Изменения

'''Линейное (векторное) пространство над полем $<tex>K$</tex>''' — это множество $<tex>L$ </tex> с заданными на нем операциями сложениями и умножения на скаляр такими, что:* По операции сложения $<tex>L$ </tex> является абелевой группой — выполняются:** ассоциативность — $<tex>\forall x, y, z \in L: (x + y) + z = x + (y + z)$</tex>;** существование нейтрального элемента — $<tex>\exists \mathrm{0} \in L \ \forall x \in L: x + \mathrm{0} = \mathrm{0} + x = x$</tex>, причем можно показать, что он единственный;** существование обратного элемента — $<tex>\forall x \in L \ \exists y: x + y = \mathrm{0}$</tex>, такой $<tex>y$ </tex> называют обратным к $<tex>x$</tex>, причем можно показать, что он единственный;** коммутативность — $<tex>\forall x, y \in L: x + y = y + x$</tex>;

** ассоциативность умножения на скаляр — $<tex>\forall \alpha, \beta \in K \ \forall x \in L: (\alpha \beta) x = \alpha (\beta x)$</tex>;** унитарность: $<tex>\forall x \in L: 1 \cdot x = x$</tex>, где $<tex>1$ </tex> — единица по умножению в поле $<tex>K$</tex>;** дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов — $<tex>\forall \alpha \in K \ \forall x, y \in L: \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y$</tex>;** дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров — $<tex>\forall \alpha, \beta \in K \ \forall x \in L: (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$</tex>.

Функция $<tex>\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}$ </tex> называется нормой в пространстве $<tex>L$</tex>, если для нее выполняется:# $<tex>\forall x \in L: \| x \| \ge 0$</tex>, $<tex>\| x \| = 0 \Leftrightarrow iff x = \mathrm{0}$</tex># $<tex>\forall \alpha \in \mathbb{R} \ \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|$</tex># $<tex>\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|$</tex>

Заметим, что любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, задав метрику как $<tex>\rho(x, y) = \| x - y \|$</tex>. Заметим, что обратное неверно: например, хоть и $<tex>\mathbb{R}^{\infty}$ </tex> c $<tex>\rho(x, y) = \sum 2^{-k} \frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}$ </tex> и можно наделить линейной сткуртуройструктурой, не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой. {{Утверждение|statement=В нормированных пространствах линейные операции непрерывны.|proof=Пусть <tex> x_n \to x , y_n \to y, \alpha_n \to \alpha</tex>. Тогда <tex> x_n + y_n \to x + y </tex>, так как <tex> \|(x_n + y_n) - (x + y)\| \le \|x_n - x\| + \|y_n - y\| \to 0</tex>.

Смысл нормы в ЛП состоит в том<tex> \alpha_n x_n \to \alpha x </tex>, чтобы линейные операции относительно нормы стали непрерывными: TODO чтотак как <tex> \|\alpha_n x_n -то не особенно понял, к чему тут это\alpha x\| = \|\alpha(x_n - x) + (\alpha_n - \alpha) x_n\| \le |\alpha| \|x_n - x\| + |\alpha_n - \alpha| \|x_n\| \to 0</tex>.}}

* $<tex>X = \mathbb{R}^n, \| \overline x \| = \sqrt {\sum_sum\limits_{k = 1}^{n} x_k^2}$</tex>* $<tex>X = C[a; b]$ </tex> — пространство непрерывных на $<tex>[a; b]$ </tex> функций, $<tex>\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|$</tex>* $<tex>X = L_p$ </tex> — пространство TODO пшшшфункций, интегрируемых на множестве <tex> E </tex> с <tex> p </tex> степенью ,$<tex>\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}$</tex>. В таком пространстве отождествленны функции, заметим, что здесь надо отождествить почти везде совпадающие функцииразличающиеся на множестве меры ноль, иначе, например, интеграл функции, почти везде равной нулю, будет нулевым, хотя сама функция ненулевая, что нарушит первую аксиому нормы.* <tex>X = \ell_p</tex> — пространство числовых последовательностей, суммируемых с <tex>p</tex>-й степенью, норму можно ввести как <tex>\|x\|_p = { \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right) }^{1 \over p}</tex>

