Обсуждение:Метод производящих функций — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(fixes)
 
(не показано 20 промежуточных версий 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
В [https://ru.wikipedia.org/wiki/Комбинаторика комбинаторике], особенно в аналитической комбинаторике, [https://en.wikipedia.org/wiki/Symbolic_method_(combinatorics) символический метод] - это метод подсчета [https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Комбинаторные_объекты комбинаторных объектов]. Он использует внутреннюю структуру объектов для получения формул их [[Производящая функция|производящих функций]]. Этот метод в основном связан с [https://en.wikipedia.org/wiki/Philippe_Flajolet Филиппом Флайоле] и подробно описан в части A его книги с [https://ru.wikipedia.org/wiki/Седжвик,_Роберт Робертом Седжвиком] "Аналитическая комбинаторика"<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_Combinatorics "Аналитическая комбинаторика"]</ref>.
+
В комбинаторике, особенно в аналитической комбинаторике, [https://en.wikipedia.org/wiki/Symbolic_method_(combinatorics) символьный метод] - это метод подсчета [https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Комбинаторные_объекты комбинаторных объектов]. Он использует внутреннюю структуру объектов для получения формул их [[Производящая функция|производящих функций]]. Этот метод в основном связан с [https://en.wikipedia.org/wiki/Philippe_Flajolet Филиппом Флайоле] и подробно описан в части A его книги с [https://ru.wikipedia.org/wiki/Седжвик,_Роберт Робертом Седжвиком] "Аналитическая комбинаторика"<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_Combinatorics "Аналитическая комбинаторика"]</ref>.
  
  
Строка 12: Строка 12:
 
Считающей последовательностью называется последовательность <tex dpi="130">\left \{ a_0, a_1, ..., a_n \right \}</tex>, где <tex dpi="130">a_i</tex> {{---}} количество объектов веса <tex dpi="130">i</tex>.
 
Считающей последовательностью называется последовательность <tex dpi="130">\left \{ a_0, a_1, ..., a_n \right \}</tex>, где <tex dpi="130">a_i</tex> {{---}} количество объектов веса <tex dpi="130">i</tex>.
 
}}
 
}}
 +
 +
Обозначим <tex dpi="350">[t_n]</tex> как оператор взятия <tex dpi="350">n</tex>-того коэффициента производящей функции.
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Комбинаторным классом <tex dpi="130">A</tex> называется [https://ru.wikipedia.org/wiki/Множество множество] комбинаторных объектов, обладающих каким-то свойством.
+
Комбинаторным классом <tex dpi="130">A</tex> называется множество комбинаторных объектов, обладающих каким-то свойством.
 
}}
 
}}
 +
 
=Непомеченные комбинаторные объекты=
 
=Непомеченные комбинаторные объекты=
  
Строка 61: Строка 64:
 
<tex dpi="350">C(t)=\left ( \sum_{i=0}^{\infty}a_i \cdot t^i \right ) + \left ( \sum_{i=0}^{\infty}b_i \cdot t^i \right ) = \sum_{i=0}^{\infty}(a_i + b_i)\cdot t^i =A(t)+B(t)</tex>
 
<tex dpi="350">C(t)=\left ( \sum_{i=0}^{\infty}a_i \cdot t^i \right ) + \left ( \sum_{i=0}^{\infty}b_i \cdot t^i \right ) = \sum_{i=0}^{\infty}(a_i + b_i)\cdot t^i =A(t)+B(t)</tex>
  
==Пары комбинаторных классов ([https://ru.wikipedia.org/wiki/Прямое_произведение декартово произведение] комбинаторных классов)==
+
==Пары комбинаторных классов (декартово произведение комбинаторных классов)==
  
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 90: Строка 93:
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=<tex dpi="350">Seq_k(A)(t)=A(t)^k</tex>
 
|statement=<tex dpi="350">Seq_k(A)(t)=A(t)^k</tex>
|proof=Докажем по [[Математическая индукция|индукции]]:
+
|proof=Докажем по индукции:
  
 
'''База <tex dpi="350">k=1</tex>'''.
 
