Нормированные пространства (3 курс) — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(еще не все)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показана 21 промежуточная версия 11 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
 
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id=defvs
 
|id=defvs
Строка 21: Строка 19:
 
|definition=
 
|definition=
 
Функция <tex>\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}</tex> называется нормой в пространстве <tex>L</tex>, если для нее выполняется:
 
Функция <tex>\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}</tex> называется нормой в пространстве <tex>L</tex>, если для нее выполняется:
# <tex>\forall x \in L: \| x \| \ge 0</tex>, <tex>\| x \| = 0 \Leftrightarrow x = \mathrm{0}</tex>
+
# <tex>\forall x \in L: \| x \| \ge 0</tex>, <tex>\| x \| = 0 \iff x = \mathrm{0}</tex>
 
# <tex>\forall \alpha \in \mathbb{R}\ \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|</tex>
 
# <tex>\forall \alpha \in \mathbb{R}\ \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|</tex>
 
# <tex>\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|</tex>
 
# <tex>\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|</tex>
Строка 35: Строка 33:
 
Пусть <tex> x_n \to x , y_n \to y, \alpha_n \to \alpha</tex>.
 
Пусть <tex> x_n \to x , y_n \to y, \alpha_n \to \alpha</tex>.
  
Тогда <tex> x_n + y_n \to x + y </tex>, так как <tex> \|(x_n + y_n) - (x + y)\| \le \|x_n + x\| + \|y_n + y\| \to 0</tex>.
+
Тогда <tex> x_n + y_n \to x + y </tex>, так как <tex> \|(x_n + y_n) - (x + y)\| \le \|x_n - x\| + \|y_n - y\| \to 0</tex>.
  
 
<tex> \alpha_n x_n \to \alpha x </tex>, так как <tex> \|\alpha_n x_n - \alpha x\| = \|\alpha(x_n - x) + (\alpha_n - \alpha) x_n\| \le |\alpha| \|x_n - x\| + |\alpha_n - \alpha| \|x_n\| \to 0</tex>.
 
<tex> \alpha_n x_n \to \alpha x </tex>, так как <tex> \|\alpha_n x_n - \alpha x\| = \|\alpha(x_n - x) + (\alpha_n - \alpha) x_n\| \le |\alpha| \|x_n - x\| + |\alpha_n - \alpha| \|x_n\| \to 0</tex>.
Строка 41: Строка 39:
  
 
Примеры НП:
 
Примеры НП:
* <tex>X = \mathbb{R}^n, \| \overline x  \| = \sqrt {\sum_{k = 1}^{n} x_k^2}</tex>
+
* <tex>X = \mathbb{R}^n, \| \overline x  \| = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^{n} x_k^2}</tex>
 
* <tex>X = C[a; b]</tex> — пространство непрерывных на <tex>[a; b]</tex> функций, <tex>\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|</tex>
 
* <tex>X = C[a; b]</tex> — пространство непрерывных на <tex>[a; b]</tex> функций, <tex>\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|</tex>
 
* <tex>X = L_p</tex> — пространство функций, интегрируемых на множестве <tex> E </tex> с <tex> p </tex> степенью ,<tex>\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}</tex>. В таком пространстве отождествленны функции, различающиеся на множестве меры ноль, иначе, например, интеграл функции, почти везде равной нулю, будет нулевым, хотя сама функция ненулевая, что нарушит первую аксиому нормы.
 
* <tex>X = L_p</tex> — пространство функций, интегрируемых на множестве <tex> E </tex> с <tex> p </tex> степенью ,<tex>\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}</tex>. В таком пространстве отождествленны функции, различающиеся на множестве меры ноль, иначе, например, интеграл функции, почти везде равной нулю, будет нулевым, хотя сама функция ненулевая, что нарушит первую аксиому нормы.
 +
* <tex>X = \ell_p</tex> — пространство числовых последовательностей, суммируемых с <tex>p</tex>-й степенью, норму можно ввести как <tex>\|x\|_p = { \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right) }^{1 \over p}</tex>
  
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 52: Строка 51:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Нормы <tex>\| \|_1</tex>, <tex>\| \|_2</tex> '''эквивалентны''', если существуют константы <tex>m, M > 0</tex> такие, что <tex>\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2</tex>. Очевидно, что отношение эквивалентности норм является отношением эквивалентности (то есть выполняется рефлексивность, симметриченость и транзитивность).
+
Нормы <tex>\|\cdot \|_1</tex>, <tex>\|\cdot \|_2</tex> '''эквивалентны''', если сходимость в них равносильна: <tex>\forall \{x_n\}: x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \iff x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x</tex>.
 
