Обсуждение:PSRS-сортировка — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 20 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
== Сортировка PSRS ==
+
<b>Алгоритм Борувки</b> (англ. ''Borůvka's algorithm'') — алгоритм поиска минимального остовного дерева (англ. ''minimum spanning tree, MST'') во взвешенном неориентированном связном графе.
=== Алгоритм ===
+
Впервые был опубликован в 1926 году Отакаром Борувкой.
Для начала надо разделить входные данные на n равных частей, где <tex>n</tex> - количество процессоров. Далее запустить алгоритм быстрой сортировки на каждом из процессоров. Далее  мы должны сформировать массив элементами которого будут элементы из каждого процессора с индексами <tex>0, n/p^2, 2n/p^2,...,(p-1)n/p^2</tex> и элементы стоящие в процессорах левее выбранных. Далее на нам потребуется отсортировать полученный массив и выбрать из него p разделителей с индексами <tex>p + [p / 2] - 1, 2p + [p / 2] - 1,...,(p-1)p + [p / 2] - 1</tex>. Теперь разделим данные в процессорах согласно полученному массиву разделителей и сольём данные соответствующие части в в массив.
+
 
=== Пример ===
+
==Описание алгоритма==
Количество элементов 45, количество процессоров 3.
+
# Построим граф <tex>T</tex>. Изначально <tex>T</tex> содержит все вершины из <tex>G</tex> и не содержит ребер (каждая вершина в графе <tex>T</tex> {{---}} отдельная компонента связности).
Исходный набор данных <tex>[6, 3, 7, 3, 8, 9, 5, 1, 3, 9, 0, 4, 7, 4, 3, 7, 8, 2, 4, 1, 0, 6, 3, 7, 8, 3, 9, 3, 6, 5, 8, 9, 0, 4, 3, 2, 5, 1, 5, 7, 3, 9, 4, 2, 7]</tex>:
+
# Будем добавлять в <tex>T</tex> ребра следующим образом, пока <tex>T</tex> не является деревом
{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
+
#* Для каждой компоненты связности находим минимальное по весу ребро, которое связывает эту компоненту с другой.
!style="background-color:#EEE"| Описание команды
+
#* Добавим в <tex>T</tex> все найденные рёбра.
!style="background-color:#EEE"| 1 процессор
+
# Получившийся граф <tex>T</tex> является минимальным остовным деревом графа <tex>G</tex>.
!style="background-color:#EEE"| 2 процессор
+
 
!style="background-color:#EEE"| 3 процессор
+
Данный алгоритм может работать неправильно, если в графе есть ребра равные по весу. Например, полный граф из трех вершин, вес каждого ребра равен один. В <tex>T</tex> могут быть добавлены все три ребра. Избежать эту проблему можно, выбирая в первом пункте среди ребер, равных по весу, ребро с наименьшим номером.
 +
 
 +
Доказательство будем проводить, считая веса всех ребер различными.
 +
 
 +
==Доказательство корректности==
 +
{{Лемма
 +
|id=lemma1
 +
|statement=Рассмотрим связный неориентированный взвешенный граф <tex> G = (V, E) </tex> с инъективной весовой функцией <tex>w : E \to \mathbb{R}</tex> .
 +
Тогда после первой итерации главного цикла алгоритма Борувки получившийся подграф можно достроить до ''MST''.
 +
|proof=Предположим обратное: пусть любое ''MST'' графа <tex>G</tex> не содержит <tex>T</tex>. Рассмотрим какое-нибудь ''MST''. Тогда существует ребро <tex>x</tex> из <tex>T</tex> такое что <tex>x</tex> не принадлежит ''MST''. Добавив ребро <tex>x</tex> в ''MST'', получаем цикл в котором <tex>x</tex> не максимально, т.к оно было минимальным. Тогда, исходя из [[Критерий Тарьяна минимальности остовного дерева|критерия Тарьяна]], получаем противоречие.
 +
}}
 +
 
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|id=th1.
 +
|statement=Алгоритм Борувки строит ''MST''.
 +
|proof=Очевидно, что алгоритм Борувки строит дерево.Будем доказывать что после каждой итерации главного цикла в алгоритме Борувки текущий подграф <tex>T</tex> можно достроить до ''MST''.
 +
 