'''База <tex dpi="350">k=1</tex>'''.
Строка 104: Строка 107:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Последовательностью, или базовой последовательностью, объектов из <tex dpi="350">A</tex> называется <tex dpi="350">B=Seq(A)=\sum_{i=0}^{\infty}Seq_i(A)</tex>.
+
Последовательностью объектов из <tex dpi="350">A</tex> называется <tex dpi="350">B=Seq(A)=\sum_{i=0}^{\infty}Seq_i(A)</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 110: Строка 113:
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=<tex dpi="350">Seq(A)(t)=\frac{1}{1 - A(t)}</tex>
 
|statement=<tex dpi="350">Seq(A)(t)=\frac{1}{1 - A(t)}</tex>
|proof=<tex dpi="350">Seq(A)(t)=\sum_{i=0}^{\infty}Seq_i(A)(t)=\sum_{i=0}^{\infty}A(t)^i=\frac{1}{1 - A(t)}</tex> ([https://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрическая_прогрессия Геометрическая прогрессия])
+
|proof=<tex dpi="350">Seq(A)(t)=\sum_{i=0}^{\infty}Seq_i(A)(t)=\sum_{i=0}^{\infty}A(t)^i=\frac{1}{1 - A(t)}</tex> (Геометрическая прогрессия)
 
}}
 
}}
  
Строка 126: Строка 129:
 
** <tex dpi="350">Seq_{\vdots 2}(A)(t)=Seq(Pair(A, A))(t)=\frac{1}{1-A\left (t^2\right )}</tex>
 
** <tex dpi="350">Seq_{\vdots 2}(A)(t)=Seq(Pair(A, A))(t)=\frac{1}{1-A\left (t^2\right )}</tex>
  
==Комбинаторный класс "[[Натуральные числа]]"==
+
==Комбинаторный класс "Натуральные числа"==
  
 
Вес числа равен его значению. Каждое натуральное число встречается 1 раз.
 
Вес числа равен его значению. Каждое натуральное число встречается 1 раз.
Строка 241: Строка 244:
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
<tex dpi="350">\left (\int A(t) \right )'=A(t)</tex>
+
<tex dpi="350">\left (\int A(t) \right )'=A(t)</tex><ref>[https://youtu.be/UwOjanKAMt0?list=PLrV7qfjOKnis2aCBAVcirxr_oxhNKoO6e&t=2131 Youtube {{---}} Помеченные объекты]</ref>
 
}}
 
}}
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex dpi="350">A(t)</tex> {{---}} экспоненциальная производящая функция последовательности <tex dpi="350">\{ a_0, a_1, ..., a_n, ... \}</tex>, тогда <tex dpi="350">\int A(t)</tex> {{---}} экспоненциальная производящая функция последовательности <tex dpi="350">B=\{ 0, a_0, a_1, a_2, ..., a_n, ... \}</tex>
+
Пусть <tex dpi="350">A(t)</tex> {{---}} экспоненциальная производящая функция последовательности <tex dpi="350">\{ a_0, a_1, ..., a_n, ... \}</tex>, тогда <tex dpi="350">\int A(t)</tex> {{---}} экспоненциальная производящая функция последовательности <tex dpi="350">B=\{ 0, a_0, a_1, a_2, ..., a_n, ... \}</tex><ref>[https://youtu.be/UwOjanKAMt0?list=PLrV7qfjOKnis2aCBAVcirxr_oxhNKoO6e&t=2131 Youtube {{---}} Помеченные объекты]</ref>
 
}}
 
}}
  
Строка 305: Строка 308:
 
# В каждой паре перебирает все возможные способы перенумеровать атомы. Нумерация идёт в том же порядке, что и изначальная. То есть для каждого цикла при фиксированном наборе номеров есть ровно 1 способ занумеровать. Таким образом, в классе <tex dpi="350">A \star B</tex> будет лежать <tex dpi="350">(</tex> [[Файл:1-2.png|50px]] <tex dpi="350">,</tex>[[Файл:3-4-5.png|50px]]<tex dpi="350">)</tex>, но не будет лежать <tex dpi="350">(</tex> [[Файл:1-2.png|50px]] <tex dpi="350">,</tex>[[Файл:3-5-4.png|50px]]<tex dpi="350">)</tex>.
 
# В каждой паре перебирает все возможные способы перенумеровать атомы. Нумерация идёт в том же порядке, что и изначальная. То есть для каждого цикла при фиксированном наборе номеров есть ровно 1 способ занумеровать. Таким образом, в классе <tex dpi="350">A \star B</tex> будет лежать <tex dpi="350">(</tex> [[Файл:1-2.png|50px]] <tex dpi="350">,</tex>[[Файл:3-4-5.png|50px]]<tex dpi="350">)</tex>, но не будет лежать <tex dpi="350">(</tex> [[Файл:1-2.png|50px]] <tex dpi="350">,</tex>[[Файл:3-5-4.png|50px]]<tex dpi="350">)</tex>.
  