}}
 
}}
 +
Очевидно, что отношение эквивалентности норм является отношением эквивалентности (то есть, выполняются рефлексивность, симметричность и транзитивность).
 +
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
Нормы <tex>\|\cdot \|_1</tex>, <tex>\|\cdot \|_2</tex> эквивалентны <tex> \iff </tex> существуют константы <tex>m, M > 0</tex> такие, что <tex>\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2</tex>.
 +
|proof=
 +
 +
Несложно показать, что из взаимной ограниченности норм следует равносходимость:
 +
 +
<tex> x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \implies \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_1 < \varepsilon \implies </tex> <tex> \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_2 < \frac \varepsilon m \implies x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x</tex>;
  
Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: <tex>x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x</tex>. Несложно показать, что из взаимной ограниченности норм следует равносходимость. В обратную сторону: ???.
+
<tex> x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x \implies \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_2 < \varepsilon \implies </tex> <tex> \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n > N: \|x_n - x\|_1 < M \varepsilon \implies x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x</tex>.
 +
 
 +
Теперь убедимся, что без взаимной ограниченности равносходимости также не будет:
 +
 
 +
Так как ее нет, то не существует, например, необходимой константы <tex> M </tex>. Значит, существует последовательность <tex> x_n: \|x_n\|_1 > n \|x_n\|_2 </tex>.
 +
 
 +
Рассмотрим тогда последовательность <tex> \frac {x_n}{\|x_n\|_1} </tex>.
 +
 
 +
В норме <tex> \|\cdot\|_2 </tex> она будет сходиться к нулю: <tex> \| \frac {x_n}{\|x_n\|_1} \|_2 < \|\frac {x_n}{n\|x_n\|_2}\|_2 = \frac1n \frac{\|x_n\|_2}{\|x_n\|_2} = \frac1n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>.
 +
 
 +
Но в <tex> \|\cdot\|_1 </tex> каждый элемент имеет норму <tex> \| \frac {x_n}{\|x_n\|_1} \|_1 = \frac {\|x_n\|_1}{\|x_n\|_1} = 1 \ne \|0\|_1</tex>, то есть, последовательность <tex> x_n </tex> к нулю в этой норме не сходится, что и требовалось доказать.
 +
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 64: Строка 84:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|author=Рисс
 
|author=Рисс
 +
|id=riesz
 
|statement=
 
|statement=
 
В конечномерных пространствах любые две нормы эквивалентны.
 
В конечномерных пространствах любые две нормы эквивалентны.
Строка 71: Строка 92:
 
Выберем и зафиксируем в пространстве <tex>X</tex> произвольный базис <tex>(e_1 \dots e_n)</tex>.
 
Выберем и зафиксируем в пространстве <tex>X</tex> произвольный базис <tex>(e_1 \dots e_n)</tex>.
  
1. <tex>x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k</tex>, <tex>\| x \| = \sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k| \| e_k \| \le </tex> (по [[неравенству Коши для сумм]]) <tex> \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2} \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}</tex>. Заметим, что <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2}</tex> является нормой <tex>\| \|_2</tex> в координатной записи, а <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}</tex> является константным значением для фиксированного базиса.
+
1. <tex>x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k</tex>, <tex>\| x \| \le \sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k| \| e_k \| \le </tex> (по [[Неравенства Гёльдера, Минковского#Теорема Минковского|неравенству Коши для сумм]]) <tex> \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2} \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}</tex>. Заметим, что <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2}</tex> является нормой <tex>\| \|_2</tex> в координатной записи, а <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}</tex> является константным значением для фиксированного базиса.
  
 
Таким образом, получили <tex>\forall x \in X: \|x\| \le M \|x\|_2</tex>.
 
