315
правок
Изменения
→\frac{\ln(1 + x)}x
== Второй замечательный предел ==
Тут нет доказательства, есть тольок вывод следствия. --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 01:52, 4 января 2011 (UTC)
* Доказательство не нужно, ведь есть определение числа e! --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 01:08, 5 января 2011 (UTC)
== (e^x - 1)/x ==
В самом конце:
вычислить переходом к нему в числителе и знаменателе по отдельности. Этот предел подстановкой сводится к предыдущим.
* Так вот, это выражение если и создает неопределенность то -1/0. У меня такое подозрение что там должно быть <tex>\frac{n^x - 1}{mx}, \ x \to 0</tex>. В общем, у кого адекватный конспект, посмотрите. --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 01:52, 4 января 2011 (UTC)
** У меня оказался неожиданно адекватный конспект в этом месте, исправил на то выражение, которое было там. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 01:08, 5 января 2011 (UTC)
== Производные x^n, x^(1/n) и т.д ==
Там, наверное, везде должно быть n - натуральное, а написано - целое. Или я чего-то не понимаю?
* По идее, здесь и с целыми числами всё нормально прокатывает. За исключением случая, когда во второй функции n=0
** Да нет, не совсем прокатывает, равенство доказано только для натуральных n. Но расширить его на целые числа не составляет труда.
== e^x ==
*Это единственная функция, которая обладает таким свойством(это просто забавный факт, его не надо доказывать).<br>
**Я бы не стал так голословно разбрасываться словами. Таким же свойством обладает функция <tex>y=0</tex>
*** И вообще любая функция вида <tex>y=c \cdot e^x</tex>, где <tex>c \in \mathbb R</tex> --[[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 01:41, 7 января 2011 (UTC)
== \frac{\ln(1 + x)}x ==
* Почему <tex>\frac{\ln(1 + x)}x</tex> при <tex>x \to 0</tex> стремится к <tex>1</tex>? [[Служебная:Contributions/192.168.0.2|192.168.0.2]] 17:26, 21 января 2011 (UTC)
** <tex>e = \lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac1n \right) ^ n=\lim\limits_{x \to 0} \left(1 + x \right) ^ {1/x}</tex> Логарифмируем: <tex> \ln e=1=ln \left ( \left ( 1 + x \right) ^ {1/x} \right)=\frac{\ln(1+x)}{x}</tex> при <tex>x \to 0</tex>.
*** мы пользуемся тем, что <tex>\frac{\ln(1 + x)}x</tex>при <tex>x \to 0</tex> стремится к <tex>1</tex> при доказательстве того, что <tex>e = \lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac1n \right) ^ n</tex> [[Служебная:Contributions/192.168.0.2|192.168.0.2]] 19:23, 21 января 2011 (UTC)
**** Эм, щито? Доказательство того, что <tex>e = \lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac1n \right) ^ n</tex> тут: [[Три основных теоремы о пределах#Теорема Вейерштрасса|в примере]] и логарифм там совсем не используется.