 +
Докажем это по индукции.
 +
 
 +
'''База. '''  <tex>n = 1</tex>([[#lemma1|Лемма]]).
 +
 
 +
'''Переход. '''  Пусть лес <tex>T</tex>, получившийся после <tex>n</tex> итераций алгоритма, можно достроить до ''MST''. Докажем, что после <tex>n+1</tex> итерации получившийся лес <tex>T'</tex> можно достроить до ''MST''. Предположим обратное: <tex>T'</tex> нельзя достроить до ''MST''. Тогда существует <tex>F</tex> = ''MST'' графа <tex>G</tex>, содержащее <tex>T</tex>  и не содержащее <tex>T'</tex>. Тогда рассмотрим цикл, получающийся добавлением в <tex>F</tex> какого-нибудь ребра <tex>x</tex> из <tex>T' {{---}} T</tex>. На этом цикле имеется ребро, большее по весу чем ребро <tex>x</tex>, иначе компонента для которой <tex>x</tex> является минимальным ребром ни с кем больше ни связана. Исходя из  [[Критерий Тарьяна минимальности остовного дерева|критерия Тарьяна]], получаем противоречие.
 +
 
 +
'''Получаем. '''  <tex>T'</tex> можно достроить до ''MST''. Следовательно предположение индукции верно.
 +
 +
}}
 +
 
 +
==Реализация==
 +
У вершины есть поле comp — компонента связности, которой принадлежит эта вершина.
 +
 
 +
{| width = 100%
 
|-
 
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Разделение между процессорами
+
|  
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 6 3 7 3 8 9 5 1 3 9 0 4 7 4 3
+
  <font color=green>// <tex>G</tex> {{---}} исходный граф</font>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 7 8 2 4 1 0 6 3 7 8 3 9 3 6 5
+
  <font color=green>// <tex>w</tex> {{---}} весовая функция</font>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 8 9 0 4 3 2 5 1 5 7 3 9 4 2 7
+
  '''function''' <tex>\mathtt{boruvkaMST}():</tex>
|-
+
      '''while''' <tex>T\mathtt{.size} < n - 1</tex>                                 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| После сортировки частей
+
            '''for''' <tex>k \in </tex> Component                                // Component — множество компонент связности в <tex>T</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 0 1 3 3 3 3 4 4 5 6 7 7 8 9 9
+
                <tex>w(\mathtt{minEdge}[k])=\infty</tex>                      // для каждой компоненты связности вес минимального ребра = <tex>\infty</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 0 1 2 3 3 3 4 5 6 6 7 7 8 8 9
+
            <tex>\mathtt{findComp(}T\mathtt{)}</tex>                                      // разбиваем граф <tex>T</tex> на компоненты связности обычным ''dfs''-ом
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 7 7 8 9 9
+
            '''for''' <tex>\mathtt{(u,v)} \in  E </tex>
|-
+
                '''if''' <tex>\mathtt{u.comp} \neq \mathtt{v.comp}</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Выбор элементов
+
                    '''if''' <tex>w(\mathtt{minEdge}[\mathtt{u.comp}]) < w(u,v)</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''0''' 1 3 3 '''3 3''' 4 4 5 '''6 7''' 7 8 9 '''9'''  
+
                        <tex>\mathtt{minEdge}[\mathtt{u.comp}] = (u,v)</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''0''' 1 2 3 '''3 3''' 4 5 6 '''6 7''' 7 8 8 '''9'''  
+
                    '''if''' <tex>w(\mathtt{minEdge}[\mathtt{v.comp}]) < w(u,v)</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''0''' 1 2 2 '''3 3''' 4 4 5 '''5 7''' 7 8 9 '''9'''
+
                        <tex>\mathtt{minEdge}[\mathtt{v.comp}] = (u,v)</tex>
 +
            '''for''' <tex>k \in </tex> Component                               
 +
                <tex>T\mathtt{.addEdge}(\mathtt{minEdge}[k])</tex>                    // добавляем ребро если его не было в <tex>T</tex>
 +
      '''return''' <tex>T</tex>   
 
|}
 
|}
{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
+
 
!style="background-color:#EEE"| Описание команды
+
==Пример==
!style="background-color:#EEE"| Данные
+
{| class = "wikitable"
|-
+
! Изображение !! Компоненты связности !! Описание
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Выбранные элементы
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 6 8 9 9 0 3 7 1 0 8 3 5 8 3 2 7 3 7
 
 
|-
 
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| После сортировки
+
|[[Файл:Step_0.png|200px]]
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 0 0 0 3 3 3 3 3 3 5 6 6 7 7 7 9 9 9
+
|
 +
|Начальный граф <tex>T</tex>
 
|-
 
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Выбор элементов
+
|[[Файл:Step_1.png|200px]]
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 0 0 0 3 3 '''3''' 3 3 3 5 6 '''6''' 7 7 7 9 9 '''9'''
+
| <center>'''a''' '''b''' '''c''' '''d''' '''e'''</center>
 +
|Распределим вершины по компонентам.
 
|-
 
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Разделители
+
|[[Файл:1step_2.png|200px]]
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 3 6 9
+
| <center>'''a''' '''b'''  '''c'''  '''d''' '''e'''</center>
|}
+
|Пометим минимальные пути между компонентами.
В данном примере для удобства были выбраны другие элементы.
 