Таким образом, получили <tex>\forall x \in X: \|x\| \le M \|x\|_2</tex>.
Строка 77: Строка 98:
 
2. Теперь надо доказать, что <tex>\exists m \forall x: m \|x\|_2 \le \|x\|</tex>
 
2. Теперь надо доказать, что <tex>\exists m \forall x: m \|x\|_2 \le \|x\|</tex>
  
Рассмотрим единичный шар по норме <tex>\| \|_2</tex>: <tex>S_2 = \{ \overline \alpha \mid \| \overline \alpha \|_2 = 1 \}</tex>, <tex>S_2</tex> является компактом в <tex>\mathbb{R}^n</tex> (TODO: почему? может, [http://calvino.polito.it/~terzafac/Corsi/functional_analysis/pdf/chap3.pdf тут] есть подсказка).
+
Рассмотрим единичный шар по норме <tex>\| \|_2</tex>: <tex>S_2 = \{ \overline \alpha \mid \| \overline \alpha \|_2 = 1 \}</tex>, <tex>S_2</tex> является компактом в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, воспользуемся [[Теорема_Хаусдорфа_об_ε-сетях | теоремой Хаусдорфа]] и покажем:
Рассмотрим на нем функцию <tex>f : S_2 \to \mathbb{R}</tex>, <tex>f(x) = \|x\| = \| \sum \alpha_i e_i \|</tex>. Покажем, что она непрерывна: <tex>|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \| \le M  \sqrt{\sum (\Delta \alpha_k )^2}</tex>, то есть при стремлении <tex>\Delta \alpha_k </tex> к <tex>0</tex>, расстояние между <tex>f(\overline \alpha)</tex> и <tex>f(\overline \alpha + \Delta \overline \alpha)</tex> также стремится к нулю, что означает непрерывность.
+
* замкнутость: возьмем последовательность, пусть она сходится не к элементу единичной сферы, тогда с какого-то члена элементы последовательности тоже окажутся с нормой, не равной 1.
 +
* вполне ограниченность: пусть нам дали какой-то <tex>\varepsilon</tex>, заметим что норма <tex>\|\|_2</tex> — самое обычная длина вектора, возьмем и сделаем в параллелепипеде <tex>[0; 1]^n</tex> n-мерную сетку с шагом <tex>\frac{\varepsilon}{\sqrt n}</tex>, которая и будет центрами шаров радиусом эпсилон, тогда любая точка в параллелепипеде точно будет покрыта каким-то шаром
 +
 
 +
Рассмотрим на нем функцию <tex>f : S_2 \to \mathbb{R}</tex>, <tex>f(x) = \|x\| = \| \sum \alpha_i e_i \|</tex>. Покажем, что она непрерывна.
 +
 
 +
Покажем, что <tex>|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \|</tex>. Раскроем двумя способами модуль.
 +
* <tex> \|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|\ge0 </tex> <tex>\implies </tex> <tex>\|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|\le\|\alpha\| + \|\Delta\alpha\|-\|\alpha\| = \|\Delta\alpha\|</tex>
 +
* <tex> \|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|<0 </tex> <tex>\implies </tex> <tex>\|\alpha\|-\|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex>= \|\alpha+\Delta\alpha-\Delta\alpha\| - \|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex>\le \|\alpha+\Delta\alpha\| + \|\Delta\alpha\| - \|\alpha+\Delta\alpha\|</tex><tex> = \|\Delta\alpha\|</tex>
 +
 
 +
По свойствам нормы, <tex>\|\Delta\alpha\| = \|\sum \Delta\alpha_k e_k\| \le \sum \|\Delta\alpha_ke_k\| = \sum |\Delta\alpha_k| \|e_k\|</tex>
 +
 
 +
<tex>|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \| \le M  \sqrt{\sum (\Delta \alpha_k )^2}</tex>, то есть при стремлении <tex>\Delta \alpha_k </tex> к <tex>0</tex>, расстояние между <tex>f(\overline \alpha)</tex> и <tex>f(\overline \alpha + \Delta \overline \alpha)</tex> также стремится к нулю, что означает непрерывность.
  
