689
правок
Изменения
м
$ {{Определение|definition=Пусть дана система точек <tex> l_1, \dots, l_n, \dots \in H $</tex>. Она называется '''ортонормированной'''(ОНС), если:# $ <tex> \| l_n \| = 1 $</tex># $ <tex>\forall n, m: n \ne m: l_n \bot l_m</tex>, то есть <tex> (l_n, l_m) = 0\ \forall n, m: n \ne m $</tex>.$ \{l_n, n \in N \} $ - линейно независима.}
В $ Ортонормированная система точек <tex> \mathbb{l_n, n \in N \} </tex> линейно независима в <tex> R}^n $, в котором система размера $ n + 1 $ - линейно зависима, ОНС может состоять из n точек\ell^2 </tex>.
$ l_n = (В <tex> \underbracemathbb{0, \dots, 0R}_n^n </tex>, в котором система размера <tex> n + 1</tex> - линейно зависима, \dots) $ - ОНС, в этом смысле $ l_2 $ - бесконечномерноможет состоять из n точек.
Заметим<tex> l_n = (\underbrace{0, что если взять $ n \ne m $ и составить норму разности $ dots, 0}_n, 1, \| l_n dots) </tex> - ОНС, в этом смысле <tex> l_2 </tex> - l_m \|^2 = 2 $:бесконечномерно.
$ \overline{V}_{10}(o) = \{ x \in l_2: \| x \| \le 10 \} $Заметим, все $l_n$ принадлежат этому шару. Но в силу тогочто, что $ если взять <tex> n \ne m </tex> и составить норму разности <tex> \| l_n - l_m \| \le \sqrt2 $, то из такой последовательности невозможно выделить сходящуюся и такой шар некомпактен в $ l_2 $.^2 = 2 </tex>:
Итого<tex> \overline{V}_{10}(o) = \{ x \in l_2: \| x \| \le 10 \} </tex>, любой шар все <tex> l_n </tex> принадлежат этому шару. Но в $ l_2 $ силу того, что <tex> \| l_n - l_m \| \le \sqrt2 </tex>, то из такой последовательности невозможно выделить сходящуюся и такой шар некомпактенв <tex> \ell^2 </tex>.
В $ Один шар можно получить сдвигом и параллельным переносом из другого, значит, любой шар в <tex> \mathbb{R}ell^n $ 2 </tex> - любой шар компактен, так как его можно погрузить в компактный параллелепипед(по т. Хаусдорфа)некомпактен.
Остутсвие В <tex> \mathbb{R}^n </tex> - любой шар компактен, так как его можно погрузить в $l_2$ компактности шаров - принциальное отличие бесконечномерной ситуациикомпактный параллелепипед(по т. Хаусдорфа).
''КАРТИНОЧКА''Остутсвие в <tex> \ell^2 </tex> компактности шаров - принциальное отличие бесконечномерной ситуации.
$ l_1<strike>''КАРТИНОЧКА''</strike> никому не нужна, \dots, l_n, \dots $ вы ведь не хотите загреметь в сумашедший дом из- ОНС за попытки представить высверливание дырок в H(гильбертово)бесконечномерном шаре? Вот и славненько.
$ {{Определение|definition=Ряд <tex> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k </tex> является '''ортогональным''', если <tex> \forall n \ne m \alpha_k e_k $ - т.н. "ортогональный ряд"Rightarrow (e_n, e_m) = 0 </tex>.}}
$ В частности, так как <tex> l_1, \dots, l_n, \dots </tex> - ОНС в H(гильбертово), то <tex> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k $ является ортогональным??, если $ \forall n \ne m \Rightarrow (e_n, e_m) = 0 $alpha_k e_k </tex> {{---}} ортогональный ряд.
$<tex>\sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k $ </tex> - сходящийся ортогональный ряд $ <tex> \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \| x_k \|^2 < + \infty $</tex>.При этом, если x - сумма ряда, то выполняется теорема Пифагора: $ <tex> \| x \|^2 = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \| x_k \|^2 $</tex>
$ <tex> \delta_n = \sum\limits_{k = 1}^n x_k $</tex>. Замечаем, что: <tex> { \left \| \sum\limits_{k = n}^{n + p} x_k \right \| } ^2 = \left( \sum\limits_{k = n}^{n + p} x_k, \sum\limits_{k = n}^{n + p} x_k \right) = \sum\limits_{k = n}^{n + p} \| x_k \|^2 </tex>. Отсюда, если ряд сходится, то <tex> \sum\limits_{k = n}^{n + p} x_k \to 0 </tex>, а по последней формуле, к нулю начнут стремиться <tex> \sum\limits_{k = n}^{n + p} \| x_k \|^2 </tex>, и по критерию Коши ряд сходится.
