Изменения

'''Линейное (векторное) пространство над полем $<tex>K$</tex>''' — это множество $<tex>L$ </tex> с заданными на нем операциями сложениями и умножения на скаляр такими, что:* По операции сложения $<tex>L$ </tex> является абелевой группой — выполняются:** ассоциативность — $<tex>\forall x, y, z \in L: (x + y) + z = x + (y + z)$</tex>;** существование нейтрального элемента — $<tex>\exists \mathrm{0} \in L \ \forall x \in L: x + \mathrm{0} = \mathrm{0} + x = x$</tex>, причем можно показать, что он единственный;** существование обратного элемента — $<tex>\forall x \in L \ \exists y: x + y = \mathrm{0}$</tex>, такой $<tex>y$ </tex> называют обратным к $<tex>x$</tex>, причем можно показать, что он единственный;** коммутативность — $<tex>\forall x, y \in L: x + y = y + x$</tex>;

** ассоциативность умножения на скаляр — $<tex>\forall \alpha, \beta \in K \ \forall x \in L: (\alpha \beta) x = \alpha (\beta x)$</tex>;** унитарность: $<tex>\forall x \in L: 1 \cdot x = x$</tex>, где $<tex>1$ </tex> — единица по умножению в поле $<tex>K$</tex>;** дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов — $<tex>\forall \alpha \in K \ \forall x, y \in L: \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y$</tex>;** дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров — $<tex>\forall \alpha, \beta \in K \ \forall x \in L: (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$</tex>.

Функция $<tex>\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}$ </tex> называется нормой в пространстве $<tex>L$</tex>, если для нее выполняется:# $<tex>\forall x \in L: \| x \| \ge 0$</tex>, $<tex>\| x \| = 0 \Leftrightarrow iff x = \mathrm{0}$</tex># $<tex>\forall \alpha \in \mathbb{R} \ \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|$</tex># $<tex>\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|$</tex>

Заметим, что любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, задав метрику как $<tex>\rho(x, y) = \| x - y \|$</tex>. Заметим, что обратное неверно: например, хоть и $<tex>\mathbb{R}^{\infty}$ </tex> c $<tex>\rho(x, y) = \sum 2^{-k} \frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}$ </tex> и можно наделить линейной сткуртуройструктурой, не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой. {{Утверждение|statement=В нормированных пространствах линейные операции непрерывны.|proof=Пусть <tex> x_n \to x , y_n \to y, \alpha_n \to \alpha</tex>. Тогда <tex> x_n + y_n \to x + y </tex>, так как <tex> \|(x_n + y_n) - (x + y)\| \le \|x_n - x\| + \|y_n - y\| \to 0</tex>.

Смысл нормы в ЛП состоит в том<tex> \alpha_n x_n \to \alpha x </tex>, чтобы линейные операции относительно нормы стали непрерывными: TODO чтотак как <tex> \|\alpha_n x_n -то не особенно понял, к чему тут это\alpha x\| = \|\alpha(x_n - x) + (\alpha_n - \alpha) x_n\| \le |\alpha| \|x_n - x\| + |\alpha_n - \alpha| \|x_n\| \to 0</tex>.}}

* $<tex>X = \mathbb{R}^n, \| \overline x \| = \sqrt {\sum_sum\limits_{k = 1}^{n} x_k^2}$</tex>* $<tex>X = C[a; b]$ </tex> — пространство непрерывных на $<tex>[a; b]$ </tex> функций, $<tex>\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|$</tex>* $<tex>X = L_p$ </tex> — пространство TODO пшшшфункций, интегрируемых на множестве <tex> E </tex> с <tex> p </tex> степенью ,$<tex>\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}$</tex>. В таком пространстве отождествленны функции, заметим, что здесь надо отождествить почти везде совпадающие функцииразличающиеся на множестве меры ноль, иначе, например, интеграл функции, почти везде равной нулю, будет нулевым, хотя сама функция ненулевая, что нарушит первую аксиому нормы.* <tex>X = \ell_p</tex> — пространство числовых последовательностей, суммируемых с <tex>p</tex>-й степенью, норму можно ввести как <tex>\|x\|_p = { \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right) }^{1 \over p}</tex>

Нормированное пространство $<tex>(X, \|\cdot\|)$ </tex> называется '''B-пространством (Банаховым)''', если для любой последовательности элементов $<tex>X$</tex>, для которых из $<tex>\|x_n - x_m\| \to 0$ </tex> при $<tex>n, m \to \infty$ </tex> вытекает существование предела последовательности.