Так как <tex>f</tex> непрерывна на <tex>S_2</tex>, то по [[Предел_отображения_в_метрическом_пространстве#Равномерно непрерывные отображения|теореме Вейерштрасса]] она принимает минимум на этом компакте, равный <tex>m</tex> (пусть он достигается в точке <tex>\overline \alpha^*</tex>). Также <tex>f</tex> не может быть нулем на <tex>S_2</tex>: пусть для какого-то <tex>x \in S_2</tex> это так, тогда тогда <tex>\|x\| = 0 \Rightarrow \| \sum \alpha_k e_k \| = 0 \Rightarrow \alpha_k e_k = 0 \Rightarrow \forall k: \alpha_k = 0 \Rightarrow \|x\|_2 = 0</tex>, что означает, что <tex>x \notin S_2</tex>, то есть <tex>m > 0</tex>.
+
Так как <tex>f</tex> непрерывна на <tex>S_2</tex>, то по [[Предел_отображения_в_метрическом_пространстве#Равномерно непрерывные отображения|теореме Вейерштрасса]] она принимает минимум на этом компакте, равный <tex>m</tex> (пусть он достигается в точке <tex>\overline \alpha^*</tex>). Также <tex>f</tex> не может быть нулем на <tex>S_2</tex>: пусть для какого-то <tex>x \in S_2</tex> это так, тогда <tex>\|x\| = 0 \implies \| \sum \alpha_k e_k \| = 0 \implies \alpha_k e_k = 0 \implies \forall k: \alpha_k = 0 \implies \|x\|_2 = 0</tex>, что означает, что <tex>x \notin S_2</tex>, то есть <tex>m > 0</tex>.
  
 
Теперь рассмотрим произвольный ненулевой <tex>x \in \mathbb{R}^n</tex>, тогда точка <tex>x' = {x \over \|x\|_2}</tex> также принадлежит <tex>\mathbb{R}^n</tex> по линейности пространства, и в частности, принадлежит <tex>S_2</tex>. Рассмотрим <tex>x'</tex>: <tex> f(x') = \|x'\| = \| {x \over {\| x \|_2}} \| = {{\| x \|} \over {\| x \|_2}} \ge m</tex>, то есть <tex>m \| x \|_2 \le \|x\|</tex>.
 
Теперь рассмотрим произвольный ненулевой <tex>x \in \mathbb{R}^n</tex>, тогда точка <tex>x' = {x \over \|x\|_2}</tex> также принадлежит <tex>\mathbb{R}^n</tex> по линейности пространства, и в частности, принадлежит <tex>S_2</tex>. Рассмотрим <tex>x'</tex>: <tex> f(x') = \|x'\| = \| {x \over {\| x \|_2}} \| = {{\| x \|} \over {\| x \|_2}} \ge m</tex>, то есть <tex>m \| x \|_2 \le \|x\|</tex>.
  
 
Таким образом, получили обе части двойного неравенства.
 
Таким образом, получили обе части двойного неравенства.
 +
}}
 +
 +
{{Определение
 +
|definition=Подпространство в алгебраическом смысле не обязательно замкнуто в исходном пространстве. Поэтому в функциональном анализе собственно '''подпространством''' называется именно ''замкнутое'' подпространство, а ''алгебраические'' подпространства называют '''линейными подмножествами'''.
 
}}
 
}}
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>X</tex> — НП и <tex>Y</tex> — линейное конечномерное подпространство в <tex>X</tex>, тогда <tex>Y</tex> — замкнуто в <tex>X</tex>, т.е.
+
Пусть <tex>X</tex> — НП и <tex>Y</tex> — линейное конечномерное подмножество в <tex>X</tex>, тогда <tex>Y</tex> — замкнуто в <tex>X</tex>, т.е.
 
<tex>\mathrm{Cl} Y = Y</tex>.
 