{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
 
!style="background-color:#EEE"| Описание команды
 
!style="background-color:#EEE"|           
 
!style="background-color:#EEE"| 1 процессор
 
!style="background-color:#EEE"|           
 
!style="background-color:#EEE"|           
 
!style="background-color:#EEE"| 2 процессор
 
!style="background-color:#EEE"|           
 
!style="background-color:#EEE"|           
 
!style="background-color:#EEE"| 3 процессор
 
!style="background-color:#EEE"|           
 
 
|-
 
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| После сортировки частей
+
|[[Файл:1step_3.png|200px]]<br/>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 0 1 3 3 3 3
+
|<center>'''bae'''      '''cd'''</center>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 4 4 5 6
+
|Объединим соединившиеся компоненты в одну и добавим минимальные рёбра к графу <tex>T</tex><br/>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 7 7 8 9 9
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 0 1 2 3 3 3
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 4 5 6 6
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 7 7 8 8 9
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 0 1 2 2 3 3
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 4 4 5 5
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 7 7 8 9 9
 
 
|-
 
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| После обмена данными
+
|[[Файл:1step_4.png|200px]]
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 0 1 3 3 3 3
+
|<center>'''bae'''  '''cd'''</center>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 0 1 2 3 3 3
+
|Пометим минимальные пути между компонентами.
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 0 1 2 2 3 3
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 4 4 5 6
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 4 5 6 6
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 4 4 5 5
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 7 7 8 9 9
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 7 7 8 8 9
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 7 7 8 9 9
 
 
|-
 
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| После слития
+
|[[Файл:1step_5.png|200px]]
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 0 0 0 1 1 1 
+
|<center>'''baecd'''</center>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 2 2 2 3 3 3 
+
|Объединим соединившиеся компоненты в одну и добавим минимальные рёбра к графу <tex>T</tex><br/>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 3 3 3 3 3 3
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 4 4 4 4 
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 4 5 5 5
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 5 6 6 6
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 7 7 7 7 7 
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 7 8 8 8 8
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 9 9 9 9 9
 
 
|}
 
|}
 +
 +
==Асимптотика==
 +
Внешний цикл повторяется <tex>\log{V}</tex> раз, так как количество компонент связности каждый раз уменьшается в двое и изначально равно количеству вершин. Что же касается внутреннего цикла, то он выполняется за <tex>E</tex>, где <tex>E</tex> {{---}} количество рёбер в исходном графе. Следовательно конечное время работы алгоритма <tex>O(E\log{V})</tex>.
 +
 +
==См. также==
 +
* [[Алгоритм Прима]]
 +
* [[Алгоритм Краскала]]
 +
* [[Алгоритм двух китайцев]]
 +
 +
== Ссылки ==
 +
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-spanning-trees/mst-2006 Визуализатор алгоритма]
 +
* [http://www.csee.wvu.edu/~ksmani/courses/fa01/random/lecnotes/lecture11.pdf Minimum Spanning Trees]
 +
* [[wikipedia:ru:Алгоритм Борувки|Алгоритм Борувки— Википедия]]
 +
 +
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 +
[[Категория: Остовные деревья ]]

Текущая версия на 18:02, 3 декабря 2014

Алгоритм Борувки (англ. Borůvka's algorithm) — алгоритм поиска минимального остовного дерева (англ. minimum spanning tree, MST) во взвешенном неориентированном связном графе. Впервые был опубликован в 1926 году Отакаром Борувкой.

Описание алгоритма[править]

  1. Построим граф [math]T[/math]. Изначально [math]T[/math] содержит все вершины из [math]G[/math] и не содержит ребер (каждая вершина в графе [math]T[/math] — отдельная компонента связности).
  2. Будем добавлять в [math]T[/math] ребра следующим образом, пока [math]T[/math] не является деревом
    • Для каждой компоненты связности находим минимальное по весу ребро, которое связывает эту компоненту с другой.
    • Добавим в [math]T[/math] все найденные рёбра.
  3. Получившийся граф [math]T[/math] является минимальным остовным деревом графа [math]G[/math].

Данный алгоритм может работать неправильно, если в графе есть ребра равные по весу. Например, полный граф из трех вершин, вес каждого ребра равен один. В [math]T[/math] могут быть добавлены все три ребра. Избежать эту проблему можно, выбирая в первом пункте среди ребер, равных по весу, ребро с наименьшим номером.

Доказательство будем проводить, считая веса всех ребер различными.

