Изменения

'''Линейное (векторное) пространство над полем $<tex>K$</tex>''' — это множество $<tex>L$ </tex> с заданными на нем операциями сложениями и умножения на скаляр такими, что:* По операции сложения $<tex>L$ </tex> является абелевой группой — выполняются:** ассоциативность — $<tex>\forall x, y, z \in L: (x + y) + z = x + (y + z)$</tex>;** существование нейтрального элемента — $<tex>\exists \mathrm{0} \in L \ \forall x \in L: x + \mathrm{0} = \mathrm{0} + x = x$</tex>, причем можно показать, что он единственный;** существование обратного элемента — $<tex>\forall x \in L \ \exists y: x + y = \mathrm{0}$</tex>, такой $<tex>y$ </tex> называют обратным к $<tex>x$</tex>, причем можно показать, что он единственный;** коммутативность — $<tex>\forall x, y \in L: x + y = y + x$</tex>;

** ассоциативность умножения на скаляр — $<tex>\forall \alpha, \beta \in K \ \forall x \in L: (\alpha \beta) x = \alpha (\beta x)$</tex>;** унитарность: $<tex>\forall x \in L: 1 \cdot x = x$</tex>, где $<tex>1$ </tex> — единица по умножению в поле $<tex>K$</tex>;** дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов — $<tex>\forall \alpha \in K \ \forall x, y \in L: \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y$</tex>;** дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров — $<tex>\forall \alpha, \beta \in K \ \forall x \in L: (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$</tex>.

Функция $<tex>\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}$ </tex> называется нормой в пространстве $<tex>L$</tex>, если для нее выполняется:# $<tex>\forall x \in L: \| x \| \ge 0$</tex>, $<tex>\| x \| = 0 \Leftrightarrow iff x = \mathrm{0}$</tex># $<tex>\forall \alpha \in \mathbb{R} \ \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|$</tex># $<tex>\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|$</tex>

Заметим, что любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, задав метрику как $<tex>\rho(x, y) = \| x - y \|$</tex>. Заметим, что обратное неверно: например, хоть и $<tex>\mathbb{R}^{\infty}$ </tex> c $<tex>\rho(x, y) = \sum 2^{-k} \frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}$ </tex> и можно наделить линейной структурой, не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой. {{Утверждение|statement=В нормированных пространствах линейные операции непрерывны.|proof=Пусть <tex> x_n \to x , y_n \to y, \alpha_n \to \alpha</tex>. Тогда <tex> x_n + y_n \to x + y </tex>, так как <tex> \|(x_n + y_n) - (x + y)\| \le \|x_n - x\| + \|y_n - y\| \to 0</tex>.

Смысл нормы в ЛП состоит в том<tex> \alpha_n x_n \to \alpha x </tex>, чтобы линейные операции относительно нормы стали непрерывными: TODO чтотак как <tex> \|\alpha_n x_n -то не особенно понял, к чему тут это\alpha x\| = \|\alpha(x_n - x) + (\alpha_n - \alpha) x_n\| \le |\alpha| \|x_n - x\| + |\alpha_n - \alpha| \|x_n\| \to 0</tex>.}}

* $<tex>X = \mathbb{R}^n, \| \overline x \| = \sqrt {\sum_sum\limits_{k = 1}^{n} x_k^2}$</tex>* $<tex>X = C[a; b]$ </tex> — пространство непрерывных на $<tex>[a; b]$ </tex> функций, $<tex>\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|$</tex>* $<tex>X = L_p$ </tex> — пространство функций, интегрируемых на множестве <tex> E </tex> с <tex> p </tex> степенью ,$<tex>\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}$</tex>. В таком пространстве отождествленны функции, различающиеся на множестве меры ноль, иначе, например, интеграл функции, почти везде равной нулю, будет нулевым, хотя сама функция ненулевая, что нарушит первую аксиому нормы.* <tex>X = \ell_p</tex> — пространство числовых последовательностей, суммируемых с <tex>p</tex>-й степенью, норму можно ввести как <tex>\|x\|_p = { \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right) }^{1 \over p}</tex>

Нормированное пространство $<tex>(X, \|\cdot\|)$ </tex> называется '''B-пространством (Банаховым)''', если для любой последовательности элементов $<tex>X$</tex>, для которых из $<tex>\|x_n - x_m\| \to 0$ </tex> при $<tex>n, m \to \infty$ </tex> вытекает существование предела последовательности.

