Изменения
Орфография для iolp
[[Математический_анализ_1_курс#.D0.93.D0.BB.D0.B0.D0.B2.D0.B0_V_.D0.A0.D1.8F.D0.B4.D1.8B|на главную <<]] [[Линейные операторы в нормированных пространствах|>>]]
== Определение и примеры ==
== Арифметика пределов ==
В нормированных пространствах определение предела записывается аналогично пределу вещественной последовательности, отличаясь лишь заменой знака модуля на знак нормы.
Например, если <tex>E \subset X</tex>, <tex>a</tex> — предельная точка множества <tex>E</tex>, <tex>f \colon E \to Y</tex> (где <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> — нормированные пространства), то <tex>A</tex> называется пределом функции <tex>f</tex> при <tex>x \rightarrow a</tex> и обозначается <tex>\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)</tex>, если для любого положительного <tex>\varepsilon</tex> найдётся <tex>\delta > 0</tex>, для которого выполняется следствие <tex>0 < \|x - a\| < \delta \Rightarrow \|f(x) - A\| < \varepsilon</tex>.
Специфика нормированных пространств — структура линейного пространства на рассматриваемом множестве. То есть, точки пространства можно складывать и умножать на числа, и эти операции будут непрерывными по норме пространства.
{{Утверждение
|id=limits
|statement=
Пусть <tex>x_n</tex>, <tex>y_n</tex> — последовательности точек нормированного пространства <tex>(X, \|\cdot\|)</tex>, а <tex>\alpha_n</tex> — вещественная последовательность. Известно, что <tex>x_n \rightarrow x</tex>, <tex>y_n \rightarrow y</tex>, <tex>\alpha_n \rightarrow \alpha</tex>.
|proof=
<tex>\|(x_n + y_n) - (x + y)\| = \|(x_n - x) + (y_n - y)\| \le \|x_n - x\| + \|y_n - y\| \rightarrow 0</tex> по арифметике числовых пределов. Но, поскольку <tex>\|(x_n + y_n) - (x + y)\| \ge 0</tex> по определению нормы, то по принципу сжатой переменной <tex>x_n + y_n \rightarrow x + y</tex>.
}}
Рассмотренные ранее пространства <tex>\mathbb R</tex>, <tex>C[0; 1]</tex> являются B-пространствами, <tex>\widetilde{L_1}[0; 1]</tex> B-пространством не является. Доказательства полноты <tex>\mathbb R^n</tex> и <tex>C[0; 1]</tex> будут даны далее.
Также в нормированных пространствах можно рассматривать ряды, понимая под рядом, например, предел частичных сумм. Другие методы суммирования также можно перенести на нормированные пространства (метод средних арифметических или метод Абеля).
# <tex>(\alpha x + \beta y, z) = \alpha(x, z) + \beta(y, z)</tex>
=== Неравенство Шварца ===
Основное значение для скалярного произведения имеет неравенство Шварца:
{{Утверждение
Рассмотрим следующую функцию: <tex>f(\lambda) = (\lambda x + y, \lambda x + y)</tex>. По аксиомам скалярного произведения <tex>f(\lambda) \ge 0</tex>.
Но <tex>f(\lambda) = (x, x)\lambda^2 + 2(x, y)\lambda + (y, y)</tex>. Из неотрицательности квадратного трёхчлена вытекает, что его дискриминант не должен быть положительным. Но дискриминант <tex>D</tex> равен <tex>4(x, y)^2 - 4(x, x)(y, y)</tex>, и из неравенства <tex>D \le 0</tex> мнгновенно мгновенно вытекает доказываемое.
}}
Но по доказанному ранее утверждению из покоординатной сходимости следует сходимость по норме, что и требовалось доказать.
}}
{{Теорема
|about=
критерий компактности в <tex> R^n </tex>
|statement=
Множество <tex> X </tex> в <tex> R^n </tex> компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
|proof=
<tex>\Longrightarrow</tex>
Верно по свойствам компакта в произвольном метрическом пространстве.
<tex>\Longleftarrow</tex>
В силу ограниченности поместим наше множество в <tex>n</tex>-мерный параллелепипед. Докажем, что он {{---}} компакт.
Возьмём последовательность <tex>a_n</tex>, принадлежащую этому параллелепипеду. Выделим сходящуюся последовательность по
первой координате. Из неё выделим сходящуюся последовательность по второй координате, итд. По каждой координате эта последеовательность
сходится, значит, по свойствам <tex>\mathbb{R}^n</tex> эта последовательность сходится. Значит, параллелепипед {{---}} компакт.
Рассмотрим последовательность в нашей фигуре. Из неё можно выделить выделить сходящуюся подпоследовательность так как она принадлежит
компакту. По замкнутости её предел лежит внутри фигуры. Значит, фигура {{---}} компакт.