<tex dpi="350">c_n=\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\binom{n}{k}</tex>''([https://ru.wikipedia.org/wiki/Сочетание Сочетания])''<tex dpi="350">=\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\frac{n!}{k!(n-k)!}=n! \cdot \sum_{k=0}^n\frac{a_k}{k!}\frac{b_{n-k}}{(n-k)!}</tex>
+
<tex dpi="350">c_n=\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\binom{n}{k}=\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\frac{n!}{k!(n-k)!}=n! \cdot \sum_{k=0}^n\frac{a_k}{k!}\frac{b_{n-k}}{(n-k)!}</tex>
  
 
<tex dpi="350">C(t)=A(t) \cdot B(t)</tex>
 
<tex dpi="350">C(t)=A(t) \cdot B(t)</tex>
Строка 325: Строка 328:
 
===Неограниченная конструкция===
 
===Неограниченная конструкция===
  
Определение <tex dpi="350">Seq(A)</tex> и соответствующая производящая функция не изменились.
+
Определение <tex dpi="350">Seq(A)</tex> не изменилось.
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|statement=<tex dpi="350">Seq(A)(t)=\frac{1}{1 - A(t)}</tex>
 +
|proof=<tex dpi="350">Seq(A)(t)=\sum_{i=0}^{\infty}Seq_i(A)(t)=\sum_{i=0}^{\infty}A(t)^i=\frac{1}{1 - A(t)}</tex> (Геометрическая прогрессия)
 +
}}
  
 
Действует ограничение на <tex dpi="350">b_0=B(0)=0</tex>, как и на <tex dpi="350">Seq(A)</tex> и <tex dpi="350">MSet(A)</tex> в формализме непомеченных объектов.
 
Действует ограничение на <tex dpi="350">b_0=B(0)=0</tex>, как и на <tex dpi="350">Seq(A)</tex> и <tex dpi="350">MSet(A)</tex> в формализме непомеченных объектов.
Строка 331: Строка 339:
 
====Пример====
 
====Пример====
  
'''[https://ru.wikipedia.org/wiki/Перестановка Перестановки]'''
+
'''Перестановки'''
 
* <tex dpi="350">P=Seq(Z)</tex>
 
* <tex dpi="350">P=Seq(Z)</tex>
 
* Экспоненциальной производящей функцией является <tex dpi="350">P(t)=\frac{1}{1-t}</tex>.
 
* Экспоненциальной производящей функцией является <tex dpi="350">P(t)=\frac{1}{1-t}</tex>.
Строка 370: Строка 378:
 
Можно рассматривать <tex dpi="350">Set(A)</tex> как композицию урны и <tex dpi="350">A</tex>, другими словами, можно вместо атомов в урне взять объекты класса <tex dpi="350">A</tex>.
 
Можно рассматривать <tex dpi="350">Set(A)</tex> как композицию урны и <tex dpi="350">A</tex>, другими словами, можно вместо атомов в урне взять объекты класса <tex dpi="350">A</tex>.
  
==[http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_order Циклы]==
+
==Циклы==
  
 
===Ограниченная конструкция===
 
===Ограниченная конструкция===
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=Цикл <tex dpi="350">A=Cycle_k(B)</tex> {{---}} ориентированная циклическая последовательность из <tex dpi="350">k</tex> объектов класса <tex dpi="350">B</tex>.
+
|definition=
}}
+
Цикл <tex dpi="350">A=Cycle_k(B)</tex> {{---}} ориентированная циклическая последовательность из <tex dpi="350">k</tex> объектов класса <tex dpi="350">B</tex>.
  
{{Утверждение
+
Циклов нулевой длины <tex dpi="350">0</tex>, то есть, <tex dpi="350">c_0=0</tex>.
|statement=Циклов нулевой длины <tex dpi="350">0</tex>. То есть, <tex dpi="350">c_0=0</tex>.
 
 
}}
 
}}
  
Строка 396: Строка 403:
 
|definition=Циклы <tex dpi="350">A=Cycle(B)=\sum_{k=0}^{\infty}Cycle_k(B)</tex>.
 
|definition=Циклы <tex dpi="350">A=Cycle(B)=\sum_{k=0}^{\infty}Cycle_k(B)</tex>.
 