Замечаем, что: $ { \left \| \sum\limits_{k = n}^{n + p} x_k \right \| } ^2 = \left( \sum\limits_{k = n}^{n + p} x_k, \sum\limits_{k = n}^{n + p} x_k \right) = \sum\limits_{k = n}^{n + p} \| x_k \|^2 $. Отсюда, если ряд сходится, то $ \sum\limits_{k = n}^{n + p} x_k \to 0 $, а В обратную сторону - очевидно по последней формуле, к нулю начнут стремиться $ \sum\limits_{k = n}^{n + p} \| x_k \|^2 $, и по критерию Коши ряд сходитсябанаховости пространства.
В обратную сторону - полнота гильбертова пространства теорема Теорема Пифагора получается предельным переходом равенства.
$ <tex> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k e_k, \ \| \alpha_k e_k \|^2 = \alpha_k. \ \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k^2 < + \infty $ </tex>
Всегда Возникает вопрос, всегда ли сходится описанный числовой ряд?
используйте тег <tex>, когда он перемешан с внутренней разметкой <wikitex>, это сбивает с толку. Остаток статьи сейчас запилю.
# <tex>x_n + y_n \rightarrow x + y</tex>
# <tex>\alpha_n x_n \rightarrow \alpha x</tex>
# <tex>\|x_n\| \rightarrow \|x\|</tex>
|proof=
<tex>\|(x_n + y_n) - (x + y)\| = \|(x_n - x) + (y_n - y)\| \le \|x_n - x\| + \|y_n - y\| \rightarrow 0</tex> по арифметике числовых пределов. Но, поскольку <tex>\|(x_n + y_n) - (x + y)\| \ge 0</tex> по определению нормы, то по принципу сжатой переменной <tex>x_n + y_n \rightarrow x + y</tex>.
Второй и третий пункты доказываются аналогично.
}}
Важную роль играют банаховы пространства (содержат перенос понятия полноты на случай нормированных пространств). Также банаховы пространства называют B-пространствами, далее в тексте обозначаются именно так.
{{Определение|definition=Нормированное пространство <tex>(X, \|\cdot\|)</tex> называется '''B-пространством''', если для любой последовательности элементов <tex>X</tex>, для которых из <tex>\|x_n - x_m\| \to 0</tex> при <tex>n, m \to \infty</tex> вытекает существование предела последовательности.}}
Рассмотренные ранее пространства <tex>\mathbb R</tex>, <tex>C[0; 1]</tex> являются B-пространствами, <tex>\widetilde{L_1}[0; 1]</tex> B-пространством не является. Доказательства полноты <tex>\mathbb R^n</tex> и <tex>C[0; 1]</tex> будут даны далее.
Например, если <tex>E \subset X</tex>, <tex>a</tex> — предельная точка множества <tex>E</tex>, <tex>f \colon E \to Y</tex> (где <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> — нормированные пространства), то <tex>A</tex> называется пределом функции <tex>f</tex> при <tex>x \rightarrow a</tex> и обозначается <tex>\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)</tex>, если для любого положительного <tex>\varepsilon</tex> найдётся <tex>\delta > 0</tex>, для которого выполняется следствие <tex>0 < \|x - a\| < \delta \Rightarrow \|f(x) - A\| < \varepsilon</tex>.
Также в нормированных пространствах можно рассматривать ряды, понимаяпод рядом, например, под рядом предел частичных сумм. Другие методы суммирования также можно перенести на нормированные пространства (метод средних арифметических или метод Абеля).
Ряд из норм в нормированных пространствах — аналог ряда из модулей для понятия абсолютной сходимости.
Среди нормированных пространств выделяется подкласс так называемых гильбертовых пространств.
Пусть <tex>H</tex> — линейное пространство. Величина <tex>(x, y) \in \mathbb R</tex> называется скалярным проихведением произведением точек множества <tex>H</tex>, если она удовлетворяет следующим трём аксиомам:
# <tex>(x, x) \ge 0</tex>, <tex>(x, x) = 0 \iff x = 0</tex>
# <tex>(x, y) = (y, x)</tex>
Рассмотрим следующую функцию: <tex>f(\lambda) = (\lambda x + y, \lambda x + y)</tex>. По аксиомам скалярного произведения <tex>f(\lambda) \ge 0</tex>.