<tex>\mathrm{Cl} Y = Y</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
}}
+
Пусть для произвольного <tex>y \in X</tex>, <tex>y_m \in Y, y_m \to y, Y = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n), \|\cdot\|</tex> --- исходная норма.
 +
 
 +
Пусть <tex>\|\cdot\|_2 = \max\{|\alpha_1|, \ldots, |\alpha_n|\}</tex>.
 +
 
 +
По теореме Рисса, нормы <tex>\|\cdot\|</tex> и <tex>\|\cdot\|_2</tex> в <tex>Y</tex> эквивалентны; в <tex>\|\cdot\|_2</tex>, очевидно, есть покоординатная сходимость.
 +
 
 +
<tex>\|y_m - y\| \to 0 \implies \|y_m - y\|_2 \to 0</tex>; так как <tex> y_m </tex> сходится, то <tex> y_m </tex> сходится в себе по <tex> \|\cdot\|_2 </tex>.
 +
 
 +
Вследствие покоординатной сходимости, <tex>\forall k = 1, \ldots, n: \alpha_k^{(p)} - \alpha_k^{(m)} \to 0</tex>.
 +
 
 +
По полноте вещественной оси, все <tex>n</tex> последовательностей сходятся: <tex>\forall k = 1, \ldots, n: \alpha_k^{(p)} \to \alpha_k^*</tex>.
 +
 
 +
Возьмем <tex> y^* = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k^* e_k </tex>. По единственности предела, <tex> y^* = y </tex>.
  
Пример: <tex> X = C[0; 1]</tex>, <tex>Y</tex> — пространство всех полиномов {{TODO|t=дописать утверждение}}
+
Значит, <tex>y = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k^* e_k</tex>, <tex>y \in Y</tex> и <tex>Y = \mathrm{Cl} Y</tex>.}}
  
{{Теорема
+
Пример: <tex> X = C[0; 1]</tex>, <tex>Y</tex> — пространство всех полиномов степени не выше <tex> n </tex>. Очевидно, <tex> Y </tex> конечномерно, и, по только что доказанной теореме, замкнуто. Значит, если рассмотреть произвольную сходящуюся последовательность полиномов из <tex> Y </tex>, то ее пределом будет также полином из <tex> Y </tex>. Этот факт, тривиальный с точки зрения функционального анализа, классическими методами математического анализа получается очень непросто. Однако, если степень полиномов в <tex>Y</tex> не ограничивать, то замыканием <tex>Y</tex> будет все пространство <tex>X</tex>, по [[Приближение_непрерывной_функции_полиномами_на_отрезке | теореме Вейерштрасса]], любую непрерывную на отрезке функцию можно приблизить полиномами.
|author=Вейерштрасс
 
|about=аппроксимационная теорема Вейерштрасса (Стоуна-Вейерштрасса)
 
|proof=
 
{{TODO|t=Непонятно, что она тут делает. Может быть, можно как-то воспользоваться следствием и очень просто доказать ее, но в моем конспекте она вообще не упомянута.}}
 
}}
 
  
 
== Ссылки ==
 
== Ссылки ==

Текущая версия на 19:10, 4 сентября 2022

Определение:
Линейное (векторное) пространство над полем [math]K[/math] — это множество [math]L[/math] с заданными на нем операциями сложениями и умножения на скаляр такими, что:
  • По операции сложения [math]L[/math] является абелевой группой — выполняются:
    • ассоциативность — [math]\forall x, y, z \in L: (x + y) + z = x + (y + z)[/math];
    • существование нейтрального элемента — [math]\exists \mathrm{0} \in L\ \forall x \in L: x + \mathrm{0} = \mathrm{0} + x = x[/math], причем можно показать, что он единственный;
    • существование обратного элемента — [math]\forall x \in L\ \exists y: x + y = \mathrm{0}[/math], такой [math]y[/math] называют обратным к [math]x[/math], причем можно показать, что он единственный;
    • коммутативность — [math]\forall x, y \in L: x + y = y + x[/math];
  • Для операции умножения на скаляр:
    • ассоциативность умножения на скаляр — [math]\forall \alpha, \beta \in K\ \forall x \in L: (\alpha \beta) x = \alpha (\beta x)[/math];
    • унитарность: [math]\forall x \in L: 1 \cdot x = x[/math], где [math]1[/math] — единица по умножению в поле [math]K[/math];
    • дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов — [math]\forall \alpha \in K\ \forall x, y \in L: \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y[/math];
    • дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров — [math]\forall \alpha, \beta \in K\ \forall x \in L: (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x[/math].