Нормы $<tex>\| \cdot \|_1$</tex>, $<tex>\| \cdot \|_2$ </tex> '''эквивалентны''', если сходимость в них равносильна: <tex>\forall \{x_n\}: x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \iff x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x</tex>.}}Очевидно, что отношение эквивалентности норм является отношением эквивалентности (то есть, выполняются рефлексивность, симметричность и транзитивность). {{Утверждение|statement=Нормы <tex>\|\cdot \|_1</tex>, <tex>\|\cdot \|_2</tex> эквивалентны <tex> \iff </tex> существуют константы $<tex>m, M > 0$ </tex> такие, что $<tex>\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2$</tex>. Очевидно|proof= Несложно показать, что отношение эквивалентности из взаимной ограниченности норм является отношением эквивалентности (следует равносходимость: <tex> x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \implies \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_1 < \varepsilon \implies </tex> <tex> \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_2 < \frac \varepsilon m \implies x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x</tex>; <tex> x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x \implies \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_2 < \varepsilon \implies </tex> <tex> \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_1 < M \varepsilon \implies x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x</tex>. Теперь убедимся, что без взаимной ограниченности равносходимости также не будет: Так как ее нет, то не существует, например, необходимой константы <tex> M </tex>. Значит, существует последовательность <tex> x_n: \|x_n\|_1 > n \|x_n\|_2 </tex>. Рассмотрим тогда последовательность <tex> \frac {x_n}{\|x_n\|_1} </tex>. В норме <tex> \|\cdot\|_2 </tex> она будет сходиться к нулю: <tex> \| \frac {x_n}{\|x_n\|_1} \|_2 < \|\frac {x_n}{n\|x_n\|_2}\|_2 = \frac1n \frac{\|x_n\|_2}{\|x_n\|_2} = \frac1n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>. Но в <tex> \|\cdot\|_1 </tex> каждый элемент имеет норму <tex> \| \frac {x_n}{\|x_n\|_1} \|_1 = \frac {\|x_n\|_1}{\|x_n\|_1} = 1 \ne \|0\|_1</tex>, то есть выполняется рефлексивность, симметриченость последовательность <tex> x_n </tex> к нулю в этой норме не сходится, что и транзитивность)требовалось доказать.

Это определение равносильно тому{{Определение|definition=Пространство <tex> X </tex> '''конечномерно''', что сходимость последовательностей в них равносильна: $x_n если <tex> \xrightarrow[]{exists n = dim X < \|infty: \|_1} x exists e_1, e_2, \Leftrightarrow x_n ldots, e_n: X = \xrightarrow[]{\|mathcal L(e_1, \|_2} x$. Несложно показатьldots, что из взаимной ограниченности норм следует равносходимость. В обратную сторону: ???e_n)</tex>.}}

Докажем, что произвольная норма $<tex>\| \|$ </tex> в конечномерном пространстве $<tex>X$ </tex> эквивалентна $<tex>\| \|_2$</tex>, то есть выберем $<tex>m, M >0: \forall x \in X: m \|x\|_2 \le \|x\| \le M \|x\|_2$</tex>, далее по отношению эквивалентности получим эквивалентность произвольной норме. Выберем и зафиксируем в пространстве <tex>X</tex> произвольный базис <tex>(e_1 \dots e_n)</tex>. 1. <tex>x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k</tex>, <tex>\| x \| \le \sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k| \| e_k \| \le </tex> (по [[Неравенства Гёльдера, Минковского#Теорема Минковского|неравенству Коши для сумм]]) <tex> \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2} \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}</tex>. Заметим, что <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2}</tex> является нормой <tex>\| \|_2</tex> в координатной записи, а <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}</tex> является константным значением для фиксированного базиса. Таким образом, получили <tex>\forall x \in X: \|x\| \le M \|x\|_2</tex>. 2. Теперь надо доказать, что <tex>\exists m \forall x: m \|x\|_2 \le \|x\|</tex>

