Изменения

|definition=Пусть <tex>X</tex> - алгебра над <tex>F</tex>. <tex>e \in X</tex> называется единицей <tex>X</tex>, если <tex>\mathcal{8} forall x \in X: e*x=x*e=x</tex>, причем <tex>e</tex> единственна

*<tex>detA \ne 0</tex> из определения обратной матрицы'''Шаг 1.*''' Если матрица <tex>A</tex> обратима, то <tex>AB = E</tex> для некоторой матрицы <tex>B</tex>. Тогда, если квадратные матрицы одного и того же порядка, то <tex>\det AB = \det A \cdot \det B</tex>:*<tex>1 = \det E = \det AB = \det A \cdot \det B</tex>, следовательно, <tex>\det A \neq 0, \det B \neq 0</tex>.*Теперь докажем '''Шаг 2.''' Докажем обратное утверждение. Пусть <tex>\det A \ne 0</tex>. Положим 1) Докажем существование правой обратной матрицы <tex>B</tex>. Предположим <tex>\exists B : AB=E</tex>, где <tex>A= \fracVert \alpha_{k}^{1i} \Vert, \ B=\Vert \beta_{k}^{i} \Vert, \ E=\Vert \det Adelta_{k}A^{*i}\Vert</tex>Тогда <tex>AB = A(E: \sum\fraclimits_{j=1}^{n} \alpha_{j}^{i} \beta_{detAk}A^{*j}) = \fracdelta_{k}^{i}, \ (i,k=1..n)</tex>, фиксируем <tex>k</tex>, тогда: <tex>(\beta_{k}^{detA1}...\beta_{k}(AA^{*n})^T \rightarrow (\xi^1...\xi^n)^T</tex> то есть, тогда получим, что <tex>\sum\limits_{j=1}^{n} \alpha_{j}^{i} \xi^{j}=\delta_{k}^{i} \Rightarrow A=\Vert \alpha_{k}^{i} \Vert </tex> обратима справа. *Поскольку для квадратной матрицы одно и двусторонняя обратимость эквивалентны (Квадратная {{---}} матрица системы уравнений, так как <tex>\det A\ne 0</tex> обратима справа тогда и только тогда, когда она обратима слевато по Крамеру <tex>\exists! (\xi^1...\xi^n), получаем^T</tex> В итоге для всех <tex>k</tex> получим матрицу <tex>B</tex>, что и требовалось.  2) Докажем существование левой обратной матрицы <tex>AC</tex> обратима и . Предположим <tex>A\exists C: CA=E \Rightarrow \sum\limits_{j=1}^{n} \gamma_{i}^{j}\alpha_{j}^{-1k} = B = \fracdelta_{k}^{i}</tex> Фиксируем <tex>i</tex>, тогда <tex>(\gamma_{1}^{i}...\gamma_{detAn}A^{*i}) \rightarrow (\xi_1...\xi_n)</tex>,получаем заполнение по строчкам, аналогично первому пункту показываем <tex>\exists C</tex>.''3) Тогда по лемме <tex>C=B=A^{*-1}</tex> - присоединенная матрица'', теорема доказана.

<math dpi = "145">\widehat{C}^{*A}= \begin{pmatrix}

* <math dpi = "145">\widehat{C}^{*A}</math> — присоединённая(союзная, взаимная) матрица;

:*разделить каждый элемент транспонированной союзной присоединенной матрицы на определитель исходной матрицы.

<tex dpi="145">A^{-1} = (C^*)\widehat{A}^T \times \frac{1}{det A}</tex>