}}
 
}}
<tex dpi="350">Cycle(A)(t)=\sum_{k=0}^{\infty}Cycle_k(A)(t)=0+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{A(t)^k}{k}=-ln \left (1-A(t) \right )=ln\left (\frac{1}{1-A(t)}\right )</tex><ref>[https://www.wolframalpha.com/input/?i=series+-ln%281-x%29 Wolphram Alpha {{---}} Разложение в ряд]</ref>
+
<tex dpi="350">Cycle(A)(t)=\sum_{k=0}^{\infty}Cycle_k(A)(t)=0+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{A(t)^k}{k}=-ln \left (1+\left (-A(t)\right ) \right )=-ln \left (1-A(t) \right )=ln\left (\frac{1}{1-A(t)}\right )</tex> (Разложение натурального логарифма в ряд Тейлора)
  
 
=См.также=
 
=См.также=

Текущая версия на 22:29, 20 августа 2020

В комбинаторике, особенно в аналитической комбинаторике, символьный метод - это метод подсчета комбинаторных объектов. Он использует внутреннюю структуру объектов для получения формул их производящих функций. Этот метод в основном связан с Филиппом Флайоле и подробно описан в части A его книги с Робертом Седжвиком "Аналитическая комбинаторика"[1].


Содержание

Базовые определения[править]

Каждый комбинаторный объект состоит из атомов.

У атомов определен вес [math]w[/math]. Вес объектов равен сумме весов составляющих его атомов.


Определение:
Считающей последовательностью называется последовательность [math]\left \{ a_0, a_1, ..., a_n \right \}[/math], где [math]a_i[/math] — количество объектов веса [math]i[/math].


Обозначим [math][t_n][/math] как оператор взятия [math]n[/math]-того коэффициента производящей функции.


Определение:
Комбинаторным классом [math]A[/math] называется множество комбинаторных объектов, обладающих каким-то свойством.


Непомеченные комбинаторные объекты[править]

Введём атомы [math]\bullet[/math] и [math]\circ[/math] следующим образом:

[math]w(\bullet)=1[/math]

[math]w(\circ)=0[/math]

Производящую функцию класса [math]A[/math] обозначим [math]A(t)=\sum_{i=0}^{\infty }a_i t^i[/math], если [math]\{a_i\}[/math] — считающая последовательность этого класса.


Определение:
Комбинаторным объектом [math]Z[/math] называется комбинаторный объект, состоящий из одного атома веса [math]1[/math]. [math]Z=\left \{ \bullet \right \}[/math]


Считающая последовательность: [math]\left \{ 0, 1, 0, ..., 0 \right \}[/math].

Производящая функция последовательности: [math]Z(t)=t[/math].


Определение:
Комбинаторным объектом [math]\varepsilon[/math] называется комбинаторный объект, состоящий из одного атома веса [math]0[/math]. [math]\varepsilon=\left \{ \circ \right \}[/math].


Считающая последовательность: [math]\left \{ 1, 0, ..., 0 \right \}[/math].

Производящая функция последовательности: [math]\varepsilon(t)=1[/math].

Объединение комбинаторных классов[править]

Определение:
Объединением комбинаторных классов [math]A[/math] и [math]B[/math] называется комбинаторный класс [math]C=A \cup B=A+B[/math], состоящий из элементов обоих классов, причем равные объекты разных классов объявляются разными.

Целью этого уточнения является возможность работать только со считающими последовательностями и производящими функциями.

[math]c_n=a_n+b_n[/math]

[math]C(t)=\left ( \sum_{i=0}^{\infty}a_i \cdot t^i \right ) + \left ( \sum_{i=0}^{\infty}b_i \cdot t^i \right ) = \sum_{i=0}^{\infty}(a_i + b_i)\cdot t^i =A(t)+B(t)[/math]

Пары комбинаторных классов (декартово произведение комбинаторных классов)[править]

Определение:
Парой комбинаторных классов [math]A[/math] и [math]B[/math] называется комбинаторный класс [math]C=Pair(A, B)=A \times B=\left \{ (\alpha, \beta) \mid \alpha \in A, \beta \in B \right \}[/math].


[math]w\left ( \left ( \alpha, \beta \right ) \right )=w(\alpha) + w(\beta)[/math]

[math]c_n=\sum_{k=0}^{n}a_k b_{n-k}[/math]

Утверждение:
[math]C(t)=A(t) \cdot B(t)[/math][2]

Последовательности комбинаторных классов[править]

Ограниченная конструкция[править]

Определение:
Последовательностью [math]k[/math] объектов из [math]A[/math] называется [math]B=Seq_k(A)=\left \{ (\alpha_1, ..., \alpha_k) \mid \alpha_i \in A \right \}[/math]. [math]w(\left \{ (\alpha_1, ..., \alpha_k) \mid \alpha_i \in A \right \})=\sum_{i=0}^{k}\alpha_i[/math]


Утверждение:
[math]Seq_k(A)(t)=A(t)^k[/math]
[math]\triangleright[/math]

Докажем по индукции:

База [math]k=1[/math].

Для [math]k=1[/math] верно, потому что [math]Seq_1(A)=A \Rightarrow Seq_1(A)(t)=A(t)=A(t)^1[/math].

Переход.

