1679
правок
Изменения
м
→Пространство последовательностей: так, кажется, правильнее
В <tex> \mathbb{R}^n </tex>, в котором система размера <tex> n + 1 </tex> - линейно зависима, ОНС может состоять из n точек.
<tex> l_n = (\underbrace{0, \dots, 0}_n, 1, \dots) </tex> - ОНС, в этом смысле <tex> l_2 \ell^2 </tex> - бесконечномерно.
Заметим, что, если взять <tex> n \ne m </tex> и составить норму разности <tex> \| l_n - l_m \|^2 = 2 </tex>:
<tex> \overline{V}_{10}(o) = \{ x \in l_2\ell^2: \| x \| \le 10 \} </tex>, все <tex> l_n </tex> принадлежат этому шару. Но в силу того, что <tex> \| l_n - l_m \| \le = \sqrt2 </tex>, то из такой последовательности невозможно выделить сходящуюся и такой шар некомпактен в <tex> \ell^2 </tex>.
Один шар можно получить сдвигом и параллельным переносом из другого, значит, любой шар в <tex> \ell^2 </tex> - некомпактен.
