\| \rightarrow 0 \quad \left|\|x_n\| - \|x\|\right| \rightarrow 0</tex>, что и требовалось доказать.
}}
Важную роль играют банаховы пространства (содержат перенос понятия полноты на случай нормированных пространств). Также банаховы пространства называют B-пространствами, далее в тексте обозначаются именно так.
{{Определение|definition=Нормированное пространство <tex>(X, \|\cdot\|)</tex> называется '''B-пространством''', если для любой последовательности элементов <tex>X</tex>, для которых из <tex>\|x_n - x_m\| \to 0</tex> при <tex>n, m \to \infty</tex> вытекает существование предела последовательности.}}
Рассмотренные ранее пространства <tex>\mathbb R</tex>, <tex>C[0; 1]</tex> являются B-пространствами, <tex>\widetilde{L_1}[0; 1]</tex> B-пространством не является. Доказательства полноты <tex>\mathbb R^n</tex> и <tex>C[0; 1]</tex> будут даны далее.
Ряд из норм в нормированных пространствах — аналог ряда из модулей для понятия абсолютной сходимости.
Среди нормированных пространств выделяется подкласс так называемых гильбертовых пространств.
Пусть <tex>H</tex> — линейное пространство. Величина <tex>(x, y) \in \mathbb R</tex> называется скалярным проихведением произведением точек множества <tex>H</tex>, если она удовлетворяет следующим трём аксиомам:
# <tex>(x, x) \ge 0</tex>, <tex>(x, x) = 0 \iff x = 0</tex>
# <tex>(x, y) = (y, x)</tex>
# <tex>(\alpha x + \beta y, z) = \alpha(x, z) + \beta(y, z)</tex>
=== Неравенство Шварца ===
Основное значение для скалярного произведения имеет неравенство Шварца:
{{Утверждение
Рассмотрим следующую функцию: <tex>f(\lambda) = (\lambda x + y, \lambda x + y)</tex>. По аксиомам скалярного произведения <tex>f(\lambda) \ge 0</tex>.
Но <tex>f(\lambda) = (x, x)\lambda^2 + 2(x, y)\lambda + (y, y)</tex>. Из положительности неотрицательности квадратного трёхчлена вытекает, что его дискриминант не должен быть неотрицательнымположительным. Но дискриминант <tex>D</tex> равен <tex>4(x, y)^2 - 4(x, x)(y, y)</tex>, и из неравенства <tex>D \ge le 0</tex> мнгновенно мгновенно вытекает доказываемое.
}}
Базируясь на этом неравенстве, определим функционал норму <tex>\|x\| = \sqrt{(x, x)}</tex>. Первые два свойства, очевидно, выполняются. Проверим, что этот функционал удовлетворяет неравенству треугольника:
<tex>\|x + y\|^2 = (x + y, x + y) = \|x\|^2 + 2(x, y) + \|y\|^2 \le (\|x\| + \|y\|)^2</tex>.
Последний переход в неравенстве выполнен именно благодаря неравенству Шварца.
Доказанное неравенство треугольника превращает <tex>H</tex> в нормированное пространство. Если оно является B-пространством, то его называют '''гильбертовым пространством'''.
Имеются две классических модели таких пространств. Первое из них — это <tex>\mathbb R^n</tex> со скалярным произведением <tex>(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{i = 1}^n x_i y_i</tex> и нормой <tex> ||\overline x|| = \sqrt{(\overline x, \overline x)} = \sqrt{\sum\limits_{i = 1}^n x_i^2} </tex> . Видно, что норма по скалярному произведению совпадает с евклидовской евклидовой нормой (а само пространство — с евклидовым). Осталось только доказать, что представленное пространство является полным.
== Полнота евклидова пространства ==
|proof=
<tex> \Longrightarrow </tex>:
Если последовательность сходится, то из неравенства <tex>|x_j^{(m)} - x_j| \le \|x^{(m)} - x\|</tex> устанавливается, что последовательность сходится и покоординатно.
<tex> \Longleftarrow </tex>:
Пусть для любого <tex>j</tex> выполняется <tex>x_j^{(m)} \rightarrow x_j</tex>. Из определения предела, для любого <tex>\varepsilon</tex> существует <tex>M_j</tex>, для которого <tex>|x_j^{(m)} - x_j| \le \varepsilon / \sqrt n</tex>. Тогда для <tex>m > M = M_1 + \dots + M_n</tex> написанное выше неравенство выполняется для всех <tex>j</tex>.
Но по доказанному ранее утверждению из покоординатной сходимости следует сходимость по норме, что и требовалось доказать.
}}
{{Теорема
|about=
критерий компактности в <tex> R^n </tex>
|statement=
Множество <tex> X </tex> в <tex> R^n </tex> компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
|proof=
<tex>\Longrightarrow</tex>
Верно по свойствам компакта в произвольном метрическом пространстве.
<tex>\Longleftarrow</tex>
В силу ограниченности поместим наше множество в <tex>n</tex>-мерный параллелепипед. Докажем, что он {{---}} компакт.