Пусть для [math]k=n[/math] верно [math]Seq_n(A)(t)=A(t)^n[/math]. Докажем для [math]k=n+1[/math]:
[math]Seq_{n+1}(A)(t)=A(t)^{n+1}[/math]. Рассмотрим [math]Seq_{n+1}(A)[/math] как [math]Pair(Seq_n(A), A)[/math]. Тогда [math]Seq_{n+1}(A)(t)=A(t)^n \cdot A(t)=A(t)^{n+1}[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Неограниченная конструкция[править]

Определение:
Последовательностью объектов из [math]A[/math] называется [math]B=Seq(A)=\sum_{i=0}^{\infty}Seq_i(A)[/math].


Утверждение:
[math]Seq(A)(t)=\frac{1}{1 - A(t)}[/math]
[math]\triangleright[/math]
[math]Seq(A)(t)=\sum_{i=0}^{\infty}Seq_i(A)(t)=\sum_{i=0}^{\infty}A(t)^i=\frac{1}{1 - A(t)}[/math] (Геометрическая прогрессия)
[math]\triangleleft[/math]


Ограничение: [math]a_0=0[/math] (также можно встретить [math]A_0=0[/math]). Этому есть как техническое, так и комбинаторное объяснение.

  • Технически, если [math]a_0\gt 1[/math], то мы будем делить на отрицательное число; если [math]a_0=1[/math], то на функцию, у которой свободный член [math]0[/math], — что формализм производящих функций сделать не позволяет.
  • Комбинаторное объяснение заключается в том, что если объектов веса ноль более 0, то мы можем создать бесконечное количество последовательностей веса 0 (комбинируя такие объекты), а мы хотим работать с конечными количествами последовательностей.

Примеры[править]

  • Последовательности из не менее, чем 3 объектов:
    • [math]Seq_{\geq 3}=Pair(Seq_3(A), Seq(A))=Seq(A)-Seq_0(A)-Seq_1(A)-Seq_2(A)[/math]
    • [math]Seq_{\geq 3}(t)=Pair(Seq_3(A), Seq(A))(t)=A(t)^3 \cdot \frac{1}{1-A(t)}=\frac{A(t)^3}{1-A(t)}=(Seq(A)-Seq_0(A)-Seq_1(A)-Seq_2(A))(t)=\frac{1}{1-A(t)}-0-A(t)-A(t)^2[/math]
  • Последовательности чётной длины:
    • [math]Seq_{\vdots 2}(A)=Seq(Pair(A, A))[/math]
    • [math]Seq_{\vdots 2}(A)(t)=Seq(Pair(A, A))(t)=\frac{1}{1-A\left (t^2\right )}[/math]

Комбинаторный класс "Натуральные числа"[править]

Вес числа равен его значению. Каждое натуральное число встречается 1 раз.

Считающая последовательность: [math]\left \{ 0, 1, ..., 1 \right \}[/math]

[math]w(n)=n[/math]

Класс "Натуральные числа" принято обозначать [math]I[/math]. Считающая последовательность — [math]c_n=\left\{\begin{matrix} 0, n=0\\ 1, n\gt 0 \end{matrix}\right.[/math]

Утверждение:
[math]I(t)=\frac{t}{1 - t}[/math]
[math]\triangleright[/math]

Производящей функцией последовательности из [math]1[/math] явлется [math]Seq(\{1\})=\frac{1}{1-t}[/math].

Чтобы получить производящую функцию класса натуральных чисел, произведем сдвиг вправо по правилам работы со степенными рядами:

[math]t \cdot I(t) = t \cdot \frac{1}{1 - t} = \frac{t}{1-t}[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Применение[править]

[math]Seq(I)[/math] — упорядоченное разбиение натуральных чисел на слагаемые.

Тогда производящая функция — [math]Seq(I)(t)=\frac{1}{1-\frac{t}{1-t}}=\frac{1-t}{1-2t}=\frac{1}{1-2t}-\frac{t}{1-2t}[/math]

[math]\left [ t^n \right ] \frac{1-t}{1-2t} = \left\{\begin{matrix} 2 ^ n - 2 ^ {n - 1} = 2 ^ {n - 1}, n \gt 0 \\ 1, n = 0 \end{matrix}\right.[/math], потому что [math]\frac{1}{1-2t}[/math] соответсвует ряду степеней [math]2[/math], а [math]\frac{1}{1-2t}[/math] — ряду [math]2^{x-1}[/math].

Множества[править]

Определение:
Множества [math]Set(A)[/math] — последовательности без повторений и порядка элементов.
Утверждение:
[math]Set(A)=\prod_{\alpha \in A}\left(\varepsilon+\left \{ \alpha \right \}\right )[/math]
[math]\triangleright[/math]

Докажем по индукции по потенциальным элементам множеств [math]A[/math].