Нормированное пространство $<tex>(X, \|\cdot\|)$ </tex> называется '''B-пространством (Банаховым)''', если для любой последовательности элементов $<tex>X$</tex>, для которых из $<tex>\|x_n - x_m\| \to 0$ </tex> при $<tex>n, m \to \infty$ </tex> вытекает существование предела последовательности.

Нормы $<tex>\| \cdot \|_1$</tex>, $<tex>\| \cdot \|_2$ </tex> '''эквивалентны''', если сходимость в них равносильна: <tex>\forall \{x_n\}: x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \iff x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x</tex>.}}Очевидно, что отношение эквивалентности норм является отношением эквивалентности (то есть, выполняются рефлексивность, симметричность и транзитивность). {{Утверждение|statement=Нормы <tex>\|\cdot \|_1</tex>, <tex>\|\cdot \|_2</tex> эквивалентны <tex> \iff </tex> существуют константы $<tex>m, M$ > 0</tex> такие, что $<tex>\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2$</tex>.|proof= Несложно показать, что из взаимной ограниченности норм следует равносходимость: <tex> x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \implies \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_1 < \varepsilon \implies </tex> <tex> \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_2 < \frac \varepsilon m \implies x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x</tex>; <tex> x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x \implies \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_2 < \varepsilon \implies </tex> <tex> \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_1 < M \varepsilon \implies x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x</tex>. Теперь убедимся, что без взаимной ограниченности равносходимости также не будет: Так как ее нет, то не существует, например, необходимой константы <tex> M </tex>. Значит, существует последовательность <tex> x_n: \|x_n\|_1 > n \|x_n\|_2 </tex>. Рассмотрим тогда последовательность <tex> \frac {x_n}{\|x_n\|_1} </tex>. В норме <tex> \|\cdot\|_2 </tex> она будет сходиться к нулю: <tex> \| \frac {x_n}{\|x_n\|_1} \|_2 < \|\frac {x_n}{n\|x_n\|_2}\|_2 = \frac1n \frac{\|x_n\|_2}{\|x_n\|_2} = \frac1n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>. Но в <tex> \|\cdot\|_1 </tex> каждый элемент имеет норму <tex> \| \frac {x_n}{\|x_n\|_1} \|_1 = \frac {\|x_n\|_1}{\|x_n\|_1} = 1 \ne \|0\|_1</tex>, то есть, последовательность <tex> x_n </tex> к нулю в этой норме не сходится, что и требовалось доказать.

Это определение равносильно тому{{Определение|definition=Пространство <tex> X </tex> '''конечномерно''', что сходимость последовательностей в них равносильна: $x_n если <tex> \xrightarrow[]{exists n = dim X < \|infty: \|_1} x exists e_1, e_2, \Leftrightarrow x_n ldots, e_n: X = \xrightarrow[]{\|mathcal L(e_1, \|_2} x$. TODO: в одну сторону равносильность определений вроде очевиднаldots, а в другую не оченьe_n)</tex>.}}

