Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Нормированные пространства (3 курс)

85 байт добавлено, 19:12, 17 января 2013
bugfix
Пусть для произвольного <tex>y \in X</tex>, <tex>y_m \in Y, y_m \to y, Y = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n), \|\cdot\|</tex> --- исходная норма.
Пусть <tex>y = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k</tex>, пусть <tex>|\|ycdot\|_2 = \max\{|\alpha_1|, \ldots, |\alpha_n|\}</tex>.
По теореме Рисса, нормы <tex>\|\cdot\|</tex> и <tex>\|\cdot\|_2</tex> в <tex>Y</tex> эквивалентны; в <tex>\|\cdot\|_2</tex>, очевидно, есть покоординатная сходимость.
//Возьмем еще одну последовательность <tex>y_p \to y</tex>, <tex>\|y_m - y_py\| \to 0 \implies \|y_m - y_py\|_2 \to 0</tex>; так как <tex> y_m </tex> сходится, то <tex> y_m </tex> сходится в себе по <tex> \|\cdot\|_2 </tex>.
//Вследствие покоординатной сходимости, <tex>\forall k = 1, \ldots, n: \alpha_k^{(p)} - \alpha_k^{(m)} \to 0</tex>.
По полноте вещественной оси, все <tex>n</tex> последовательностей сходятся: <tex>\forall k = 1, \ldots, n: \alpha_k^{(p)} \to \alpha_k^*</tex>.
Так как Возьмем <tex>\|y_m - y^*= \| sum\to 0limits_{k=1}^{n} \alpha_k^* e_k </tex>. По единственности предела, <tex> y^* = y </tex> и . Значит, <tex>y = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k^* e_k \in Y</tex>, то <tex>y \in Y</tex> и <tex>Y = \mathrm{Cl} Y</tex>.}}
Пример: <tex> X = C[0; 1]</tex>, <tex>Y</tex> — пространство всех полиномов степени не выше <tex> n </tex>. Очевидно, <tex> Y </tex> конечномерно, и, по только что доказанной теореме, замкнуто. Значит, если рассмотреть произвольную сходящуюся последовательность полиномов из <tex> Y </tex>, то ее пределом будет также полином из <tex> Y </tex>. Этот факт, тривиальный с точки зрения функционального анализа, классическими методами математического анализа получается очень непросто. Однако, если степень полиномов в <tex>Y</tex> не ограничивать, то замыканием <tex>Y</tex> будет все пространство <tex>X</tex>, по [[Приближение_непрерывной_функции_полиномами_на_отрезке | теореме Вейерштрасса]], любую непрерывную на отрезке функцию можно приблизить полиномами.
689
правок

Навигация