7
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Утверждение
|statement=Число помеченных корневых деревьев с <tex>k</tex> листьями и <tex>m</tex> вершинами , у которых номер предка меньше номера вершины, есть <tex>P_{m,k} = k\cdot P_{m-1,k}+(m-k))\cdot P_{m-1,k-1}</tex>.<br>Причем номер предка всегда меньше номера вершины. <tex>P_{i,i} = 0, \forall i \in N</tex>; <tex>P_{i,0} = 0, \forall i \in N, i \neq 1 </tex><br><br> '''не очень понятно. это ограничение или тебе так удобнее считать? базу утверждения лучше вынести в другое место'''
|proof =
База утверждения <tex>P_{i,i} = 0, \forall i \in N</tex>; <tex>P_{i,0} = 0, \forall i \in N, i \neq 1 </tex><br>Рассмотрим каждое слагаемое в данной формуле<tex>P_{m,k} = k\cdot P_{m-1,k}+(m-k))\cdot P_{m-1,k-1}</tex> :<br>
1) <tex>k\cdot P_{m-1,k}</tex> обозначает, что мы можем подвесить ещё одну вершину к любому из <tex>k</tex> листьев. Тогда количество листьев не изменится, а количество вершин увеличится на одну.<br>
2) <tex>(m-k)\cdot P_{m-1,k-1}</tex> обозначает, что мы можем подвесить ещё одну вершину к любой вершине, не являющийся листом. Таких вершин <tex>(m-k)</tex>. Тогда количество листьев и количество вершин увеличится на один.<br>
Так как мы рассмотрели все возможные варианты присоединения новой вершины, то данная формула <tex>P_{m,k} = k\cdot P_{m-1,k}+(m-k)\cdot P_{m-1,k-1}</tex> верна.<br>
}}
Пример <br>
[[Файл:0List.png|100px]] <tex>m=1</tex> [[Файл:1List.png|100px]] <tex>m=2</tex> [[Файл:2List.png|400px]] <tex>m=3</tex> [[Файл:3List.png|600px]] <tex>m=4</tex> <br>