База

[math]A=\varnothing[/math]

[math]Set(\varnothing)=\varepsilon=\prod_{\alpha\in A}\varepsilon[/math]

Переход

Пусть верно для множества [math]A_1[/math], докажем, что будет верно и для множества и [math]A_1+\{\alpha\}[/math], где [math]\alpha\in A\setminus A_1[/math]

В множестве каждый элемент может либо присутствовать, либо отсутствовать, поэтому [math]Set(A_1+\{\alpha\})=Set(A_1)+Set(A_1)\times\{\alpha\}=Set(A_1)(\varepsilon + \alpha)[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Пример[править]

  • [math]A = \left \{ \alpha, \beta, \gamma \right \}[/math]
  • [math]Set(A) = \left \{ \varnothing, \left \{ \alpha \right \}, \left \{ \beta\right \}, \left \{ \gamma \right \}, \left \{ \alpha, \beta\right \}, \left \{ \alpha, \gamma \right \}, \left \{ \beta, \gamma \right \}, \left \{ \alpha, \beta, \gamma \right \} \right \}[/math]

[math]Set(A)(t)=\prod_{\alpha \in A}\left(\varepsilon+\left \{ \alpha \right \}\right )(t)=\prod_{\alpha \in A}(1+t^{w(\alpha)})=\prod_{n=0}^{\infty}(1+t^n)^{a_n}[/math]

Мультимножества[править]

Определение:
Мультимножества [math]MSet(A)[/math] — последовательности с повторениями, но без порядка элементов.

Как и с [math]Seq(A)[/math] существует ограничение на [math]A[/math]: [math]a_0=A(0)=0[/math].

Утверждение:
[math]MSet(A)=\prod_{\alpha \in A}Seq(\left \{ \alpha \right \})[/math]
[math]\triangleright[/math]

Докажем по индукции по потенциальным элементам множеств [math]A[/math].

База

[math]A=\varnothing[/math]

[math]MSet(\varnothing)=\varepsilon=\prod_{\alpha\in A}\varepsilon[/math]

Переход

Отличие от множеств в том, что здесь каждый элемент может присутствовать в любом неотрицательном количестве экземпляров, поэтому для каждого элемента [math]\alpha[/math] берется [math]Seq(\{\alpha\})[/math]

Пусть верно для мультимножества [math]A_1[/math], докажем, что будет верно и для мультимножества и [math]A_1+Seq_{\geq1}(\{\alpha\})[/math], где [math]\alpha\in A\setminus A_1[/math]

[math]MSet(A_1+\{\alpha\})=MSet(A_1)+MSet(A_1)\times\{\alpha\}\times Seq_{\geq 1}(\{\alpha \})=MSet(A_1)\cdot Seq(\{\alpha\})[/math].
[math]\triangleleft[/math]

[math]MSet(A)(t)=\prod_{\alpha \in A}Seq(\left \{ \alpha \right \})(t)=\prod_{\alpha \in A}\frac{1}{1-t^{w(\alpha)}}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1-t^n}\right)^{a_n}[/math]

Помеченные объекты[править]

Как можно заметить, для некоторых операторов, например, [math]Set[/math] и [math]MSet[/math] не существует замкнутых формул, поэтому их объекты удобнее обозначать как помеченные. С помеченными объектами используется экспоненциальная производящая функция.

Напомним, что если [math]\left \{ a_i \right \}[/math] — считающая последовательность, то производящие функции выражаются следующим образом:

Обычная [math]ogf(t) = \sum_{i=0}^{\infty}a_it^i[/math]
Экспоненциальная [math]egf(t) = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{a_it^i}{n!}[/math]

Далее под производящей функцией будет подразумеваться и использоваться экспоненциальная производящая функция, потому что формулы с ней более просты в работе.

Свойства экспоненциальной производящей функции[править]

Утверждение:
Пусть [math]A(t)[/math] — экспоненциальная производящая функция последовательности [math]\{ a_0, a_1, ..., a_n, ... \}[/math], тогда [math]A'(t)[/math] — экспоненциальная производящая функция последовательности [math]B=\{ a_1, a_2, ..., a_n, ... \}[/math]
[math]\triangleright[/math]
[math]B(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_{i+1}t^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_{i+1}t^n(n+1)}{(n+1)!}=A'(t)[/math]
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
[math]\left (\int A(t) \right )'=A(t)[/math][3]
Утверждение:
Пусть [math]A(t)[/math] — экспоненциальная производящая функция последовательности [math]\{ a_0, a_1, ..., a_n, ... \}[/math], тогда [math]\int A(t)[/math] — экспоненциальная производящая функция последовательности [math]B=\{ 0, a_0, a_1, a_2, ..., a_n, ... \}[/math][4]


Утверждение:
С точки зрения комбинаторики композиция производящих функций [math]A[/math] и [math]B[/math] означает подстановку вместо каждого возможного атома в [math]A[/math] всех объектов из класса [math]B[/math].