Определение:
Функция [math]\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}[/math] называется нормой в пространстве [math]L[/math], если для нее выполняется:
  1. [math]\forall x \in L: \| x \| \ge 0[/math], [math]\| x \| = 0 \iff x = \mathrm{0}[/math]
  2. [math]\forall \alpha \in \mathbb{R}\ \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|[/math]
  3. [math]\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|[/math]
Пространство с введенной на нем нормой называют нормированным пространством.


Заметим, что любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, задав метрику как [math]\rho(x, y) = \| x - y \|[/math]. Заметим, что обратное неверно: например, хоть [math]\mathbb{R}^{\infty}[/math] c [math]\rho(x, y) = \sum 2^{-k} \frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}[/math] и можно наделить линейной структурой, не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой.

Утверждение:
В нормированных пространствах линейные операции непрерывны.
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] x_n \to x , y_n \to y, \alpha_n \to \alpha[/math].

Тогда [math] x_n + y_n \to x + y [/math], так как [math] \|(x_n + y_n) - (x + y)\| \le \|x_n - x\| + \|y_n - y\| \to 0[/math].

[math] \alpha_n x_n \to \alpha x [/math], так как [math] \|\alpha_n x_n - \alpha x\| = \|\alpha(x_n - x) + (\alpha_n - \alpha) x_n\| \le |\alpha| \|x_n - x\| + |\alpha_n - \alpha| \|x_n\| \to 0[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Примеры НП:

  • [math]X = \mathbb{R}^n, \| \overline x \| = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^{n} x_k^2}[/math]
  • [math]X = C[a; b][/math] — пространство непрерывных на [math][a; b][/math] функций, [math]\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|[/math]
  • [math]X = L_p[/math] — пространство функций, интегрируемых на множестве [math] E [/math] с [math] p [/math] степенью ,[math]\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}[/math]. В таком пространстве отождествленны функции, различающиеся на множестве меры ноль, иначе, например, интеграл функции, почти везде равной нулю, будет нулевым, хотя сама функция ненулевая, что нарушит первую аксиому нормы.
  • [math]X = \ell_p[/math] — пространство числовых последовательностей, суммируемых с [math]p[/math]-й степенью, норму можно ввести как [math]\|x\|_p = { \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right) }^{1 \over p}[/math]


Определение:
Нормированное пространство [math](X, \|\cdot\|)[/math] называется B-пространством (Банаховым), если для любой последовательности элементов [math]X[/math], для которых из [math]\|x_n - x_m\| \to 0[/math] при [math]n, m \to \infty[/math] вытекает существование предела последовательности.


Определение:
Нормы [math]\|\cdot \|_1[/math], [math]\|\cdot \|_2[/math] эквивалентны, если сходимость в них равносильна: [math]\forall \{x_n\}: x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \iff x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x[/math].

Очевидно, что отношение эквивалентности норм является отношением эквивалентности (то есть, выполняются рефлексивность, симметричность и транзитивность).

Утверждение:
Нормы [math]\|\cdot \|_1[/math], [math]\|\cdot \|_2[/math] эквивалентны [math] \iff [/math] существуют константы [math]m, M \gt 0[/math] такие, что [math]\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2[/math].
[math]\triangleright[/math]

Несложно показать, что из взаимной ограниченности норм следует равносходимость:

[math] x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \implies \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n \gt N: \|x_n - x\|_1 \lt \varepsilon \implies [/math] [math] \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n \gt N: \|x_n - x\|_2 \lt \frac \varepsilon m \implies x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x[/math];

[math] x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x \implies \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n \gt N: \|x_n - x\|_2 \lt \varepsilon \implies [/math] [math] \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n \gt N: \|x_n - x\|_1 \lt M \varepsilon \implies x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x[/math].

Теперь убедимся, что без взаимной ограниченности равносходимости также не будет:

Так как ее нет, то не существует, например, необходимой константы [math] M [/math]. Значит, существует последовательность [math] x_n: \|x_n\|_1 \gt n \|x_n\|_2 [/math].

Рассмотрим тогда последовательность [math] \frac {x_n}{\|x_n\|_1} [/math].