Но <tex>f(\lambda) = (x, x)\lambda^2 + 2(x, y)\lambda + (y, y)</tex>. Из неотрицательности квадратного трёхчлена вытекает, что его дискриминант не должен быть положительным. Но дискриминант <tex>D</tex> равен <tex>4(x, y)^2 - 4(x, x)(y, y)</tex>, и из неравенства <tex>D \ge le 0</tex> мнгновенно вытекает доказываемое.
}}
Базируясь на этом неравенстве, определим функционал норму <tex>\|x\| = \sqrt{(x, x)}</tex>. Первые два свойства, очевидно, выполняются. Проверим, что этот функционал удовлетворяет неравенству треугольника:
<tex>\|x + y\|^2 = (x + y, x + y) = \|x\|^2 + 2(x, y) + \|y\|^2 \le (\|x\| + \|y\|)^2</tex>.
Последний переход в неравенстве выполнен именно благодаря неравенству Шварца.
Доказанное неравенство треугольника превращает <tex>H</tex> в нормированное пространство. Если оно является B-пространством, то его называют '''гильбертовым пространством'''.
Имеются две классических модели таких пространств. Первое из них — это <tex>\mathbb R^n</tex> со скалярным произведением <tex>(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{i = 1}^n x_i y_i</tex> и нормой <tex> ||\overline x|| = \sqrt{(\overline x, \overline x)} = \sqrt{\sum\limits_{i = 1}^n x_i^2} </tex> . Видно, что норма по скалярному произведению совпадает с евклидовской евклидовой нормой (а само пространство — с евклидовым). Осталось только доказать, что представленное пространство является полным.
== Полнота евклидова пространства ==
|proof=
<tex> \Longrightarrow </tex>:
Если последовательность сходится, то из неравенства <tex>|x_j^{(m)} - x_j| \le \|x^{(m)} - x\|</tex> устанавливается, что последовательность сходится и покоординатно.
<tex> \Longleftarrow </tex>:
Пусть для любого <tex>j</tex> выполняется <tex>x_j^{(m)} \rightarrow x_j</tex>. Из определения предела, для любого <tex>\varepsilon</tex> существует <tex>M_j</tex>, для которого <tex>|x_j^{(m)} - x_j| \le \varepsilon / \sqrt n</tex>. Тогда для <tex>m > M = M_1 + \dots + M_n</tex> написанное выше неравенство выполняется для всех <tex>j</tex>.
Второй классический пример гильбертовых пространств был предложен самим Гильбертом.
Пространство последовательностей <tex>\ell^2</tex> определяется как пространство вещественных последовательностей, для которых сходится ряд из квадратов их членов, скалярное произведение на нем определяется как <tex> (x; y) = \sum\limits_{j = 1}^\infty x_jy_j </tex>.
{{Теорема
В сумме стоит конечное число слагаемых, и при каждом <tex>n</tex> можно перейти к пределу при <tex>p \rightarrow \infty</tex>: <tex>\sum\limits_{j = 1}^n (x_j^{(m)} - x_j)^2 \le \varepsilon^2</tex>. Далее, переходя к пределу при <tex>n \rightarrow \infty</tex>, получаем: <tex>\sum\limits_{j = 1}^\infty (x_j^{(m)} - x_j)^2 \le \varepsilon^2 \quad (*)</tex>
По определению <tex>\ell^2</tex> точка <tex>(x^{(m)} - x) \in \ell^2</tex>. Но <tex>x_j = x_j^{(m)} - (x_j^{(m)} - x_j)</tex>, и<tex> x_j^{(m)} \in \ell^2 </tex> по условию, а <tex> x_j^{(m)} - x_j \in \ell^2</tex>, начиная с некоторого <tex>m > M</tex>, значит, из доказанной ранее алгебраической замкнутости <tex>\ell^2</tex> следует, что <tex>x \in \ell^2</tex>. Теперь можно записать неравенство <tex>(*)</tex> как <tex>\|x^{(m)} - x\| \le \varepsilon</tex>. Поскольку неравенство верно для любого <tex>m > M</tex>, то точка <tex>x</tex> является пределом последовательности <tex>x^{(m)}</tex>.
}}
Придерживаясь идеологии представленного доказательства, можно доказать полноту <tex>C[a; b]</tex>., пользуясь неравенством:
<wikitextex>$ |x_{n + p}(t) - x_n(t)| \le \max_{s \in [a; b]} |x_{n + p}(s) - x_n(s)| = \| x_{n + p} - x_n \| $</tex>
Пространство Гильберта имеет важное понятие ортонормированной системы точек:
Из шара можно высверлить бесконечно много дырок одинакового радиуса( $<tex>R = \frac{\sqrt2}{10} $</tex>) и он не развалится.
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
Применим теорему к ортогональному ряду из ОНС:
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