[math]A \left ( B \left ( t \right ) \right )=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B(t)^n\cdot a_n}{n!}[/math]

[math]c_n=\sum_{k=0}^na_k\sum_{t_1+t_2+...+t_k=n}\binom{n}{t_1, t_2, ..., t_n}\cdot b_{t_1} b_{t_2}\cdot...\cdot b_{t_n}[/math]

Помеченные объекты[править]

Помеченные комбинаторные объекты отличаются тем, что все атомы имеет разные значки; Если вес объекта равен [math]n[/math], то все атомы пронумерованы различными целыми числами от [math]1[/math] до [math]n[/math].

[math]w(①)=1[/math]

[math]w(\circ)=0[/math]


Определение:
Комбинаторным объектом [math]Z[/math] называется комбинаторный объект, состоящий из одного атома веса [math]1[/math].

[math]Z=\left \{ ① \right \}[/math]

[math]Z(t)=t[/math]


Определение:
Комбинаторным объектом [math]\varepsilon[/math] называется комбинаторный объект, состоящий из одного атома веса [math]0[/math].

[math]\varepsilon=\left \{ \circ \right \}[/math]

[math]\varepsilon(t)=1[/math]


Объединение комбинаторных классов[править]

Одинаковых объектов также нет, мы ставим разные метки на одинаковые объекты из разных классов, чтобы сделать их различными.

[math]c_n=a_n+b_n[/math]

[math]C(t)=\left ( \sum_{i=0}^{\infty}\frac{a_i \cdot t^i}{i!} \right ) + \left ( \sum_{i=0}^{\infty}\frac{b_i \cdot t^i}{i!} \right ) = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{(a_i + b_i)\cdot t^i}{i!}=A(t)+B(t)[/math]


Пары комбинаторных классов (декартово произведение комбинаторных классов)[править]

Декартово произведение, определенное для непомеченных объектов, нам не даст корректный комбинаторный объект.

Пусть [math]A= \{[/math] 1-2.png [math]\}[/math], [math]B= \{[/math] 1-2-3.png [math]\}[/math].

Тогда пара [math]([/math] 1-2.png [math],[/math]1-2-3.png[math])[/math] будет иметь вес 5, но атомы не будут иметь различные пометки от 1 до 5.

Поэтому введем оператор [math]A \star B[/math], который

  1. Перебирает все пары из [math]A[/math] и [math]B[/math].
  2. В каждой паре перебирает все возможные способы перенумеровать атомы. Нумерация идёт в том же порядке, что и изначальная. То есть для каждого цикла при фиксированном наборе номеров есть ровно 1 способ занумеровать. Таким образом, в классе [math]A \star B[/math] будет лежать [math]([/math] 1-2.png [math],[/math]3-4-5.png[math])[/math], но не будет лежать [math]([/math] 1-2.png [math],[/math]3-5-4.png[math])[/math].

[math]c_n=\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\binom{n}{k}=\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\frac{n!}{k!(n-k)!}=n! \cdot \sum_{k=0}^n\frac{a_k}{k!}\frac{b_{n-k}}{(n-k)!}[/math]

[math]C(t)=A(t) \cdot B(t)[/math]

Последовательности комбинаторных классов[править]

Ограниченная конструкция[править]

Последовательности длины [math]k[/math], как и в непомеченных комбинаторных объектах, формируются следующим образом:

  • Cоставляются все возможные последовательности из [math]k[/math] объектов из [math]A[/math]
  • Перенумеруются всеми возможными способами.

Их принято обозначать [math]Seq_k(A)[/math].

[math]n[/math]-тый член выражается следующим образом: [math]b_n=\sum_{t_1+t_2+...+t_k=n}\binom{n}{t_1}\cdot\binom{n-t_1}{t_2}\cdot...\cdot\binom{t_k}{t_k}\cdot\prod_{i=1}^{k}a_{t_i}=\sum_{t_1+t_2+...+t_k=n}\binom{n}{t_1, t_2,...,t_k}\cdot\prod_{i=1}^{k}a_{t_i}=\sum_{t_1+t_2+...+t_k=n}\frac{n!}{t_1! \cdot t_2! \cdot ... \cdot t_k!}\cdot\prod_{i=1}^{k}a_{t_i}=n!\sum_{t_1+t_2+...+t_k=n}\prod_{i=1}^{k}\frac{a_{t_i}}{t_i!}[/math]

Поэтому производящая функция — [math]B(t)=\left ( A\left (t\right ) \right )^k[/math]

Неограниченная конструкция[править]

Определение [math]Seq(A)[/math] не изменилось.