TODO Докажем, чтопроизвольная норма <tex>\| \|</tex> в конечномерном пространстве <tex>X</tex> эквивалентна <tex>\| \|_2</tex>, то есть выберем <tex>m, M >0: \forall x \in X: m \|x\|_2 \le \|x\| \le M \|x\|_2</tex>, далее по отношению эквивалентности получим эквивалентность произвольной норме. Выберем и зафиксируем в пространстве <tex>X</tex> произвольный базис <tex>(e_1 \dots e_n)</tex>. 1. <tex>x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k</tex>, <tex>\| x \| \le \sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k| \| e_k \| \le </tex> (по [[Неравенства Гёльдера, Минковского#Теорема Минковского|неравенству Коши для сумм]]) <tex> \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2} \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}</tex>. Заметим, что <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2}</tex> является нормой <tex>\| \|_2</tex> в координатной записи, а <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}</tex> является константным значением для фиксированного базиса. Таким образом, получили <tex>\forall x \in X: \|x\| \le M \|x\|_2</tex>. 2. Теперь надо доказать, что <tex>\exists m \forall x: m \|x\|_2 \le \|x\|</tex> Рассмотрим единичный шар по норме <tex>\| \|_2</tex>: <tex>S_2 = \{ \overline \alpha \mid \| \overline \alpha \|_2 = 1 \}</tex>, <tex>S_2</tex> является компактом в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, воспользуемся [[Теорема_Хаусдорфа_об_ε-сетях | теоремой Хаусдорфа]] и покажем:* замкнутость: возьмем последовательность, пусть она сходится не к элементу единичной сферы, тогда с какого-то члена элементы последовательности тоже окажутся с нормой, не равной 1.* вполне ограниченность: пусть нам дали какой-то <tex>\varepsilon</tex>, заметим что норма <tex>\|\|_2</tex> — самое обычная длина вектора, возьмем и сделаем в доказательстве параллелепипеде <tex>[0; 1]^n</tex> n-мерную сетку с шагом <tex>\frac{\varepsilon}{\sqrt n}</tex>, которая и будет центрами шаров радиусом эпсилон, тогда любая точка в конспекте я нифига не понялпараллелепипеде точно будет покрыта каким-то шаром Рассмотрим на нем функцию <tex>f : S_2 \to \mathbb{R}</tex>, <tex>f(x) = \|x\| = \| \sum \alpha_i e_i \|</tex>. Покажем, что она непрерывна. Покажем, что <tex>|f( Кажется\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \|</tex>. Раскроем двумя способами модуль.* <tex> \|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|\ge0 </tex> <tex>\implies </tex> <tex>\|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|\le\|\alpha\| + \|\Delta\alpha\|-\|\alpha\| = \|\Delta\alpha\|</tex>* <tex> \|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|<0 </tex> <tex>\implies </tex> <tex>\|\alpha\|-\|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex>= \|\alpha+\Delta\alpha-\Delta\alpha\| - \|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex>\le \|\alpha+\Delta\alpha\| + \|\Delta\alpha\| - \|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex> = \|\Delta\alpha\|</tex> По свойствам нормы, там используют<tex>\|\Delta\alpha\| = \|\sum \Delta\alpha_k e_k\| \le \sum \|\Delta\alpha_ke_k\| = \sum |\Delta\alpha_k| \|e_k\|</tex> <tex>|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \| \le M \sqrt{\sum (\Delta \alpha_k )^2}</tex>, тоесть при стремлении <tex>\Delta \alpha_k </tex> к <tex>0</tex>, расстояние между <tex>f(\overline \alpha)</tex> и <tex>f(\overline \alpha + \Delta \overline \alpha)</tex> также стремится к нулю, что отношение эквивалентности норм является отношением эквозначает непрерывность. Так как <tex>f</tex> непрерывна на <tex>S_2</tex>, то по [[Предел_отображения_в_метрическом_пространстве#Равномерно непрерывные отображения|теореме Вейерштрасса]] она принимает минимум на этом компакте, равный <tex>m</tex> (пусть он достигается в точке <tex>\overline \alpha^*</tex>). Также <tex>f</tex> не может быть нулем на <tex>S_2</tex>: пусть для какого-ти в смысле бинарного отношениято <tex>x \in S_2</tex> это так, тогда <tex>\|x\| = 0 \implies \| \sum \alpha_k e_k \| = 0 \implies \alpha_k e_k = 0 \implies \forall k: \alpha_k = 0 \implies \|x\|_2 = 0</tex>, что означает, что <tex>x \notin S_2</tex>, то есть <tex>m > 0</tex>. Теперь рассмотрим произвольный ненулевой <tex>x \in \mathbb{R}^n</tex>, выбирают норму $тогда точка <tex>x' = {x \over \| x\|_1$ _2}</tex> также принадлежит <tex>\mathbb{R}^n</tex> по линейности пространства, и в частности, принадлежит <tex>S_2</tex>. Рассмотрим <tex>x'</tex>: <tex> f(ну которая сумма модулейx')= \|x'\| = \| {x \over {\| x \|_2}} \| = {{\| x \|} \over {\| x \|_2}} \ge m</tex>, доказываютто есть <tex>m \| x \|_2 \le \|x\|</tex>. Таким образом, что любая норма ей эквивалентнаполучили обе части двойного неравенства.