Нормы $<tex>\| \cdot \|_1$</tex>, $<tex>\| \cdot \|_2$ </tex> '''эквивалентны''', если существуют константы $m, M сходимость в них равносильна: <tex> 0$ такие, что $\forall x\{x_n\}: mx_n \|xxrightarrow[]{\|_2 \le \|_1} x\|_1 iff x_n \le M xrightarrow[]{\|x\|_2$. Очевидно, что отношение эквивалентности норм является отношением эквивалентности (то есть выполняется рефлексивность, симметриченость и транзитивность)} x</tex>.

Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильнаВ норме <tex> \|\cdot\|_2 </tex> она будет сходиться к нулю: $<tex> \| \frac {x_n }{\|x_n\|_1} \|_2 < \|\frac {x_n}{n\|x_n\|_2}\|_2 = \frac1n \frac{\|x_n\|_2}{\|x_n\|_2} = \frac1n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>. Но в <tex> \|\cdot\|_1 </tex> каждый элемент имеет норму <tex> \| \frac {x_n}{\|x_n\|_1} x \Leftrightarrow |_1 = \frac {\|x_n \xrightarrow[]|_1}{\|x_n\|_2_1} x$= 1 \ne \|0\|_1</tex>, то есть, последовательность <tex> x_n </tex> к нулю в этой норме не сходится, что и требовалось доказать. TODO}} {{Определение|definition=Пространство <tex> X </tex> '''конечномерно''', если <tex> \exists n = dim X < \infty: \exists e_1, e_2, \ldots, e_n: в одну сторону равносильность определений вроде очевиднаX = \mathcal L(e_1, \ldots, а в другую не оченьe_n)</tex>.}}

Докажем, что произвольная норма $<tex>\| \|$ </tex> в конечномерном пространстве $<tex>X$ </tex> эквивалентна $<tex>\| \|_2$</tex>, то есть выберем $<tex>m, M >0: \forall x \in X: m \|x\|_2 \le \|x\| \le M \|x\|_2$</tex>, далее по отношению эквивалентности получим эквивалентность произвольной норме. Выберем и зафиксируем в пространстве <tex>X</tex> произвольный базис <tex>(e_1 \dots e_n)</tex>. 1. <tex>x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k</tex>, <tex>\| x \| \le \sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k| \| e_k \| \le </tex> (по [[Неравенства Гёльдера, Минковского#Теорема Минковского|неравенству Коши для сумм]]) <tex> \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2} \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}</tex>. Заметим, что <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2}</tex> является нормой <tex>\| \|_2</tex> в координатной записи, а <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}</tex> является константным значением для фиксированного базиса. Таким образом, получили <tex>\forall x \in X: \|x\| \le M \|x\|_2</tex>. 2. Теперь надо доказать, что <tex>\exists m \forall x: m \|x\|_2 \le \|x\|</tex>

TODOРассмотрим единичный шар по норме <tex>\| \|_2</tex>: <tex>S_2 = \{ \overline \alpha \mid \| \overline \alpha \|_2 = 1 \}</tex>, <tex>S_2</tex> является компактом в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, воспользуемся [[Теорема_Хаусдорфа_об_ε-сетях | теоремой Хаусдорфа]] и покажем:* замкнутость: возьмем последовательность, пусть она сходится не к элементу единичной сферы, тогда с какого-то члена элементы последовательности тоже окажутся с нормой, не равной 1.* вполне ограниченность: сначала надо чтопусть нам дали какой-то сказать про изоморфность конечномерных пространств<tex>\varepsilon</tex>, чтоли? Выберем заметим что норма <tex>\|\|_2</tex> — самое обычная длина вектора, возьмем и зафиксируем сделаем в пространстве $X$ произвольный базис $(e_1 параллелепипеде <tex>[0; 1]^n</tex> n-мерную сетку с шагом <tex>\dots e_n)$.frac{\varepsilon}{\sqrt n}</tex>, которая и будет центрами шаров радиусом эпсилон, тогда любая точка в параллелепипеде точно будет покрыта каким-то шаром