В норме [math] \|\cdot\|_2 [/math] она будет сходиться к нулю: [math] \| \frac {x_n}{\|x_n\|_1} \|_2 \lt \|\frac {x_n}{n\|x_n\|_2}\|_2 = \frac1n \frac{\|x_n\|_2}{\|x_n\|_2} = \frac1n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 [/math].

Но в [math] \|\cdot\|_1 [/math] каждый элемент имеет норму [math] \| \frac {x_n}{\|x_n\|_1} \|_1 = \frac {\|x_n\|_1}{\|x_n\|_1} = 1 \ne \|0\|_1[/math], то есть, последовательность [math] x_n [/math] к нулю в этой норме не сходится, что и требовалось доказать.
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Пространство [math] X [/math] конечномерно, если [math] \exists n = dim X \lt \infty: \exists e_1, e_2, \ldots, e_n: X = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)[/math].


Теорема (Рисс):
В конечномерных пространствах любые две нормы эквивалентны.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Докажем, что произвольная норма [math]\| \|[/math] в конечномерном пространстве [math]X[/math] эквивалентна [math]\| \|_2[/math], то есть выберем [math]m, M \gt 0: \forall x \in X: m \|x\|_2 \le \|x\| \le M \|x\|_2[/math], далее по отношению эквивалентности получим эквивалентность произвольной норме.

Выберем и зафиксируем в пространстве [math]X[/math] произвольный базис [math](e_1 \dots e_n)[/math].

1. [math]x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k[/math], [math]\| x \| \le \sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k| \| e_k \| \le [/math] (по неравенству Коши для сумм) [math] \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2} \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}[/math]. Заметим, что [math]\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2}[/math] является нормой [math]\| \|_2[/math] в координатной записи, а [math]\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}[/math] является константным значением для фиксированного базиса.

Таким образом, получили [math]\forall x \in X: \|x\| \le M \|x\|_2[/math].

2. Теперь надо доказать, что [math]\exists m \forall x: m \|x\|_2 \le \|x\|[/math]

Рассмотрим единичный шар по норме [math]\| \|_2[/math]: [math]S_2 = \{ \overline \alpha \mid \| \overline \alpha \|_2 = 1 \}[/math], [math]S_2[/math] является компактом в [math]\mathbb{R}^n[/math], воспользуемся теоремой Хаусдорфа и покажем:

  • замкнутость: возьмем последовательность, пусть она сходится не к элементу единичной сферы, тогда с какого-то члена элементы последовательности тоже окажутся с нормой, не равной 1.
  • вполне ограниченность: пусть нам дали какой-то [math]\varepsilon[/math], заметим что норма [math]\|\|_2[/math] — самое обычная длина вектора, возьмем и сделаем в параллелепипеде [math][0; 1]^n[/math] n-мерную сетку с шагом [math]\frac{\varepsilon}{\sqrt n}[/math], которая и будет центрами шаров радиусом эпсилон, тогда любая точка в параллелепипеде точно будет покрыта каким-то шаром

Рассмотрим на нем функцию [math]f : S_2 \to \mathbb{R}[/math], [math]f(x) = \|x\| = \| \sum \alpha_i e_i \|[/math]. Покажем, что она непрерывна.

Покажем, что [math]|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \|[/math]. Раскроем двумя способами модуль.

  • [math] \|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|\ge0 [/math] [math]\implies [/math] [math]\|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|\le\|\alpha\| + \|\Delta\alpha\|-\|\alpha\| = \|\Delta\alpha\|[/math]
  • [math] \|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|\lt 0 [/math] [math]\implies [/math] [math]\|\alpha\|-\|\alpha+\Delta\alpha\|[/math][math]= \|\alpha+\Delta\alpha-\Delta\alpha\| - \|\alpha+\Delta\alpha\|[/math][math]\le \|\alpha+\Delta\alpha\| + \|\Delta\alpha\| - \|\alpha+\Delta\alpha\|[/math][math] = \|\Delta\alpha\|[/math]

По свойствам нормы, [math]\|\Delta\alpha\| = \|\sum \Delta\alpha_k e_k\| \le \sum \|\Delta\alpha_ke_k\| = \sum |\Delta\alpha_k| \|e_k\|[/math]

[math]|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \| \le M \sqrt{\sum (\Delta \alpha_k )^2}[/math], то есть при стремлении [math]\Delta \alpha_k [/math] к [math]0[/math], расстояние между [math]f(\overline \alpha)[/math] и [math]f(\overline \alpha + \Delta \overline \alpha)[/math] также стремится к нулю, что означает непрерывность.