Возьмём последовательность <tex>a_n</tex>, принадлежащую этому параллелепипеду. Выделим сходящуюся последовательность по
первой координате. Из неё выделим сходящуюся последовательность по второй координате, итд. По каждой координате эта последеовательность
сходится, значит, по свойствам <tex>\mathbb{R}^n</tex> эта последовательность сходится. Значит, параллелепипед {{---}} компакт.
Рассмотрим последовательность в нашей фигуре. Из неё можно выделить выделить сходящуюся подпоследовательность так как она принадлежит
компакту. По замкнутости её предел лежит внутри фигуры. Значит, фигура {{---}} компакт.
}}
== Пространство последовательностей ==
Второй классический пример гильбертовых пространств был предложен самим Гильбертом.
Пространство последовательностей <tex>\ell^2</tex> определяется как пространство вещественных последовательностей, для которых сходится ряд из квадратов их членов, скалярное произведение на нем определяется как <tex> (x; y) = \sum\limits_{j = 1}^\infty x_jy_j </tex>.
{{Теорема
Для начала установим, что <tex>(x, y) = \sum\limits_{j = 1}^\infty x_j y_j</tex> имеет конечные значения (когда <tex>x</tex>, <tex>y</tex> — элементы <tex>\ell^2</tex>). По свойствам рядов достаточно доказывать сходимость ряда из модулей.
По неравенству Шварца для <tex>\mathbb R^n</tex> (где <tex>n</tex> — произвольно): <tex>\left| \sum\limits_{j = 1}^n |x_j| \cdot |y_j\right| \le \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^n x_j^2} \cdot \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^n y_j^2}</tex>.
<tex>\sqrt{\sum\limits_{j = 1}^n x_j^2} \le \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^\infty x_j^2}</tex>, следовательно, частичные суммы рассматриваемого ряда ограничены некоторой константой. Но, так как ряд положительный, то он сходится.
Итого, <tex>\ell^2</tex> — линейное пространство с определённым выше скалярным произведением и нормой <tex>\|x\| = \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^\infty x_j^2}</tex>. Осталось доказать полноту.
Для любого <tex>j</tex> можно записать: <tex>|x_j^{(m)} - x_j^{(p)}| ^2 \le \|x^{(m)} - x^{(p)}\|^2 \rightarrow 0</tex> при <tex>m, p \rightarrow \infty</tex>. Всякая последовательность координат сходится к некоторому числу, следовательно фундаментальная последовательность последовательностей покоординатно сходится к некоторой последовательности. Убедимся, что эта последовательность принадлежит <tex>\ell^2</tex> и является пределом <tex>x^{(m)}</tex> по норме.
Напишем неравенство:
В сумме стоит конечное число слагаемых, и при каждом <tex>n</tex> можно перейти к пределу при <tex>p \rightarrow \infty</tex>: <tex>\sum\limits_{j = 1}^n (x_j^{(m)} - x_j)^2 \le \varepsilon^2</tex>. Далее, переходя к пределу при <tex>n \rightarrow \infty</tex>, получаем: <tex>\sum\limits_{j = 1}^\infty (x_j^{(m)} - x_j)^2 \le \varepsilon^2 \quad (*)</tex>
По определению <tex>\ell^2</tex> точка <tex>(x^{(m)} - x) \in \ell^2</tex>. Но <tex>x_j x = x_jx^{(m)} - (x_jx^{(m)} - x_jx)</tex>, и<tex> x^{(m)} \in \ell^2 </tex> по условию, а <tex> x^{(m)} - x \in \ell^2</tex>, начиная с некоторого <tex>m > M</tex>, значит, из доказанной ранее алгебраической замкнутости <tex>\ell^2</tex> следует, что <tex>x \in \ell^2</tex>. Теперь можно записать неравенство <tex>(*)</tex> как <tex>\|x^{(m)} - x\| \le \varepsilon</tex>. Поскольку неравенство верно для любого <tex>m > M</tex>, то точка <tex>x</tex> является пределом последовательности <tex>x^{(m)}</tex>.
}}
Придерживаясь идеологии представленного доказательства, можно доказать полноту <tex>C[a; b]</tex>., пользуясь неравенством:
<wikitextex>$ |x_{n + p}(t) - x_n(t)| \le \max_{s \in [a; b]} |x_{n + p}(s) - x_n(s)| = \| x_{n + p} - x_n \| $</tex>
Пространство Гильберта имеет важное понятие ортонормированной системы точек:
Из шара можно высверлить бесконечно много дырок одинакового радиуса( $<tex>R = \frac{\sqrt2}{10} $</tex>) , и он не развалится.
===Теорема Пифагора===
{{Теорема
|author=Пифагор
|statement=
|proof=
}}
Применим теорему к ортогональному ряду из ОНС:
[[Математический_анализ_1_курс#.D0.93.D0.BB.D0.B0.D0.B2.D0.B0_V_.D0.A0.D1.8F.D0.B4.D1.8B|на главную <<]] [[Линейные операторы в нормированных пространствах|>>]]
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]