Утверждение:
[math]Seq(A)(t)=\frac{1}{1 - A(t)}[/math]
[math]\triangleright[/math]
[math]Seq(A)(t)=\sum_{i=0}^{\infty}Seq_i(A)(t)=\sum_{i=0}^{\infty}A(t)^i=\frac{1}{1 - A(t)}[/math] (Геометрическая прогрессия)
[math]\triangleleft[/math]

Действует ограничение на [math]b_0=B(0)=0[/math], как и на [math]Seq(A)[/math] и [math]MSet(A)[/math] в формализме непомеченных объектов.

Пример[править]

Перестановки

  • [math]P=Seq(Z)[/math]
  • Экспоненциальной производящей функцией является [math]P(t)=\frac{1}{1-t}[/math].
  • Обычной производящей функции [math]\frac{1}{1-t}[/math] соответствует считающая последовательность [math]\left \{ 1, 1, ..., 1\right \}[/math], поэтому [math][t_n]\frac{1}{1-t}=1[/math].
  • [math]p_n=n!\cdot[t_n]p(t)=n![/math]

Урны[править]

Кобинаторный класс "Урна" — множество, характеризующееся только количеством атомов в объекте, то есть элементов каждого веса — [math]1[/math], поэтому [math]a_n=1[/math].

Производящая функция этого класса — [math]edf(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1\cdot t^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}=e^t[/math].

Множества[править]

В формализме помеченных объектов [math]MSet=Set[/math], потому что не бывает одинаковых элементов в множествах.

Ограниченная конструкция[править]

Определение:
Ограниченным множеством [math]A=Set_k(B)[/math] назовём множество из [math]k[/math] объектов (порядок не важен).


Рассмотрим [math]\left \{ a_1, a_2, ..., a_k \right \} \in Set_k(B)[/math] и разобьем последовательности в [math]Seq_k(B)[/math] на классы эквивалентности по признаку равенства множеств элементов в них.

Каждому [math]Set_k(B)[/math] биективно соответствует [math]k![/math] последовательностей в [math]Seq_k(B)[/math], потому что все объекты различны.

[math]Set_k(B)\cdot k!=Seq_k(B)[/math]

[math]Set_k(B)(t)=A(t)=\frac{\left ( B \left ( t \right ) \right )^k}{k!}[/math]

Неограниченная конструкция[править]

[math]A=Set(B)=\sum_{k=0}^{\infty}Set_k(b)[/math] — множества объектов (порядок не важен).

Ограничение [math]b_0=B(0)=0[/math] также действует.

[math]Set(A)(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{A(t)^k}{k!}=e^{A(t)}[/math]

Можно рассматривать [math]Set(A)[/math] как композицию урны и [math]A[/math], другими словами, можно вместо атомов в урне взять объекты класса [math]A[/math].

Циклы[править]

Ограниченная конструкция[править]

Определение:
Цикл [math]A=Cycle_k(B)[/math] — ориентированная циклическая последовательность из [math]k[/math] объектов класса [math]B[/math]. Циклов нулевой длины [math]0[/math], то есть, [math]c_0=0[/math].


Утверждение:
Каждому циклу [math](b_1, b_2, ..., b_k)[/math] длины [math]k[/math] биективно соответствует [math]k[/math] упорядоченных последовательностей (циклические перестановки элементов цикла).

Поэтому [math]Seq_k(A) = k\cdot Cycle_k(A)[/math]

Значит, экспоненциальная производящая функция циклов — [math]Cycle_k(A)(t)=\frac{Seq_k(A)(t)}{k}=\frac{A(t)^k}{k}[/math].

Неограниченная конструкция[править]

Определение:
Циклы [math]A=Cycle(B)=\sum_{k=0}^{\infty}Cycle_k(B)[/math].

[math]Cycle(A)(t)=\sum_{k=0}^{\infty}Cycle_k(A)(t)=0+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{A(t)^k}{k}=-ln \left (1+\left (-A(t)\right ) \right )=-ln \left (1-A(t) \right )=ln\left (\frac{1}{1-A(t)}\right )[/math] (Разложение натурального логарифма в ряд Тейлора)

См.также[править]

Примeчания[править]

Источники информации[править]