TODOРассмотрим единичный шар по норме <tex>\| \|_2</tex>: <tex>S_2 = \{ \overline \alpha \mid \| \overline \alpha \|_2 = 1 \}</tex>, <tex>S_2</tex> является компактом в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, воспользуемся [[Теорема_Хаусдорфа_об_ε-сетях | теоремой Хаусдорфа]] и покажем:* замкнутость: возьмем последовательность, пусть она сходится не к элементу единичной сферы, тогда с какого-то члена элементы последовательности тоже окажутся с нормой, не равной 1.* вполне ограниченность: сначала надо чтопусть нам дали какой-то сказать про изоморфность конечномерных пространств<tex>\varepsilon</tex>, чтоли? Выберем заметим что норма <tex>\|\|_2</tex> — самое обычная длина вектора, возьмем и зафиксируем сделаем в пространстве $X$ произвольный базис $(e_1 параллелепипеде <tex>[0; 1]^n</tex> n-мерную сетку с шагом <tex>\dots e_n)$.frac{\varepsilon}{\sqrt n}</tex>, которая и будет центрами шаров радиусом эпсилон, тогда любая точка в параллелепипеде точно будет покрыта каким-то шаром

1. $x = Рассмотрим на нем функцию <tex>f : S_2 \sumto \limits_mathbb{k=1R}^n \alpha_k e_k$</tex>, $\| <tex>f(x \| ) = \sum\limits_{k=1}^n |x\alpha_k| \| e_k \| \le $ (по [[неравенству Коши для сумм]]) $ \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2} \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n alpha_i e_i \| e_k \|^2}$</tex>. ЗаметимПокажем, что $\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2}$ является нормой $\| \|_2$ в координатной записи, а $\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}$ является константным значением для фиксированного базисаона непрерывна.

Таким образомПокажем, получили $что <tex>|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \forall x alpha_k | \in X: | e_k \|x</tex>. Раскроем двумя способами модуль.* <tex> \|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|\ge0 </tex> <tex>\implies </tex> <tex>\|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\| \le M \|x\alpha\| + \|_2$.\Delta\alpha\|-\|\alpha\| = \|\Delta\alpha\|</tex>* <tex> \|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|<0 </tex> <tex>\implies </tex> <tex>\|\alpha\|-\|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex>= \|\alpha+\Delta\alpha-\Delta\alpha\| - \|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex>\le \|\alpha+\Delta\alpha\| + \|\Delta\alpha\| - \|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex> = \|\Delta\alpha\|</tex>

2. Теперь надо доказатьПо свойствам нормы, что $<tex>\exists m |\forall x: m Delta\alpha\|x= \|\sum \Delta\alpha_k e_k\|_2 \le \sum \|\Delta\alpha_ke_k\| = \sum |\Delta\alpha_k| \|xe_k\|$</tex>

Рассмотрим единичный шар по норме $\| \|_2$: $S_2 = \{ \overline \alpha \mid \| \overline \alpha \|_2 = 1 \}$, $S_2$ является компактом в $\mathbb{R}^n$ (TODO: почему? может, [http://calvino.polito.it/~terzafac/Corsi/functional_analysis/pdf/chap3.pdf тут] есть подсказка). Рассмотрим на нем функцию $f : S_2 \to \mathbb{R}$, $f(x) = \|x\| = \| \sum \alpha_i e_i \|$. Покажем, что она непрерывна: $<tex>|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \| \le M \sqrt{\sum (\Delta \alpha_k )^2}$</tex>, то есть при стремлении $<tex>\Delta \alpha_k $ </tex> к $<tex>0$</tex>, расстояние между $<tex>f(\overline \alpha)$ </tex> и $<tex>f(\overline \alpha + \Delta \overline \alpha)$ </tex> также стремится к нулю, что означает непрерывность.

Так как $<tex>f$ </tex> непрерывна на $<tex>S_2$</tex>, то по [[Предел_отображения_в_метрическом_пространстве#Равномерно непрерывные отображения|теореме Вейерштрасса]] она принимает минимум на этом компакте, равный $<tex>m$ </tex> (пусть он достигается в точке $<tex>\overline \alpha^*$</tex>). Также $<tex>f$ </tex> не может быть нулем на $<tex>S_2$</tex>: пусть для какого-то $<tex>x \in S_2$ </tex> это так, тогда тогда $<tex>\|x\| = 0 \Rightarrow implies \| \sum \alpha_k e_k \| = 0 \Rightarrow implies \alpha_k e_k = 0 \Rightarrow implies \forall k: \alpha_k = 0 \Rightarrow implies \|x\|_2 = 0$</tex>, что означает, что $<tex>x \notin S_2$</tex>, то есть $<tex>m > 0$</tex>.