1. $x = Рассмотрим на нем функцию <tex>f : S_2 \sumto \limits_mathbb{k=1R}^n \alpha_k e_k$</tex>, $\| <tex>f(x \| ) = \sum\limits_{k=1}^n |x\alpha_k| \| e_k \| \le $ (по [[неравенству Коши для сумм]]) $ \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2} \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n alpha_i e_i \| e_k \|^2}$</tex>. ЗаметимПокажем, что $\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2}$ является нормой $\| \|_2$ в координатной записи, а $\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}$ является константным значением для фиксированного базисаона непрерывна.

Таким образомПокажем, получили $что <tex>|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \forall x alpha_k | \in X: | e_k \|x</tex>. Раскроем двумя способами модуль.* <tex> \|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|\ge0 </tex> <tex>\implies </tex> <tex>\|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\| \le M \|x\alpha\| + \|_2$.\Delta\alpha\|-\|\alpha\| = \|\Delta\alpha\|</tex>* <tex> \|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|<0 </tex> <tex>\implies </tex> <tex>\|\alpha\|-\|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex>= \|\alpha+\Delta\alpha-\Delta\alpha\| - \|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex>\le \|\alpha+\Delta\alpha\| + \|\Delta\alpha\| - \|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex> = \|\Delta\alpha\|</tex>

2. Теперь надо доказатьПо свойствам нормы, что $<tex>\exists m |\forall x: m Delta\alpha\|x= \|\sum \Delta\alpha_k e_k\|_2 \le \sum \|\Delta\alpha_ke_k\| = \sum |\Delta\alpha_k| \|xe_k\|$</tex>

Рассмотрим единичный шар по норме $\| \|_2$: $S_2 = \{ \overline \alpha \mid \| \overline \alpha \|_2 = 1 \}$, $S_2$ является компактом в $\mathbb{R}^n$ (TODO: почему? может, [http://calvino.polito.it/~terzafac/Corsi/functional_analysis/pdf/chap3.pdf тут] есть подсказка). Рассмотрим на нем функцию $f : S_2 \to \mathbb{R}$, $f(x) = \|x\| = \| \sum \alpha_i e_i \|$. TODO: доказать, тчо $f$ непрерывна$<tex>|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \| \le M \sqrt{\sum (\Delta \alpha_k )^2}$ TODO: бред какой-</tex>, тоесть при стремлении <tex>\Delta \alpha_k </tex> к <tex>0</tex>, расстояние между <tex>f(\overline \alpha)</tex> и <tex>f(\overline \alpha + \Delta \overline \alpha)</tex> также стремится к нулю, тут пытаемся доказать что означает непрерывность $f$.

Так как $<tex>f$ </tex> непрерывна на $<tex>S_2$</tex>, то по [[Предел_отображения_в_метрическом_пространстве#Равномерно непрерывные отображения|теореме Вейерштрасса]] она принимает минимум на этом компакте, равный $<tex>m$ </tex> (пусть он достигается в точке $<tex>\overline \alpha^*$</tex>). Также $<tex>f$ </tex> не может быть нулем на $<tex>S_2$</tex>: пусть для какого-то $<tex>x \in S_2$ </tex> это так, тогда тогда $<tex>\|x\| = 0 \Rightarrow implies \| \sum \alpha_k e_k \| = 0 \Rightarrow implies \alpha_k e_k = 0 \Rightarrow implies \forall k: \alpha_k = 0 \Rightarrow implies \|x\|_2 = 0$</tex>, что означает, что $<tex>x \notin S_2$</tex>, то есть $<tex>m > 0$</tex>.