Доказательство корректности[править]

Лемма:
Рассмотрим связный неориентированный взвешенный граф [math] G = (V, E) [/math] с инъективной весовой функцией [math]w : E \to \mathbb{R}[/math] . Тогда после первой итерации главного цикла алгоритма Борувки получившийся подграф можно достроить до MST.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Предположим обратное: пусть любое MST графа [math]G[/math] не содержит [math]T[/math]. Рассмотрим какое-нибудь MST. Тогда существует ребро [math]x[/math] из [math]T[/math] такое что [math]x[/math] не принадлежит MST. Добавив ребро [math]x[/math] в MST, получаем цикл в котором [math]x[/math] не максимально, т.к оно было минимальным. Тогда, исходя из критерия Тарьяна, получаем противоречие.
[math]\triangleleft[/math]


Теорема:
Алгоритм Борувки строит MST.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Очевидно, что алгоритм Борувки строит дерево.Будем доказывать что после каждой итерации главного цикла в алгоритме Борувки текущий подграф [math]T[/math] можно достроить до MST.

Докажем это по индукции.

База. [math]n = 1[/math](Лемма).

Переход. Пусть лес [math]T[/math], получившийся после [math]n[/math] итераций алгоритма, можно достроить до MST. Докажем, что после [math]n+1[/math] итерации получившийся лес [math]T'[/math] можно достроить до MST. Предположим обратное: [math]T'[/math] нельзя достроить до MST. Тогда существует [math]F[/math] = MST графа [math]G[/math], содержащее [math]T[/math] и не содержащее [math]T'[/math]. Тогда рассмотрим цикл, получающийся добавлением в [math]F[/math] какого-нибудь ребра [math]x[/math] из [math]T' {{---}} T[/math]. На этом цикле имеется ребро, большее по весу чем ребро [math]x[/math], иначе компонента для которой [math]x[/math] является минимальным ребром ни с кем больше ни связана. Исходя из критерия Тарьяна, получаем противоречие.

Получаем. [math]T'[/math] можно достроить до MST. Следовательно предположение индукции верно.
[math]\triangleleft[/math]

Реализация[править]

У вершины есть поле comp — компонента связности, которой принадлежит эта вершина.

  // [math]G[/math] — исходный граф
  // [math]w[/math] — весовая функция
  function [math]\mathtt{boruvkaMST}():[/math]
      while [math]T\mathtt{.size} \lt  n - 1[/math]                                   
           for [math]k \in [/math] Component                                 // Component — множество компонент связности в [math]T[/math]
               [math]w(\mathtt{minEdge}[k])=\infty[/math]                      // для каждой компоненты связности вес минимального ребра = [math]\infty[/math]
           [math]\mathtt{findComp(}T\mathtt{)}[/math]                                      // разбиваем граф [math]T[/math] на компоненты связности обычным dfs-ом
           for [math]\mathtt{(u,v)} \in  E [/math]
               if [math]\mathtt{u.comp} \neq \mathtt{v.comp}[/math]
                   if [math]w(\mathtt{minEdge}[\mathtt{u.comp}]) \lt  w(u,v)[/math]
                       [math]\mathtt{minEdge}[\mathtt{u.comp}] = (u,v)[/math]
                   if [math]w(\mathtt{minEdge}[\mathtt{v.comp}]) \lt  w(u,v)[/math]
                       [math]\mathtt{minEdge}[\mathtt{v.comp}] = (u,v)[/math]
           for [math]k \in [/math] Component                                 
               [math]T\mathtt{.addEdge}(\mathtt{minEdge}[k])[/math]                     // добавляем ребро если его не было в [math]T[/math]
      return [math]T[/math]     

Пример[править]

Изображение Компоненты связности Описание
Step 0.png Начальный граф [math]T[/math]
Step 1.png
a b c d e
Распределим вершины по компонентам.
1step 2.png
a b c d e
Пометим минимальные пути между компонентами.
1step 3.png
bae cd
Объединим соединившиеся компоненты в одну и добавим минимальные рёбра к графу [math]T[/math]
1step 4.png
bae cd
Пометим минимальные пути между компонентами.
1step 5.png
baecd
Объединим соединившиеся компоненты в одну и добавим минимальные рёбра к графу [math]T[/math]

Асимптотика[править]

Внешний цикл повторяется [math]\log{V}[/math] раз, так как количество компонент связности каждый раз уменьшается в двое и изначально равно количеству вершин. Что же касается внутреннего цикла, то он выполняется за [math]E[/math], где [math]E[/math] — количество рёбер в исходном графе. Следовательно конечное время работы алгоритма [math]O(E\log{V})[/math].

См. также[править]

Ссылки[править]