Так как [math]f[/math] непрерывна на [math]S_2[/math], то по теореме Вейерштрасса она принимает минимум на этом компакте, равный [math]m[/math] (пусть он достигается в точке [math]\overline \alpha^*[/math]). Также [math]f[/math] не может быть нулем на [math]S_2[/math]: пусть для какого-то [math]x \in S_2[/math] это так, тогда [math]\|x\| = 0 \implies \| \sum \alpha_k e_k \| = 0 \implies \alpha_k e_k = 0 \implies \forall k: \alpha_k = 0 \implies \|x\|_2 = 0[/math], что означает, что [math]x \notin S_2[/math], то есть [math]m \gt 0[/math].

Теперь рассмотрим произвольный ненулевой [math]x \in \mathbb{R}^n[/math], тогда точка [math]x' = {x \over \|x\|_2}[/math] также принадлежит [math]\mathbb{R}^n[/math] по линейности пространства, и в частности, принадлежит [math]S_2[/math]. Рассмотрим [math]x'[/math]: [math] f(x') = \|x'\| = \| {x \over {\| x \|_2}} \| = {{\| x \|} \over {\| x \|_2}} \ge m[/math], то есть [math]m \| x \|_2 \le \|x\|[/math].

Таким образом, получили обе части двойного неравенства.
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Подпространство в алгебраическом смысле не обязательно замкнуто в исходном пространстве. Поэтому в функциональном анализе собственно подпространством называется именно замкнутое подпространство, а алгебраические подпространства называют линейными подмножествами.


Теорема:
Пусть [math]X[/math] — НП и [math]Y[/math] — линейное конечномерное подмножество в [math]X[/math], тогда [math]Y[/math] — замкнуто в [math]X[/math], т.е. [math]\mathrm{Cl} Y = Y[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть для произвольного [math]y \in X[/math], [math]y_m \in Y, y_m \to y, Y = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n), \|\cdot\|[/math] --- исходная норма.

Пусть [math]\|\cdot\|_2 = \max\{|\alpha_1|, \ldots, |\alpha_n|\}[/math].

По теореме Рисса, нормы [math]\|\cdot\|[/math] и [math]\|\cdot\|_2[/math] в [math]Y[/math] эквивалентны; в [math]\|\cdot\|_2[/math], очевидно, есть покоординатная сходимость.

[math]\|y_m - y\| \to 0 \implies \|y_m - y\|_2 \to 0[/math]; так как [math] y_m [/math] сходится, то [math] y_m [/math] сходится в себе по [math] \|\cdot\|_2 [/math].

Вследствие покоординатной сходимости, [math]\forall k = 1, \ldots, n: \alpha_k^{(p)} - \alpha_k^{(m)} \to 0[/math].

По полноте вещественной оси, все [math]n[/math] последовательностей сходятся: [math]\forall k = 1, \ldots, n: \alpha_k^{(p)} \to \alpha_k^*[/math].

Возьмем [math] y^* = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k^* e_k [/math]. По единственности предела, [math] y^* = y [/math].

Значит, [math]y = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k^* e_k[/math], [math]y \in Y[/math] и [math]Y = \mathrm{Cl} Y[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Пример: [math] X = C[0; 1][/math], [math]Y[/math] — пространство всех полиномов степени не выше [math] n [/math]. Очевидно, [math] Y [/math] конечномерно, и, по только что доказанной теореме, замкнуто. Значит, если рассмотреть произвольную сходящуюся последовательность полиномов из [math] Y [/math], то ее пределом будет также полином из [math] Y [/math]. Этот факт, тривиальный с точки зрения функционального анализа, классическими методами математического анализа получается очень непросто. Однако, если степень полиномов в [math]Y[/math] не ограничивать, то замыканием [math]Y[/math] будет все пространство [math]X[/math], по теореме Вейерштрасса, любую непрерывную на отрезке функцию можно приблизить полиномами.

Ссылки