Изменения
Нет описания правки
В [https://ru.wikipedia.org/wiki/Комбинаторика комбинаторике], особенно в аналитической комбинаторике, [https://en.wikipedia.org/wiki/Symbolic_method_(combinatorics) символический символьный метод] - это метод подсчета [https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Комбинаторные_объекты комбинаторных объектов]. Он использует внутреннюю структуру объектов для получения формул их [[Производящая функция|производящих функций]]. Этот метод в основном связан с [https://en.wikipedia.org/wiki/Philippe_Flajolet Филиппом Флайоле] и подробно описан в части A его книги с [https://ru.wikipedia.org/wiki/Седжвик,_Роберт Робертом Седжвиком] "Аналитическая комбинаторика"<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_Combinatorics "Аналитическая комбинаторика"]</ref>.
Считающей последовательностью называется последовательность <tex dpi="130">\left \{ a_0, a_1, ..., a_n \right \}</tex>, где <tex dpi="130">a_i</tex> {{---}} количество объектов веса <tex dpi="130">i</tex>.
}}
Обозначим <tex dpi="350">[t_n]</tex> как оператор взятия <tex dpi="350">n</tex>-того коэффициента производящей функции.
{{Определение
|definition=
Комбинаторным классом <tex dpi="130">A</tex> называется [https://ru.wikipedia.org/wiki/Множество множество] комбинаторных объектов, обладающих каким-то свойством.
}}
=Непомеченные комбинаторные объекты=
<tex dpi="350">C(t)=\left ( \sum_{i=0}^{\infty}a_i \cdot t^i \right ) + \left ( \sum_{i=0}^{\infty}b_i \cdot t^i \right ) = \sum_{i=0}^{\infty}(a_i + b_i)\cdot t^i =A(t)+B(t)</tex>
==Пары комбинаторных классов ([https://ru.wikipedia.org/wiki/Прямое_произведение декартово произведение] комбинаторных классов)==
{{Определение
{{Утверждение
|statement=<tex dpi="350">Seq_k(A)(t)=A(t)^k</tex>
|proof=Докажем по [[Математическая индукция|индукции]]:
'''База <tex dpi="350">k=1</tex>'''.
{{Определение
|definition=
Последовательностью, или базовой последовательностью, объектов из <tex dpi="350">A</tex> называется <tex dpi="350">B=Seq(A)=\sum_{i=0}^{\infty}Seq_i(A)</tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=<tex dpi="350">Seq(A)(t)=\frac{1}{1 - A(t)}</tex>
|proof=<tex dpi="350">Seq(A)(t)=\sum_{i=0}^{\infty}Seq_i(A)(t)=\sum_{i=0}^{\infty}A(t)^i=\frac{1}{1 - A(t)}</tex> ([https://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрическая_прогрессия Геометрическая прогрессия])
}}
# В каждой паре перебирает все возможные способы перенумеровать атомы. Нумерация идёт в том же порядке, что и изначальная. То есть для каждого цикла при фиксированном наборе номеров есть ровно 1 способ занумеровать. Таким образом, в классе <tex dpi="350">A \star B</tex> будет лежать <tex dpi="350">(</tex> [[Файл:1-2.png|50px]] <tex dpi="350">,</tex>[[Файл:3-4-5.png|50px]]<tex dpi="350">)</tex>, но не будет лежать <tex dpi="350">(</tex> [[Файл:1-2.png|50px]] <tex dpi="350">,</tex>[[Файл:3-5-4.png|50px]]<tex dpi="350">)</tex>.
<tex dpi="350">c_n=\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\binom{n}{k}</tex>''([https://ru.wikipedia.org/wiki/Сочетание Сочетания])''<tex dpi="350">=\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\frac{n!}{k!(n-k)!}=n! \cdot \sum_{k=0}^n\frac{a_k}{k!}\frac{b_{n-k}}{(n-k)!}</tex>
<tex dpi="350">C(t)=A(t) \cdot B(t)</tex>
{{Утверждение
|statement=<tex dpi="350">Seq(A)(t)=\frac{1}{1 - A(t)}</tex>
|proof=<tex dpi="350">Seq(A)(t)=\sum_{i=0}^{\infty}Seq_i(A)(t)=\sum_{i=0}^{\infty}A(t)^i=\frac{1}{1 - A(t)}</tex> ([https://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрическая_прогрессия Геометрическая прогрессия])
}}
====Пример====
'''[https://ru.wikipedia.org/wiki/Перестановка Перестановки]'''
* <tex dpi="350">P=Seq(Z)</tex>
* Экспоненциальной производящей функцией является <tex dpi="350">P(t)=\frac{1}{1-t}</tex>.
Можно рассматривать <tex dpi="350">Set(A)</tex> как композицию урны и <tex dpi="350">A</tex>, другими словами, можно вместо атомов в урне взять объекты класса <tex dpi="350">A</tex>.
==[http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_order Циклы]==
===Ограниченная конструкция===
{{Определение
|definition=Цикл <tex dpi="350">A=Cycle_k(B)</tex> {{---}} ориентированная циклическая последовательность из <tex dpi="350">k</tex> объектов класса <tex dpi="350">B</tex>.}}
}}
|definition=Циклы <tex dpi="350">A=Cycle(B)=\sum_{k=0}^{\infty}Cycle_k(B)</tex>.
}}
<tex dpi="350">Cycle(A)(t)=\sum_{k=0}^{\infty}Cycle_k(A)(t)=0+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{A(t)^k}{k}=-ln \left (1+\left (-A(t)\right ) \right )=-ln \left (1-A(t) \right )=ln\left (\frac{1}{1-A(t)}\right )</tex><ref>[https://www.wolframalpha.com/input/?i=series+-ln%281-x%29 Wolphram Alpha {{---}} (Разложение натурального логарифма в ряд]</ref>Тейлора)
=См.также=
