21
правка
Изменения
м
Нет описания правки
Используйте шаблон для тире {{---}} <nowiki>{{---}}</nowiki> вместо "-" там, где это необходимо [[Участник:Rybak|Rybak]] 04:10, 21 ноября 2010 (UTC)
==Замкнутые множества==
* Класс открытых множеств обозначается <tex> \tau </tex>. А никто не знает, как класс закрытых обозначается? --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 23:59, 21 ноября 2010 (UTC)
** Мы никак не обозначали, но можно, например, так: <tex> \bar\tau </tex>
==Основное характеристическое свойство замкнутых множеств==
В обратную сторону печаль с доказательством. А везде в интернетах и умных книжках, наоборот, сначала говорится что замкнутое множество - то, которое содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей, а потом уже доказывается что дополнение к замкнутому - открытое и наоборот. Надо, наверное, подойти к Додонову и спросить что он считает по этому поводу.
В доказательстве осталась небольшая проблема: мы говорим, что
: "каждый <tex> y \notin F </tex> входит в <tex> G </tex> вместе с каким-то открытым шаром"
При этом <tex>y</tex>, вообще говоря, не обязан быть центром шара, однако далее в доказательстве это подразумевается. Лечится это очень просто, достаточно сказать, что если <tex>y</tex> лежит в некотором шаре <tex>V_1(x)_{r_1}</tex>, то существует шар <tex>V_2(y)_{r_2} \subset V_1</tex> (надо положить <tex>r_2 < r_1 - \rho(x, y)</tex>). Возможно даже, что этот факт уже доказан в статье, но пояснить этот момент в любом случае стоит.
По поводу свойств открытых и замкнутых множеств: почему все <tex> X </tex> открыто, понятно, мы можем представить его как <tex> \bigcup\limits_{x \in X} V{_r}(x) (r > 0) </tex>. А почему пустое множество является открытым, типа, это пустое объединение? Далее, раз уж класс замкнутых множеств обладает двойственными свойствами по отношению к классу открытых, то, наверное, свойства будут выглядеть так:
=== Свойства замкнутых множеств ===
# <tex> X, \varnothing </tex> {{---}} замкнуты
# <tex>\ F_{\alpha} </tex> {{---}} замкнуто <tex>\forall \alpha \in A \Rightarrow \bigcap\limits_{\alpha \in A} F_{\alpha} </tex> {{---}} замкнуто
# <tex>\ F_1 \dots F_n </tex> {{---}} замкнуты <tex> \Rightarrow \bigcup\limits_{j = 1}^n F_j </tex> {{---}} замкнуто
Вроде бы все логично и напрямую следует из законов Де Моргана. В статью пока не впиливаю, потому что в конспекте на эту тему у меня какой-то бред.--[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 20:43, 4 января 2011 (UTC)
Основное характеристическое свойство замкнутых множеств:
Если множество F содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей, то оно замкнуто.
F — замкнуто, если оно содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей.
А это не одно и то же?--[[Участник:Geralt|Завадский Д.]] 18:16, 20 января 2011
* Нет, это в прямую и обратную сторону. --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 23:41, 20 января 2011 (UTC)
* У тебя это одно и тоже, но в Вики вообще-то написано по-другому [[Участник:Dmitriy D.|Dmitriy D.]] 00:02, 21 января 2011 (UTC)
**Просто уже заменили--[[Участник:Geralt|Завадский Д.]] 22:35, 21 января 2011 (UTC)
