1679
правок
Изменения
Нет описания правки
{{В разработке}}
<wikitex>
* $X = \mathbb{R}^n, \| \overline x \| = \sqrt {\sum_{k = 1}^{n} x_k^2}$
* $X = C[a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, $\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|$
* $X = L_p$ — пространство TODO пшшш,$\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}$, заметим, что здесь надо отождествить почти везде совпадающие функции, иначе, например, интеграл функции, почти везде равной нулю, будет нулевым, хотя сама функция ненулевая, что нарушит первую аксиому нормы.
{{Определение
Нормированное пространство $(X, \|\cdot\|)$ называется '''B-пространством (Банаховым)''', если для любой последовательности элементов $X$, для которых из $\|x_n - x_m\| \to 0$ при $n, m \to \infty$ вытекает существование предела последовательности.
}}
{{Определение
|definition=
Нормы $\| \|_1$, $\| \|_2$ '''эквивалентны''', если существуют константы $m, M$ такие, что $\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2$.
}}
Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: $x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x$. TODO: в одну сторону равносильность определений вроде очевидна, а в другую не очень.
Ссылочки:
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space Vector space]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Norm_(mathematics) Norm]
</wikitex>
