Обратный оператор — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 3 промежуточные версии 3 участников)
Строка 5: Строка 5:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|about= Критерий существования <tex>\mathcal{A}^{-1}</tex>
 
|about= Критерий существования <tex>\mathcal{A}^{-1}</tex>
|statement = Для <tex>\mathcal {9} \mathcal{A}^{-1}</tex> нужно и достаточно, чтобы в некотором базисе <tex>\left\{ e \right\}_{i = 1}^{n}\ det A \ne 0</tex>
+
|statement = Для <tex>\exists \mathcal{A}^{-1}</tex> нужно и достаточно, чтобы в некотором базисе <tex>\left\{ e \right\}_{i = 1}^{n}\ det A \ne 0</tex>
 
|proof=
 
|proof=
 
Доказывается в конспекте [[Обратная матрица]]
 
Доказывается в конспекте [[Обратная матрица]]
Строка 12: Строка 12:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|about= Критерий существования <tex>\mathcal{A}^{-1}</tex>
 
|about= Критерий существования <tex>\mathcal{A}^{-1}</tex>
|statement = Для <tex>\mathcal{9} \mathcal{A}^{-1}</tex> нужно и достаточно одного из двух условий:
+
|statement = Для <tex>\exists \mathcal{A}^{-1}</tex> нужно и достаточно одного из двух условий:
 
# <tex>Ker\mathcal{A} = \{0_{x}\}</tex>
 
# <tex>Ker\mathcal{A} = \{0_{x}\}</tex>
 
# <tex>Im\mathcal{A} = X</tex>
 
# <tex>Im\mathcal{A} = X</tex>
Строка 18: Строка 18:
 
Первое и второе утверждение равносильны в силу равенства <tex>\dim Ker\mathcal{A} + \dim Im\mathcal{A} = \dim X</tex>
 
Первое и второе утверждение равносильны в силу равенства <tex>\dim Ker\mathcal{A} + \dim Im\mathcal{A} = \dim X</tex>
  
<tex>Ker\mathcal{A} = \{0_{x}\} \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k^i \xi^k = 0</tex> имеет только тривиальное решение <tex>\Rightarrow det A \ne 0 \Leftrightarrow \mathcal{9} A^{-1} \Leftrightarrow \mathcal{9} \mathcal{A}^{-1}</tex>  
+
<tex>Ker\mathcal{A} = \{0_{x}\} \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k^i \xi^k = 0</tex> имеет только тривиальное решение <tex>\Rightarrow det A \ne 0 \Leftrightarrow \exists A^{-1} \Leftrightarrow \exists \mathcal{A}^{-1}</tex>  
 
}}
 
}}
  
Строка 31: Строка 31:
  
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
 +
[[Категория: Линейные операторы]]

Текущая версия на 19:29, 4 сентября 2022

Определение:
Пусть [math]\mathcal{A}:X \rightarrow X[/math] — автоморфизм. Тогда [math]\mathcal{A}^{-1}: X \rightarrow X[/math] называется обратным оператором к [math]\mathcal{A}[/math], если [math]\mathcal{A} \cdot \mathcal{A}^{-1} = \mathcal{A}^{-1} \cdot \mathcal{A} = J[/math].


Теорема (Критерий существования [math]\mathcal{A}^{-1}[/math]):
Для [math]\exists \mathcal{A}^{-1}[/math] нужно и достаточно, чтобы в некотором базисе [math]\left\{ e \right\}_{i = 1}^{n}\ det A \ne 0[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Доказывается в конспекте Обратная матрица
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Критерий существования [math]\mathcal{A}^{-1}[/math]):
Для [math]\exists \mathcal{A}^{-1}[/math] нужно и достаточно одного из двух условий:
  1. [math]Ker\mathcal{A} = \{0_{x}\}[/math]
  2. [math]Im\mathcal{A} = X[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Первое и второе утверждение равносильны в силу равенства [math]\dim Ker\mathcal{A} + \dim Im\mathcal{A} = \dim X[/math]

[math]Ker\mathcal{A} = \{0_{x}\} \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k^i \xi^k = 0[/math] имеет только тривиальное решение [math]\Rightarrow det A \ne 0 \Leftrightarrow \exists A^{-1} \Leftrightarrow \exists \mathcal{A}^{-1}[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Ссылки

Источники

  • Анин конспект