Следствие: {{Определение|definition=Подпространство в алгебраическом смысле не обязательно замкнуто в исходном пространстве. Поэтому в функциональном анализе собственно '''подпространством''' называется именно ''замкнутое'' подпространство, а ''алгебраические'' подпространства называют '''линейными подмножествами'''.}} {{Теорема|statement=Пусть $<tex>X$ </tex> — НП и $<tex>Y$ </tex> — линейное конечномерное подпространство подмножество в $<tex>X$</tex>, тогда $<tex>Y$ </tex> — замкнуто в $<tex>X$</tex>, т.е. $<tex>\mathrm{Cl} Y = Y</tex>.|proof=Пусть для произвольного <tex>y \in X</tex>, <tex>y_m \in Y, y_m \to y, Y$ — TODO= \mathcal L(e_1, \ldots, e_n), \|\cdot\|</tex> --- исходная норма. Пусть <tex>\|\cdot\|_2 = \max\{|\alpha_1|, \ldots, |\alpha_n|\}</tex>. По теореме Рисса, нормы <tex>\|\cdot\|</tex> и <tex>\|\cdot\|_2</tex> в <tex>Y</tex> эквивалентны; в <tex>\|\cdot\|_2</tex>, очевидно, есть покоординатная сходимость. <tex>\|y_m - y\| \to 0 \implies \|y_m - y\|_2 \to 0</tex>; так как <tex> y_m </tex> сходится, то <tex> y_m </tex> сходится в себе по <tex> \|\cdot\|_2 </tex>. Вследствие покоординатной сходимости, <tex>\forall k = 1, \ldots, n: \alpha_k^{(p)} - \alpha_k^{(m)} \to 0</tex>. По полноте вещественной оси, все <tex>n</tex> последовательностей сходятся: <tex>\forall k = 1, \ldots, n: пшшш\alpha_k^{(p)} \to \alpha_k^*</tex>. Возьмем <tex> y^* = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k^* e_k </tex>. По единственности предела, <tex> y^* = y </tex>. Значит, <tex>y = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k^* e_k</tex>, <tex>y \in Y</tex> и <tex>Y = \mathrm{Cl} Y</tex>.}}

Пример: $ <tex> X = C[0; 1]$</tex>, $<tex>Y$ </tex> — пространство всех полиномов TODO: полиновов какой степени? не выше <tex> n </tex>. Очевидно, <tex> Y </tex> конечномерно, и, по только что доказанной теореме, замкнуто. Значит, если рассмотреть произвольную сходящуюся последовательность полиномов из <tex> Y </tex>, то ее пределом будет также полином из <tex> Y </tex>. Этот факт, тривиальный с точки зрения функционального анализа, классическими методами математического анализа получается очень непросто. Однако, если степень полиномов в <tex>Y</tex> не ограничивать, то замыканием <tex>Y</tex> будет все пространство <tex>X</tex>, по [[Приближение_непрерывной_функции_полиномами_на_отрезке | теореме Вейерштрасса]], любую непрерывную на отрезке функцию можно приблизить полиномами.