}}
== Пространство последовательностей ==
Для начала установим, что <tex>(x, y) = \sum\limits_{j = 1}^\infty x_j y_j</tex> имеет конечные значения (когда <tex>x</tex>, <tex>y</tex> — элементы <tex>\ell^2</tex>). По свойствам рядов достаточно доказывать сходимость ряда из модулей.
По неравенству Шварца для <tex>\mathbb R^n</tex> (где <tex>n</tex> — произвольно): <tex>\left| \sum\limits_{j = 1}^n |x_j| \cdot |y_j\right| \le \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^n x_j^2} \cdot \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^n y_j^2}</tex>.
<tex>\sqrt{\sum\limits_{j = 1}^n x_j^2} \le \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^\infty x_j^2}</tex>, следовательно, частичные суммы рассматриваемого ряда ограничены некоторой константой. Но, так как ряд положительный, то он сходится.
Один шар можно получить сдвигом и параллельным переносом из другого, значит, любой шар в <tex> \ell^2 </tex> - некомпактен.
В <tex> \mathbb{R}^n </tex> - любой шар компактен, так как его можно погрузить в компактный параллелепипед(по т. Хаусдорфа).
Из шара можно высверлить бесконечно много дырок одинакового радиуса( <tex>R = \frac{\sqrt2}{10} </tex>) , и он не развалится.
<strike>''КАРТИНОЧКА''</strike> никому не нужна, вы ведь не хотите загреметь в сумашедший сумасшедший дом из-за попытки представить высверливание дырок в бесконечномерном шаре? Вот и славненько.
{{Определение
В частности, так как <tex> l_1, \dots, l_n, \dots </tex> - ОНС в <tex> H </tex>(гильбертово), то <tex> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k l_k </tex> {{---}} ортогональный ряд.
===Теорема Пифагора===
{{Теорема
|author=Пифагор
|statement=
<tex>\sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k </tex> - сходящийся ортогональный ряд <tex> \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \| x_k \|^2 < + \infty </tex>.
Применим теорему к ортогональному ряду из ОНС:
<tex> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k e_kl_k, \ \| \alpha_k e_k l_k \|^2 = \alpha_k. \ ^2 </tex> <tex> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k^2 < + \infty </tex>
Возникает вопрос: всегда ли сходится описанный числовой ряд? Для ответа, как обычно, введем новые теоретические построения.
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> l_1, \dots, l_n, \dots </tex> - ОНС в <tex> H </tex>, <tex> x \in H</tex>, тогда <tex>\sigma (x) = \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x; , l_k)\cdot l_k</tex> {{---}} '''ряд Фурье''' точки <tex> x </tex>. При этом <tex> (x; , l_k) </tex> называются коэффициентами этой точки.
}}
Если <tex> \sum \limits_{k=1}^{\infty} \alpha_k l_k </tex> сходится к <tex> x </tex>, то, учитывая непрерывность скалярного произведения, получаем:
<tex> (x; , l_n) = \sum \limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k (l_k; , l_n) </tex> = <tex> \sum \limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k \delta_{k, n} = \alpha_n </tex>.
Значит, если написанный ортогональный ряд сходится, то он будет рядом Фурье своей суммы. Убедимся, что любой ряд Фурье сходится, однако не всегда к той же точке <tex> x </tex>, для которой он построен. Этот факт базируется на следующем неравенстве:
===Теорема Бесселя===
{{Теорема
|author=
Бессель
|statement=
<tex> \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x; , l_k)^2 \le \|x\|^2</tex>
|proof=
Для некоторого набора коэффициентов <tex> \beta_k </tex> рассмотрим скалярное произведение <tex> x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k l_k </tex>:
<tex> 0 \le (x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k l_k; , x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k l_k) = \|x\|^2 - 2\sum \limits_{k=1}^n \beta_k (x; , l_k) + \sum \limits_{k=1}^n \beta_k^2 = </tex>
<tex> = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k^2 - 2(x; , l_k)\beta_k) = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k - (x; , l_k))^2 - \sum \limits_{k=1}^n(x; , l_k)^2 </tex>.Теперь, пусть <tex> \beta_k = (x; , l_k) </tex>, имеем <tex> 0 \le \|x\|^2 - \sum \limits_{k=1}^n (x; , l_k)^2 </tex>, устремив <tex> n </tex> к бесконечности, получим требуемое.
}}
[[Математический_анализ_1_курс#.D0.93.D0.BB.D0.B0.D0.B2.D0.B0_V_.D0.A0.D1.8F.D0.B4.D1.8B|на главную <<]] [[Линейные операторы в нормированных пространствах|>>]]
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