Теперь рассмотрим произвольный ненулевой $<tex>x \in \mathbb{R}^n$</tex>, тогда точка $<tex>x' = {x \over \|x\|_2}$ </tex> также принадлежит $<tex>\mathbb{R}^n$ </tex> по линейности пространства, и в частности, принадлежит $<tex>S_2$</tex>. Рассмотрим $<tex>x'$</tex>: $ <tex> f(x') = \|x'\| = \| {x \over {\| x \|_2}} \| = {{\| x \|} \over {\| x \|_2}} \ge m$</tex>, то есть $<tex>m \| x \|_2 \le \|x\|$</tex>.

Таким образом, получили обе части тройного двойного неравенства.

Следствие: Пусть $X$ — НП и $Y$ — линейное конечномерное подпространство {{Определение|definition=Подпространство в $X$, тогда $Y$ — алгебраическом смысле не обязательно замкнуто в $X$исходном пространстве. Поэтому в функциональном анализе собственно '''подпространством''' называется именно ''замкнутое'' подпространство, та ''алгебраические'' подпространства называют '''линейными подмножествами'''.е. $Y$ — TODO: пшшш Пример: $ X = C[0; 1]$, $Y$ — пространство всех полиномов TODO: полиновов какой степени? }}

TODO: Пусть <tex>X</tex> — НП и <tex>Y</tex> — линейное конечномерное подмножество в конспекте мутно<tex>X</tex>, но, видимо, для любой функции $f$ тогда <tex>Y</tex> — замкнуто в $C[0; 1]$ можно подобрать последовательность полиномов<tex>X</tex>, равномерно сходящуюся к $f$ на $[0; 1]$т.е.<tex>\mathrm{Cl} Y = Y</tex>.

Пусть для произвольного <tex>y \in X</tex>, <tex>y_m \in Y, y_m \to y, Y = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n), \|\cdot\|</tex> --- исходная норма. Пусть <tex>\|\cdot\|_2 = \max\{|\alpha_1|, \ldots, |\alpha_n|\}</tex>. По теореме Рисса, нормы <tex>\|\cdot\|</tex> и <tex>\|\cdot\|_2</tex> в <tex>Y</tex> эквивалентны; в <tex>\|\cdot\|_2</tex>, очевидно, есть покоординатная сходимость. <tex>\|y_m - y\| \to 0 \implies \|y_m - y\|_2 \to 0</tex>; так как <tex> y_m </tex> сходится, то <tex> y_m </tex> сходится в себе по <tex> \|\cdot\|_2 </tex>. Вследствие покоординатной сходимости, <tex>\forall k = 1, \ldots, n: \alpha_k^{(p)} - \alpha_k^{(m)} \to 0</tex>. По полноте вещественной оси, все <tex>n</tex> последовательностей сходятся: <tex>\forall k = 1, \ldots, n: \alpha_k^{(p)} \to \alpha_k^*</tex>. Возьмем <tex> y^* = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k^* e_k </tex>. По единственности предела, <tex> y^* = y </tex>. Значит, <tex>y = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k^* e_k</tex>, <tex>y \in Y</tex> и <tex>Y = \mathrm{Cl} Y</tex>.}} Пример: <tex> X = C[0; 1]</tex>, <tex>Y</tex> — пространство всех полиномов степени не выше <tex> n </tex>. Очевидно, <tex> Y </tex> конечномерно, и, по только что доказанной теореме, замкнуто. Значит, если рассмотреть произвольную сходящуюся последовательность полиномов из <tex> Y </tex>, то ее пределом будет также полином из <tex> Y </tex>. Этот факт, тривиальный с точки зрения функционального анализа, классическими методами математического анализа получается очень непросто. Однако, если степень полиномов в <tex>Y</tex> не ограничивать, то замыканием <tex>Y</tex> будет все пространство <tex>X</tex>, по [[Приближение_непрерывной_функции_полиномами_на_отрезке| теореме Вейерштрасса]], любую непрерывную на отрезке функцию можно приблизить полиномами.}}Ссылочки:== Ссылки ==