Теперь рассмотрим произвольный ненулевой $<tex>x \in \mathbb{R}^n$</tex>, тогда точка $<tex>x' = {x \over \|x\|_2}$ </tex> также принадлежит $<tex>\mathbb{R}^n$ </tex> по линейности пространства, и в частности, принадлежит $<tex>S_2$</tex>. Рассмотрим $<tex>x'$</tex>: $ <tex> f(x') = \|x'\| = \| {x \over {\| x \|_2}} \| = {{\| x \|} \over {\| x \|_2}} \ge m$</tex>, то есть $<tex>m \| x \|_2 \le \|x\|$</tex>.

Таким образом, получили обе части тройного двойного неравенства.

Следствие: Пусть $X$ — НП и $Y$ — линейное конечномерное подпространство {{Определение|definition=Подпространство в $X$, тогда $Y$ — алгебраическом смысле не обязательно замкнуто в $X$исходном пространстве. Поэтому в функциональном анализе собственно '''подпространством''' называется именно ''замкнутое'' подпространство, та ''алгебраические'' подпространства называют '''линейными подмножествами'''.е. $Y$ — TODO: пшшш Пример: $ X = C[0; 1]$, $Y$ — пространство всех полиномов TODO: полиновов какой степени? }}

TODO: Пусть <tex>X</tex> — НП и <tex>Y</tex> — линейное конечномерное подмножество в конспекте мутно<tex>X</tex>, но, видимо, для любой функции $f$ тогда <tex>Y</tex> — замкнуто в $C[0; 1]$ можно подобрать последовательность полиномов<tex>X</tex>, равномерно сходящуюся к $f$ на $[0; 1]$т.е.<tex>\mathrm{Cl} Y = Y</tex>.

TODO: какаяПусть для произвольного <tex>y \in X</tex>, <tex>y_m \in Y, y_m \to y, Y = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n), \|\cdot\|</tex> --- исходная норма. Пусть <tex>\|\cdot\|_2 = \max\{|\alpha_1|, \ldots, |\alpha_n|\}</tex>. По теореме Рисса, нормы <tex>\|\cdot\|</tex> и <tex>\|\cdot\|_2</tex> в <tex>Y</tex> эквивалентны; в <tex>\|\cdot\|_2</tex>, очевидно, есть покоординатная сходимость. <tex>\|y_m - y\| \to 0 \implies \|y_m -y\|_2 \to 0</tex>; так как <tex> y_m </tex> сходится, то хурма <tex> y_m </tex> сходится в конспектесебе по <tex> \|\cdot\|_2 </tex>. Вследствие покоординатной сходимости, <tex>\forall k = 1, \ldots, n: \alpha_k^{(p)} - \alpha_k^{(m)} \to 0</tex>. По полноте вещественной оси, все <tex>n</tex> последовательностей сходятся: <tex>\forall k = 1, \ldots, n: \alpha_k^{(p)} \to \alpha_k^*</tex>. Возьмем <tex> y^* = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k^* e_k </tex>. По единственности предела, <tex> y^* = y </tex>. Значит, <tex>y = \sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k^* e_k</tex>, <tex>y \in Y</tex> и <tex>Y = \mathrm{Cl} Y</tex>.}} СсылочкиПример:<tex> X = C[0; 1]</tex>, <tex>Y</tex> — пространство всех полиномов степени не выше <tex> n </tex>. Очевидно, <tex> Y </tex> конечномерно, и, по только что доказанной теореме, замкнуто. Значит, если рассмотреть произвольную сходящуюся последовательность полиномов из <tex> Y </tex>, то ее пределом будет также полином из <tex> Y </tex>. Этот факт, тривиальный с точки зрения функционального анализа, классическими методами математического анализа получается очень непросто. Однако, если степень полиномов в <tex>Y</tex> не ограничивать, то замыканием <tex>Y</tex> будет все пространство <tex>X</tex>, по [[Приближение_непрерывной_функции_полиномами_на_отрезке | теореме Вейерштрасса]], любую непрерывную на отрезке функцию можно приблизить полиномами. == Ссылки ==